2022年2022年解三角形题型总结 2.pdf

《2022年2022年解三角形题型总结 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年解三角形题型总结 2.pdf（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、解三角形题型总结ABC中的常见结论和定理：一、内角和定理及诱导公式：1因为ABC，所以sin()sin,cos()cos,tan()tanABCABCABC；sin()sin,cos()cos,tan()tanACBACBACB；sin()sin,cos()cos,tan()tanBCABCABCA因为,22ABC所以sincos22ABC，cossin22ABC，2大边对大角3.在 ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanAtanB tanC; (2)A 、B、C 成等差数列的充要条件是B=60 ；(3)ABC 是正三角形的充要条件是A、B、C 成等差数列且a、b、c 成

2、等比数列 . 二、 正弦定理 ：文字：在ABC中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。符号：RCcBbAa2sinsinsin公式变形：CRcBRbARasin2sin2sin2(边转化成角）RcCRbBRaA2sin2sin2sin（角转化成边）CBAcbasin:sin:sin:RCcBbAaCBAcba2sinsinsinsinsinsin三、余弦定理 ：文字：在ABC中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。符号：Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222变形：bcacbA2cos222acbcaB2cos22

3、2abcbaC2cos222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 四、 面积公式 ：（1）12aSah（2）1()2Sr abc（其中r为三角形内切圆半径）（3）111sinsinsin222SabCbcAacB五、常见三角形的基本类型及解法：（1）已知两角和一边（如已知,A B边c）解法：根据内角和求出角)(BAC；根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin求出其余两边,a b（2）已知两边和夹角（如已知Cba

4、,）解法：根据余弦定理2222coscababC求出边c；根据余弦定理的变形bcacbA2cos222求A；根据内角和定理求角)(CAB. （3）已知三边（如：cba,）解法：根据余弦定理的变形bcacbA2cos222求A；根据余弦定理的变形acbcaB2cos222求角B；根据内角和定理求角)(BAC（4）已知两边和其中一边对角（如：Aba,）（注意讨论解的情况）解法 1：若只求第三边，用余弦定理：2222coscababC；解法 2：若不是只求第三边，先用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin求B（可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）；再根据内角和定理求角)(BAC；. 先看一

5、道例题：例： 在ABC中，已知030,32,6Bcb，求角 C。 （答案：045C或0135）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 六、在ABC中，已知Aba,，则ABC解的情况为：法一：几何法（不建议使用）（注：表中，A为锐角时，若Abasin，无解；A为钝角或直角时，若ba，无解 .法二：代数法（建议使用）通过例子说明步骤：大角对大边结合正弦定理一起使用（见题型一）题型总结：题型一、利用正弦定理解决 “ 两边一对

6、角 ” 的类型模型：在ABC中，已知边ba,和角A,若不是求第三边c，用正弦定理。例 1：在ABC中，已知045,2,2Aca，求 C。 （答案：030C）例 2：在ABC中，已知030,32,6Bcb，求 C。 （答案：045C或0135）例 3：在ABC中，已知030,22,2Bba，求 A。 （答案：无解）例 4： （3）在ABC中，已知02,1,30abB，求 A。 （答案：一解）A为锐角A为钝角或直角图形关系式AbasinbaAb sinbaba解的个数一解两解一解一解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

7、师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 练习： 1。在ABC中，已知060,3,2Bba解三角形。2在ABC中，已知045, 3,23Ccb解三角形。3在ABC中，已知060, 4,3Aca解三角形。题型二、利用正弦定理解决 “ 已知两角一边 ” 的类型两角一边（两角一对边，两角一夹边）模型 1：在ABC中，已知角BA,和边a,解三角形。模型 2：在ABC中，已知角BA,和边c,解三角形。用正弦定理例题：例题 1：在ABC中，已知2,45,3000aBA解三角形。解析：根据三角形内角和定理，得000010575180)(180BAC

