2022年大一高数知识点,重难点整理3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 版权全部,仿冒必究第一章 基础学问部分&1.1 初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述,是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型；设有两个变量x 与 y,假如对于变量x 在实数集合D 内的每一个值,变量y 依据一定的法就都有唯独的值与之对应,那么就称x 是自变量 ,y 是 x 的函数 ,记作 y=f（x）,其中自变量 x 取值的集合D 叫函数的 定义域 ,函数值的集合叫做函数的值域 ；2、函数的表示方法（1）解析法即用解析式 （或称数学式） 表示函数； 如 y=2x+1, y= x,y=lgx+1,y=si

2、n3x 等；便于对函数进行精确地运算和深化分析；（2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法；便于差的某一处的函数值；（3）图像法即用图像来表示函数关系的方法特别形象直观,能从图像上看出函数的某些特性；分段函数 即当自变量取不同值时,函数的表达式不一样,如y 2x2 x 1,1 xx 0 0f x x sin0 1x , xx 00隐函数 相对于显函数而言的一种函数形式；所谓显函数, 即直接用含自变量的式子表示的函数,如 y=x2+2x+3,这是常见的函数形式；而隐函数是指变量 x、y 之间的函数关系式是由一个含 x,y 的方程 Fx,y=0 给出的,如 2x+y-3=0 ,e x

3、yx y 0 等；而由 2x+y-3=0可得 y=3-2x ,即该隐函数可化为显函数；x t,参数式函数 如变量 x,y 之间的函数关系是通过参数式方程 t T 给出的,y t这样的函数称为由参数方程确定的函数,简称参数式方程,t 称为参数；反函数 假如在已给的函数 y=fx 中,把 y 看作自变量, x 也是 y 的函数, 就所确定的函数 x= y 叫做 y=fx 的反函数,记作 x=f 1y 或 y= f 1x 以 x 表示自变量 . 二、函数常见的性质1、单调性 （单调增加、单调削减）2、奇偶性 （偶 : 关于原点对称,f （-x ）=f （x）；奇：关于y 轴对称, f （-x ）=-

4、fx.）3、周期性 （T 为不为零的常数,f （x+T） =f （x）,T 为周期）4、有界性 （设存在常数 M0,对任意 xD,有 f x M,就称 fx 在 D上有界 ,假如不存在这样的常数 M,就称 fx 在 D上无界 ；5、极大值、微小值1 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 版权全部,仿冒必究6、最大值、最小值 三、初等函数 1、基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为 基本初等 函数；（图像、性质详见 P10）2、复合函数假如 y 是 u 的函数 y=f

5、u, 而 u 又是 x 的函数 u= x ,且x 的值 域与 fx 的定义域的交非空,那么 y 也是 x 的函数,称为由 y=fu 与 u= x 复合而成的 复合函数 ,记作 y=f x ；3、初等函数由基本初等函数经过有限次四就运算和有限次的函数复合构成的,并 且能用一个数学式子表示的函数,称为 初等函数；四、函数关系举例与经济函数关系式 1、函数关系举例 2、经济函数关系式（1）总成本函数（2）总收益函数（3）总利润函数总成本 =固定成本 +变动成本 平均单位成本 =总成本 / 产量 销售总收益 =销售价格 产量总利润 =销售总收益 - 总成本（4）需求函数 如其他因素不变,需求量Q=fP

6、P 为产品销售价格 &1.2 函数的极限一、数列的极限对于无穷数列 an ,当项数 n 无限增大时,假如an 无限接近于一个确定的常数CA,就称 A 为数列 an 的极限 ,记为nliman=A,或当 n时, an A；（ C为如数列 an 存在极限,也称数列an 收敛 ,例如nlim10,nlimCn常数）,nlimqn =0 q 1 ；如数列 an 没有极限,就称数列an 发散 ；数列极限不存在的两种情形：（ 1）数列有界,但当n时,数列通项不与任何常数无限接近,如：1n1；（ 2）数列无界,如数列n 2 ；二、当 x0 时,函数 f （x）的极限假如当 x 的肯定值无限增大（记作 x）

