2022年圆锥曲线与方程知识总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固学问网络学问要点梳理 学问点一：圆锥曲线的统肯定义 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线；平面内, 到肯定点的距离与它到一条定直线（不经过定点） 的距离之比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率；e（ 0,1）时轨迹是椭圆；e=1 时轨迹是抛物线；e（ 1,+）时轨迹是双曲线；学问点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质 1椭圆：1 定义： 平面内到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数 大于 |F1F2| 的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点2 标准方程当焦点

2、在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；3 椭圆的的简洁几何性质: 名师归纳总结 范畴：,顶点,、,短轴长 =,焦距,第 1 页,共 8 页焦点,长轴长 =- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点2双曲线1 定义： 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的肯定值等于常数 小于 |F1F2| 的点的轨迹叫做双曲线 , 这两个定点叫双曲线的焦点2 标准方程当 焦 点 在轴 上 时 , 双 曲 线 的 标 准 方 程 ：, 其 中；当 焦 点 在轴 上 时 , 双 曲 线 的 标 准 方 程 ：, 其 中.

3、3 双曲线 的简洁几何性质范畴：,；,虚轴长 =,焦距；焦点,顶点,实轴长 =离心率是,准线方程是；渐近线：. 3抛物线1 定义 : 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线2 标准方程四种形式：,；3 抛物线标准方程的几何性质范畴：,对称性：关于x 轴对称顶点：坐标原点名师归纳总结 离心率：. 第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点学问点三：直线和圆锥曲线的位置关系1直线 Ax+By+C0 和椭圆 的位置关系：将直线方程代入椭圆

4、后化简为一元二次方程,其判别式为 ；1 如 0,就直线和椭圆相交,有两个交点 或两个公共点 ；2 如 0,就直线和椭圆相切,有一个切点 或一个公共点 ；3 如 0,就直线和椭圆相离,无公共点2直线 Ax+By+C0 和双曲线 的位置关系：将直线方程代入双曲线方程后化简方程如为一元一次方程,就直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点；如为一元二次方程,就1 如 0,就直线和双曲线相交,有两个交点 或两个公共点 ；2 如 0,就直线和双曲线相切,有一个切点；3 如 0,就直线和双曲线相离,无公共点留意：如说直线和双曲线有一个公共点,就要考虑两种情形：一个切点和一个交点3

5、直线 Ax+By+C0 和抛物线y22pxp 0 的位置关系：将直线方程代入抛物线方程后化简后方程：如为一元一次方程,就直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点；如为一元二次方程,就1 如 0,就直线和抛物线相交,有两个交点 或两个公共点 ；2 如 0,就直线和抛物线相切,有一个切点；3 如 0,就直线和抛物线相离,无公共点；留意：如说直线和抛物线有一个公共点,就要考虑两种情形：一个切点和一个交点4直线被圆锥曲线截得的弦长公式：当直线的斜率k 存在时,直线y kx+b 与圆锥曲线相交于,两点,弦长公式：当 k 存在且不为零时 , 弦长公式仍可以写成：学问点四：曲线的方

6、程和方程的曲线的关系一般地,在直角坐标系中,假如某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）名师归纳总结 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）曲线学习必备精品学问点的解；上全部点的坐标都是方程（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上. 的曲线 . 那么,方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程学问点五：求曲线的方程 1. 定义：在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满意某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标（x,y）所满意的方程表示曲线,通过争论方程的性质间接地来争论曲线的性质. 这就

7、是坐标法 . 2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步： 建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题；其次步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：把代数运算结果“ 翻译” 成几何结论 . 通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一 . 用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数争论；最终再把代数运算结果“ 翻译” 成相应的几何结论 几何问题的“ 三步曲”；. 这就是用坐标法解决平面3求轨迹方程的常用方法：直接法、相关点法 . 定义法、代入法、参数法等；规律方法指导 3圆锥曲线综合题类型 1

8、 用待定系数法求圆锥曲线方程 数形结合：先定型,再定量,留意区分解析条件与纯几何条件,假如位置不确定时,考虑是否两解在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否精确；方程思想： n 个未知数,列够n 个独立的方程,并留意韦达定理的使用：留意“ 点在线上” 条件的使用 2求轨迹方程 利用已知参数方程法或自设参数 基本方法：定义法、直接代入法、参数法留意：留意限制；求轨迹方程与求轨迹的区分；曲线类型及相应的几何特点；求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的n 个未知数,列够 n-1 个独立方程,特殊留意考虑是否可利用定义直接列出方程 3 求取值范畴或最值函数方法 -将待求范

9、畴参数表示为另一个变量的函数,留意求函数的定义域；方程与不等式组-n 个未知数,列够 n 个独立方程或不等式,留意归纳总结列不等式的方法：利用几何性质求参数范畴；利用不等式性质 结合几何性质 求参数范同圆锥曲线学问点回忆名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点1椭圆的性质条件标准方程顶点M|MF 1|+|MF2|=2a , 2a |F1F2|M|点M|MF |=点M|MF | 2= e, 1到l1的距离到l2的距离x2y21 a 0 x2y21 a 0 a2b2b2a2A1 a , 0, A2a , 0

10、A 10 , a, A 20 , aB10 , b, B20 , bB1 b , 0, B2b , 0轴 焦点 焦距离心率准线方程焦点半径点和椭圆 的关系切线方程切点弦 方程弦长公式对称轴： x 轴, y 轴长轴长 |A1A 2|=2a ,短轴长 |B1B2|=2bF1 c , 0, F2c , 0F10 , c, F20 , c|F1F2|=2cc 0, c2=a2 b2ec0 1l2： a2l1： a2；l2： a2al1： a2；cccc|MF 1| a ex0 ,|MF 1| a ey0 ,|MF 2| a ex0|MF 2| a ey0外x2 0y2 01x0,y0在椭圆上a2b2内

11、k 为切线斜率 ,2 2ykxa kb2k 为切线斜率 ,2 2ykxb ka2x xy y1x xy y 1a2b2b2a2x 0 , y0为切点x0 , y0为切点x 0 , y0在椭圆外 x x 2y y 21 a bx0 , y0在椭圆外 x x 2y y 2 1 b a|x2x | 1 + k 12或|y1y | 1 + 1 2k 2其中 x1 , y1,x2 , y2为割弦端点坐标,k 为割弦所在直线的斜率2双曲线的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点P M|MF 1|MF 2| 2

12、a , a 0 , 2a |F1F2| 条件标准方程 顶点 轴 焦点 焦距 离心率准线方程 渐近线PM|点M|MF | 到 l 1 的距离 点M|MF | 到 l 2 的距离 , 1x2y21a , 0y2x21a , 0a2b2a2b2A1 a , 0, A2a , 0A10 , a, A20 , a对称轴： x 轴, y 轴,实轴长 |A1A2| 2a ,虚轴长 |B1B2| 2bF1 c , 0, F2c , 0F10 , c , F20 , c|F1F2| 2cc 0, c2 a2 b2ece1；l2： a2l1： a2；l2： a2aa2l1： ccccybx或x2y20yax或y2

13、x20方程aa2b2ba2b2共渐近线 的双曲线 系方程焦点半径切线方程切点弦x2y2kk0y2x2kk0a2b2a2b2|MF 1| ex0 a ,|MF1| ey0 a,|MF 2| ex0 aykxa kb2|MF2| ey0 aykxb ka2k 为切线斜率 k 为切线斜率 kb 或 ay y21bbka 或 b x x21baabx xy ya2a2x 0 , y0为切点x 0 , y0为切点xya2的切线方程：x y2y xa x 20,y 为切点x 0 , y 0 在双曲线外x 0 , y 0 在双曲线外x0xy y 1y0yx0x 1方程a2b2a2b2弦长公式|x2x |1

14、+ k2或|y1y2|1 +1k2其中 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 为割弦端点坐标,k 为割弦所在直线的斜率3抛物线中的常用结论名师归纳总结 过抛物线y22px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为2p 就 AB 过 F 的充要条件第 6 页,共 8 页设 Ax 1,y,1Bx 2,y2是抛物线 y2 2px 上的两点,是 y 1y 2 p2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 A, B 是抛物线y学习必备精品学问点就 OA OB 的充要条件是22px 上的两点, O 为原点,直线 AB 恒过定点 2p,0 4. 圆锥曲线 椭圆、双曲线

15、、抛物线统称圆锥曲线 的统肯定义与肯定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用 e 表示,当 0e1 时,是椭圆,当 e1 时,是双曲线,当 e 1 时,是抛物线4直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）1.第一会判定直线与圆锥曲线是相交、相切、仍是相离的a.直线与圆： 一般用点到直线的距离跟圆的半径相比 根的个数来判定 解析法 . 几何法 ,也可以利用方程实b. 直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判定相交、相切、相离 c. 直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 2.a. 求弦所在的直线方程 b.依据其它条件

16、求圆锥曲线方程3.已知一点A 坐标,始终线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求 P、Q 所在的直线方程4.已知始终线方程, 某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）5二次曲线在高考中的应用求某个值的取值范畴 （或二次曲线在高考数学中占有非常重要的位置,是高考的重点、 热点和难点； 通过以二次 曲线为载体,与平面对量、导数、数列、不等式、平面几何等学问进行综合,结合数学思想方法, 并与高等数学基础学问融为一体,考查同学的数学思维才能及创新才能,其设问形式新奇、好玩、综合性很强；本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,赐予较深化的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用；1. 重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面对量的奇妙结合；2. 重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系；3. 重视二次曲线性质与数列的有机结合；4. 重视解析几何与立体几何的有机结合；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点6学问网络性质：对称性、焦点、顶点、圆锥曲线椭圆、曲线、直线定义标准方程离率、准线、焦半径等 直线与圆锥曲线的位置关系名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页