8、，再根据正弦定理BbAasinsin，得2221222sinsinABab，再根据余弦定理Cabbaccos2222，得2022262348105cos2222222）（）（c，所以62c综上：62,22,1050cbC。例题 2：在ABC中，已知32,45,7500aCB解三角形。解析：根据三角形内角和定理，得000060120180)(180CBA，再根据正弦定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 理BbAasi

9、nsin， 得622346232sinsinABab， 再 根 据 正 弦 定 理CcAasinsin， 得22232232sinsinACac。 综上，22,62,600cbA。练习：1 在ABC中，已知4,15,6000cCB解三角形。2 在ABC中，已知6,60,4500bCA解三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 题型三、利用余弦定理解决“ 已知两边一夹角” 的类型模型：在ABC中，已知边ba,和角C

10、,解三角形。用余弦定理例题 1：在ABC中，已知060, 2, 1Cba解三角形。解析：根据余弦定理Cabbaccos2222，得32121221222c，所以3c，再根据余弦定理，得03122-312cos222222）（acbcaB，又因为001800B，所以090B，再根据内角和定理，得000030150180)(180CBA。综上，3,90,3000cBA。练习：1 在ABC中，已知060, 2,4Cba解三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 1

11、7 页 - - - - - - - - - 题型四、利用余弦定理解决“ 已知三边 ” 的类型模型：已知边cba,解三角形。根据余弦定理，bcacbA2cos222，acbcaB2cos222，abcbaC2cos222，分别求得角CBA,（或根据内角和定理求得角C)。例题 1：在ABC中，已知32,4,2cba解三角形。解 析 ： 根 据 余 弦 定 理 ， 得2332422-3242cos222222）（bcacbA， 又 因 为001800A，所以030A，再根据余弦定理，得032224-3222cos222222）（acbcaB，又001800B,所以090B, 再根据三角形内角和定理，

12、得000060120180)(180BAC。综上，00060,9030CBA，。练习：1 在ABC中，已知226,3,2cba解三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 题型五、利用余弦定理解决“ 已知两边一对角” 的类型模型：在ABC中，已知边ba,和角A,若只求第三边c，用余弦定理。模型：在ABC中，已知边ba,和角A,若不是只求第三边c，用正弦定理。例题：例题 1：在ABC中，已知045,2,2Aca，求边

13、 b。解析：根据余弦定理Abccbacos2222，得022245cos2222bb）（，既0222bb，解得31b或31b（舍去），练习： 在ABC中，已知030,32,6Bcb，求边 a。 （答案：33a）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 题型六、 三角形面积例 1在ABC中，sincosAA22，AC2，3AB，求Atan的值和ABC的面积。解：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。si

14、ncosAA2221(sincos )212sincos20180 ,sin0,cos0.1(sin 2)2AAAAAAAAooQ另解23cossin21)cos(sin2AAAA, sincosAA62+得sin A264， 得cosA264。从而sin264tan23cos426AAA。SACABAABC1212232643426sin()以下解法略去。练习 1在ABC中 ,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos23cos1ABC. (I)求角A的大小 ; (II) 若ABC的面积5 3S,5b,求sinsinBC的值 . 解:(I) 由已知条件得:cos23cos1AA22co

15、s3cos20AA, 解得1cos2A,角60A(II)1sin5 32SbcA4c, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 由余弦定理得:221a,222228sinaRA25sinsin47bcBCR练习 2. 已知ABC的周长为21，且sinsin2 sinABC（I）求边AB的长； （II）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数解： （I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得

16、1AB（II）由ABC的面积11sinsin26BC ACCCgg，得13BC ACg，由余弦定理， 得222cos2ACBCABCAC BCg22()2122ACBCAC BCABAC BCgg，所以60Co练习 3在ABC中，内角ABC， ，对边的边长分别是abc， ，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3，求ab，；（）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积解： （）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab联立方程组2244ababab，解得2a，2b（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即s