7、时,函数 fx 无限地接近一个确定的常数limA,那称 A 为函数 fx 当 x时的 极限,记作 f x A,或当 x时, fx A；x单向极限定义 假如当 x 或 x 时,函数 fx 无限接近一个确定的长寿湖 A,那么称 A 为函数 fx 当 x 或 x 时得极限,记作lim limf x A f x A；x n2 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 版权全部,仿冒必究三、当 XXo 时,函数 f （x）的极限1、当 XXo 时,函数 fx 的极限定义假如当 x 无限接近 Xo记作 XXo时,函数

8、fx 无限接近于一个确定的常数 A,就称limA为函数 fx 当 XXo 时的 极限 ,记作 f x A,或当 XXo 时, fx A；n2、当 XXo 时,函数 fx 的左极限和右极限假如当 XXo （或 x x 0）时,函数 fx 无限接近一个确定的常数 A,就称函数lim limfx 当 XXo 时的左极限（右极限）为 A,记作 f x A f x A；x x 0 x x 0四、无穷大与无穷小1、无穷大与无穷小的定义lim假如当 XXo 时,fx 0,就称 fx 当 XXo 时的 无穷小 ,记作 f x 0；如x x 0果当 XXo 时, fx 的肯定值无限增大,就称函数 fx 当 XX

9、o 时为 无穷大 ,记作limf x；其中,假如当 XXo时, fx 向正的方向无限增大,就称函数 fx 当 Xx x 0limXo 时为 正无穷大 ,记作 f x；假如当 XXo 时,fx 向负的方向无限增大,x x 0lim就称函数 fx 当 XXo 时为 负无穷大 ,记作 f x；x x 02、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化中,假如 fx为无穷大, 那么f1为无穷小； 反之,假如 fxx 为无穷小,那么f1为无穷大；x 依据这个性质,无穷大的问题可以转化为无穷小的问题；3、无穷小的性质性质 1： 有限个无穷小的代数和为无穷小；性质 2： 有限个无穷小的乘积为无穷小；性质 3： 有

10、界函数与无穷小的乘积为无穷小；4、无穷小的比较设 a 与 b 是自变量同一变化中的两个无穷小,记作 a=ob ； 1 假如 lim a =0,就称 a 是比 b 低阶 的无穷小；b 2 假如 lim a =, 就称 a 是比 b 高阶 的无穷小；b3 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 版权全部,仿冒必究 3 假如 lim a =cc 为非零的常数 , 就称 a 是比 b 同阶 的无穷小；b特殊的,当 c=1, 即 lim a =1 时,称 a 与 b 是等阶 无穷小,记作 ab；b&1.3 极限运算

11、法就法就一 如 lim u=A ,lim v=B ,就 limu v=lim u lim v=A B; 法就二 如 lim u=A ,lim v=B ,就 limuv=lim u lim v=A B；法就三 如 lim u=A ,lim v=B ,且 B 0,就 lim u = lim u = Av lim v B推论 如 lim u=A , C为常数, kN,就 1lim Cu=Clim u=C A； 2lim u k= lim u k= A k注 运用这一法就的前提条件是 为零）；一、xlim0sin x =1 x二、xlim11x=exu 与 v 的极限存在（在商的情形下仍要求分母的极限

12、不&1.4 两个重要极限&1.5 函数的连续性一、函数连续性的概念1. 函数在某点的连续性如函数 fx在点x 及其左右有定义, 且xlimx0fx=fx ,就称函数 fx 在点x0处连续 ,x 为函数 fx 的 连续点 ；懂得这个定义要把握三个要点：（1） fx 要在点 x 及其左右有定义；lim（2） fx 要存在x x 0lim（3）fx= f x ；x x 0增量4 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 版权全部,仿冒必究 x=x-x0 y= fx- fx x 在点x 处的增量x 趋近于零设函数

13、fx 在点x 及其左右有定义,假如当自变量时,相应的函数增量y 也趋近于零, 即lim0y0,就称函数 fx 在点x 处连续 ,x0x为 fx的连续点 ；2. 函数在区间上的连续性、连续函数假如函数 fx在区间（ a,b）上每一点上连续,就称函数fx 在区间（ a,b）上连续；假如函数 fx在某个区间上连续,就称fx 是这个区间上的连续函数 ；二、连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的运算假如两个函数在某一点连续,那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续；合函数设函数 ux0在点x 处连续,且u0x0,函数y=fu 点u 处连续,那么复yf在点x 处也连续；2. 初等函数

14、的连续性初等函数在其定义域内是连续的；其次章 微分与导数&2.1 导数的概念设函数 y=fx 在点 x 处及其左右两侧的小范畴内有定义,当x0 时,如 y 得极限x存在,就称 y=fx 在点 x 处可导 ,并称此极限值为函数 y=fx 点 x 处的导数 ,记作fx 0 lim y lim f x 0 x f x 0,x 0 x x 0 x仍可记作 y x x 0 或 dydxx x 0, dx x x 0；函数 fx 在点 x 可导且 f x =A 等价于 f x 和 f x 都存在且等于 A,即f x 0 A f x 0 f x 0 A；依据这个定理, 函数在某点的左、 右导数只要有一个不存

15、在,该点的导数就不存在；或者虽然都存在但不相等,&2.2 导数的四就运算法就和基本公式 5 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 版权全部,仿冒必究一、导数的四就运算法就设函数 u=ux ,v=vx 都可导,就（1）u v u v；（2） u . v = uv + u,特殊的, k u =ku, 其中 k 为常数；（3）如 v 0,就 u u v2 u v,特殊的,k k2 v,其中 k 是常数；v v v v推论 如函数 u 1 u 1 x,u 2 u 2 x,.,u m u m x 都可导,就 1

16、u 1 u 2 u m u 1 u 2 u m； 2 u 1 u 2 u m u 1 u 2 u m u 1 u 2 u m u 1 u 2 u m . 如函数 y=fx 在开区间 I 内单调、可导,且 f x 0,就反函数 x f-1 y 在对应区间内可导,且 f-1y 1,或 y x x y 1；f x二、导数的基本公式1c0,c 为任意常数； 2 xx1,为任意非零实数；3 a xa xln a,a 0 且 a 1； 4 ；x ex e；log axx1a,a0 且 a 1； 6 ln x1 x5 ln7 sin xcosx； 8 cos xsinx；9 tan x2 secx； 10

17、cot x2 cscx；11 arcsin x11x2； 12 arccos x11x2；13 arctan x112； 14 arccot x112；xx&2.3 复合函数、隐函数求导法就一、复合函数求导法就设函数 y=fu 在 u 处可导, u=x 在 x 处可导,就复合函数 y=fux 在 x 处可导,且导数为 dy df du 或 y uf u u x；dx du dx可见,复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数；详细求导步骤如下：6 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - -

18、- - - - 版权全部,仿冒必究（1）引进中间变量 u,将复合函数分解为基本初等函数 y=fu 与函数 u=ux ；（2）运算 f u u , 在将 u=ux 代入,表示成关于 x 的表达式 uf u x；（3）运算 ux, 如 ux 是基本初等函数或简洁函数,直接求出 ux ；如 u=ux仍旧是复合函数, 就连续分解, 重复上述步骤, 直至求出 ux ；最终作乘积 f u x u x即求得 y；二、隐函数求导法就如需求因隐函数y 在点x 处的导数值y xx0,详细求法是：y ；xx0；（1）先由方程F（x,y） =0 求出对应于xx0的函数值 y=（2）再求出 y ,然后将xx0,y=y

19、代入,所得数值即为y &2.4 高阶导数fn函数y=fx的 n-1阶导数fn-1x的导数称为函数y=fx的 n 阶导数,记作yn或x,dny,dnf；dxndxn高阶导数 ,相应地,函数y=fx的导数fx称为 一阶导二阶和二阶以上的导数统称为数；求高阶导数只需反复进行一阶导数的求导运算即可；&2.5 函数的微分设函数 y=fx 在点 x 处及其左右两侧的小范畴内有定义,自变量 x 在点 0x 处有转变量x 0,相应的函数该变量为 y ；如存在常数 A,使得当 x 0 时,y A x 是比 x高阶的无穷小, 即 lim y A x 0,就称函数 y=fx 在点 0x 处可微, 并称 A x 为函

20、x 0 x数 y=fx 在点 0x 处的微分,记作 dyx x 0 A x；函数 y=fx 在点 x 处可微与在点 x 处可导等阶,且 dyx x 0 f x 0 x；如函数 y=fx 在区间 I 上没一点都可微,就称函数 y=fx 在区间 I 上可微 ；函数的微分可以写成 dy f x dx；依据函数 y=fx 的微分表达式、基本初等函数的导数公式及运算法就,可得以下微分运算公式及法就：（1）dc=0 （c 为常数）（2）dux+c=duxc 为常数 7 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 版权全部

21、,仿冒必究（3）dkux=kduxk为常数 fudu；我们把这个定理称为（4）dux vx=dux dvx （5）dux vx=vxdu（x）+u （x） dvx （6）duvduv2udvv（7）dfuxfuxuxdx假如函数y=fu 对 u 可微, u=ux 对 x 可微,就dy微分形式不变性；&2.6 函数的单调性、极值与最值一、函数的单调性设函数 fx在开区间 I 内可导：fx=0 的点（1）假如fx0,那么函数fx在 I 内单调增加；（2）假如fx0,那么函数fx在 I 内单调削减；假如函数fx 的一阶导数fx在开区间I 内恒非负（恒非正） ,且使得只是一些孤立的点,那开区间I 为函

22、数 fx 的单调增加区间（单调削减区间）；二、函数的极值如函数 fx 在点 x 处的一阶导数值 f x 0 0,就称点 0x 为函数 fx 的驻点 ；如函数 fx 在点 x 处可导,且 x 是 fx 的极值点,就 x 必是函数 fx 的驻点；极值存在的第一充分条件：设函数 fx 只可能在有限的几个点处不行导,点 0x 为 fx的驻点或一阶导数不存在的点,当 x 从点 x 的左侧变化到右侧时：（1）假如一阶导数 f x 变号,且从正号（负号）变化到负号（正号）,就点 x 为函数fx 的极大值点（微小值点）；（2）假如一阶导数 f x 不变号,就点 0x 不是函数 fx 的极值点；极值存在的其次充

23、分条件：设函数 fx 在其驻点 x 处二阶可导；（1）如 f x 0,就 0x 是函数 fx 的极大值点；（2）如 f x 0,就 0x 是函数 fx 的微小值点；三、函数的最值8 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 版权全部,仿冒必究闭区间上的连续函数必有最值；最值可在区间内部取得,也可在区间端点取得；结合最值与极值的关系,求函数fx 在 a ,b 上的最值的步骤如下：（1）求出函数在开区间（a, b）内全部可能的极值点的函数值（包括驻点、间断点及导数不存在的点的函数值）；（2）求出区间点的函数值 fa 和 fb ；（3）将这些函数值进行比较其中最大（小）者为最大（小）值；&2.8 经济应用一、边际函数总成本函数 C=Cx 对产量 x 的一阶导数 C x 称为 边际成本函数 ；总收益函数 R=Rx对产量 x 的一阶导数 R x 称为 边际收益函数 ；总利润函数 L=Lx 对产量 x 的一阶导数 L x称为 边际利润函数 ；二、需求弹性函数需求函数 Q=QP对销售价格P 的相对变化率称为需求弹性函数,记作PQPP；QP9 版权全部,仿冒必究名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页