17、incos2sincosBAAA，当cos0A时，2A，6B，4 33a，2 33b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，解得2 33a，4 33b所以ABC的面积12 3sin23SabC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 题型七：看到“a2 = b2+c2bc”想到余弦定理例 1：在 ABC 中， a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边长，已知2bac

18、，且 a2c2=acbc，求 A 的大小及cBbsin的值。分析：因给出的是a、 b、c 之间的等量关系，要求A，需找 A 与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac 可变形为cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。解法一： b2=ac。又 a2c2=acbc， b2+c2a2=bc。在ABC 中，由余弦定理得：cosA=bcacb2222=bcbc2=21， A=60 。在ABC 中，由正弦定理得sinB=aAbsin， b2=ac，A=60 ，acbcBb60sinsin2=sin60 =23。解法二：在 ABC 中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB。b2=ac， A=

19、60 ，bcsinA=b2sinB。cBb sin=sinA=23。评述： 解三角形时， 找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状 边角互化问题例 1. 在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解法 1：由CBAsincossin2sin(

20、AB)sinAcosBcosAsinB，即 sinAcosBcosAsinB0，得 sin(AB)0，得 AB故选 (B) 解法 2：由题意，得cosBsin2sin2CcAa，再由余弦定理，得cosB2222acbac2222acbac2ca，即 a2b2，得 ab，故选 (B) 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2)例 2. 在ABC中，若abAB22tantan，试判断 ABC 的形状。答案：故 ABC 为等腰三角形或直角三角形。练习 1. 在ABC中，coscosaAb，判断 ABC 的形状。答案：ABC为等腰三角形

21、或直角三角形。练习 2、在ABC中 ,22sinsinaBbA，这个三角形是 _三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 练习 3、sinsin2sinsin,ABCacACABABC在中，且判断的形状。题型九：三角形中最值问题例 1ABC的三个内角为ABC、 、， 求当 A 为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C= ，得B+C2=2A2，所以有 cosB+C2=sin

22、A2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+ 2sinA2=2(sinA212)2+ 32；当 sinA2= 12，即 A=3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为32。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。练习 . 设锐角ABC的内角ABC、 、的对边为, ,a b c，2 sinabA（1）求 B 的大小。6（2）求cossinAC的取值范围。3 3(,)22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

23、- - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 题型十、边角互化问题例 1、在ABC中，已知 2b=a+c，证明：2 sinB= sinA+ sinC 例 2、在ABC中， a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，试证明：a = b cosC + c cosB例3、 已 知abc， ，为ABC的 三 个 内 角ABC， ，的 对 边 ， 向 量( 31)，m，(cossin)AA，n 若mn， 且coscossinaBbAcC， 则角B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

24、理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 例 4、在ABC中，已知BC=a，AC= b，且a，b 是方程02322xx的两个根，1)cos(2BA求：角 C 的度数 AB 的长例 5. 已知ABC的周长为21，且sinsin2 sinABC求边AB的长；若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数练 习1 设ABC的 内 角ABC， ，所 对 的 边 长 分 别 为abc， ， 且cos3aB，sin4bA 求边长a；若ABC的面积10S，求ABC的周长l名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

25、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 练习 2. 在ABC中，内角ABC， ，对边的边长分别是abc， ，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3， 求ab，；（）若sinsin()2sin 2CBAA， 求ABC的面积练习 3.在ABC中, ,a b c分别为,ABC的对边，若2sin (coscos )3(sinsin )ABCBC，（1）求A的大小；（2）若61,9abc，求b和c的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

26、 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 题型十一：正余弦定理的实际应用例 6 （2009 辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。试探究图中B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，21.414，62.449）解:在 ABC 中， DAC=30 , ADC=60 DAC=30,

27、所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60 =60 ，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以BD=BA ，在ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60因此， BD=。km33.020623故 B，D 的距离约为0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -