2022年函数概念与基本初等函数典型例题解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次章 函数概念与基本初等函数 2.1 映射、函数、反函数 7/16/2022二、疑难学问导析1. 对映射概念的熟悉1 与 是不同的,即 与 上有序的 . 或者说：映射是有方向的,2 输出值的集合是集合 B 的子集 . 即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值 . 集合 A 中每一个输入值,在集合 B 中必定存在唯独的输出值 . 或者说：答应集合 B 中有剩留元素；答应多对一,不答应一对多 .3 集合 A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合 . 2. 对函数概念的熟悉 2 留意定义中的集合 A ,B 都

2、是非空的数集 , 而不能是其他集合；（ 3）函数的三种表示法：解析法,列表法,和图像法 .3. 对反函数概念的熟悉（1）函数 y=f x 只有满意是从定义域到值域上一一映射,才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求,而应当通过原函数的值域而得 .（3）互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于 y=x 对称 .三、经典例题导讲 例 1 设 M a,b, c, N 2,0,2 , 求（ 1）从 M到 N的映射种数；（2）从 M到 N 的映射满意 f a f b fc, 试确定这样的映射 f 的种数 . 例 2 已知函数 f x

3、 的定义域为 0 ,1 ,求函数 f x 1 的定义域 例 3 已知：x N * , f x x 5 x 6,求 f 3 .f x 2 x 6 例 4 已知 f x 的反函数是 f 1 ,假如 f x 与 f 1 的图像有交点,那么交点必在直线 y x上,判定此命题是否正确？y 1 x与 y log 1 x 的图像的交点中,点 1 1, ,（ ,）不在直线y 1 1 x上,由此可以 说明 “ 两互为反函数图像的交点必在直16 16 2 4 4 2线 y x上” 是不正确的 . 例 5 求函数 y f x x 24 x 6,x 1,5 的值域 . 例 6 已知 f x 3 x 4,求函数 f 1

4、 x 1 的解析式 . 例 7 依据条件求以下各函数的解析式：（ 1）已知f x 是二次函数,如f00,f x1f x x1,求f x .第 1 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）已知fx1x2x ,求f x 学习必备欢迎下载（ 3）如f 满意f x 2 1xax ,求f x ,x y都有 例 9 设f x 是 R上的函数,且满意f01,并且对任意的实数f xyf x y2xy1,求f 的表达式 .四、典型习题导练1. 已知函数 fx ,xF,那么集合 x ,y|y=fx, xF x ,y|x=1 中所含元素的个数

5、是（ t）tB.g t1tA.0 B.1 C.0或 1 D.1或 2 log12. 对函数fx3x2axb作代换 x=gt ,就总不转变f x 值域的代换是 A.g2C.gt=t12D.gt=cost 23. 方程 f x,y=0的曲线如下列图,那么方程f 2 x,y=0的曲线是 D A B C 4. 函数 fx19 | xn| 的最小值为i1A190 B.171 C.90 D.45 5. 如函数 f x=mx3 x3 在定义域内恒有 4f f x =x, 就 m等于 D. 3 第 2 页,共 10 页4xA.3 B.3C. 3226. 已知函数f x满意：f abf a f b,f12,就f

6、21f2f22f4f23f6f247f8 . f1f3f5f名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 2.2 函数的性质三、经典例题导讲 例 1 判定函数y 13x的单调性 . xy, 例 2 判定函数f x 1x1x的奇偶性 . 定义域 1x 例 3 判定f x log xx21的奇偶性 . 例 4 函数 y=54 xx2的单调增区间是 _. 例 5 已知奇函数 f x 是定义在 3,3 上的减函数,且满意不等式f x3+f x230, 求 x 的取值范畴 . A=x|2 x6 , 例 7 如 fx= ax1在区间（ 2,）

7、上是增函数,求a 的取值范畴x2a1 2 例 8 已知函数 f x在 1,1 上有定义, f 1 = 1, 当且仅当 0x1 时 f x0, 且 a2a+1= a1 22+3 0, 4a2a1 1+2x+4x a0, a11, 4x2x当 x , 1时, y=1 与 y= x 41都是减函数,11max=3 , 42x y= 1 x 1 x 在 , 1 上是增函数,4 2 3 , 故 a 的取值范畴是 3 , + . 4 44x2x a点评： 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主,主客换位,创设新的函数,并利用新函数的性质制造性地使原问题获解, 是解题人思维品质高的

8、表现. 此题主客换位后, 利用新建函数y=11的单调性转换为函数最值奇妙地求出了4x2x实数 a 的取值范畴 . 此法也叫主元法 . 四、典型习题导练1. 函数fxaxb的图像如图,其中a、 b 为常数,就以下结论正确选项（）第 5 页,共 10 页名师归纳总结 A.a,1 b0B.a,1 b0C.0a,1b0D.0a1 ,b0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、已知 2lgx 2y=lgx+lgy,就x 的值为（）学习必备欢迎下载y A.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或 8 ）3、方程logax1x22 0a1 的解的个数为（）D.3 A.0

9、 B.1 C.2 4、函数 fx 与 gx=1 2x 的图像关于直线y=x 对称 , 就 f4 x2 的单调递增区间是D.20, A.0,B.,0C.,025、图中曲线是幂函数y xn在第一象限的图像,已知n 可取 2,1四个值 , 就相应于曲线c1、2c2、c3、c4 的 n 依次为 A. 2,1,1, 2 B2,1,1, 2 . 2xlog2x最大值和最小2222C. 1, 2,2 ,1 D. 2,1, 2, 12 22 5x+6 的定义域、值域、单调区间226. 求函数 y = log 2 x7. 如 x 满意2 log1x214log4x30 , 求 fx=log222值 . 8. 已

10、知定义在R上的函数f x 2xa,a 为常数的单调性 . 函数与方程2x（ 1）假如f x fx,求 a 的值；f x （ 2）当f 满意（ 1）时,用单调性定义争论 2.4 一、学问导学1. 函数的零点与方程的根的关系：一般地,对于函数 y f x（x D）我们称方程 f x 0 的实数根 x 也叫做函数的零点,即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值 . 求综合方程 f x=g x 的根或根的个数就是求函数 y f x g x 的零点 . 2. 函数的图像与方程的根的关系：一般地, 函数 y f x（x D）的图像与x轴交点的横坐标就是 f 0 的根 . 综合方程 f x= g x 的根,

11、 就是求函数 yf x与 y=g x 的图像的交点或交点个数,或求方程 y f x g x 的图像与 x 轴交点的横坐标 . 3. 判定一个函数是否有零点的方法：假如函数yf x 在区间 a,b上图像是连续不断的曲线,并且有f a f b 0,那么,函数yf x 在区间（ a,b ）上至少有一个零点, 即至少存在一个数c , a b 使得f c 0,这个 c 也就是方程f x 0的一个根 . 对于我们学习的简洁函数,可以借助第 6 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yf x 图像判定解的个数,或者把f x 写成g x 学习

12、必备欢迎下载yg x 、yh x 的图像的交点去判定函数f x 的零h x ,然后借助点情形 . 4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数yax2bxc 的零点,就是二次方程ax2bxc0的根,也是二次函数yax2bxc 的图像与x 轴交点的横坐标 . 5. 二分法：对于区间 a,b上的连续不断,且f a f b 0的函数yf x ,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 三、经典例题导讲 例 1 已知函数f x x2ax3a 如x 2,2时,f x 0 恒成立,求 a 的取值范畴 . 综上,得 7 a

13、 2 例 2 已知mx2x10有且只有一根在区间（0,1 ）内,求 m 的取值范畴 . 综上所得, m 2 四、典型习题导练1. 方程x3x20的实根的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. 2. 已知抛物线yf x x22 mxm7与 x 轴的两个交点在（ 1,0 ）两旁, 就关于 x 的方程1x2m1 x2 m50的根4的情形是（）B.有两个负数根 . 有两个正数根C. 有一个正数根和一个负数根D.无实数根3. 如关于 x 的方程2ax2x10在（ 0,1 ）内恰有一解,就a 的取值范畴为（）A. a 1 B. a 1 C. 1 a 1 D.0 a 1 第 7 页,共 10 页

14、名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知函数fxax3bx2cxd学习必备欢迎下载）的图像如下列图,就b 的取值范畴是（A.- ,0 B.0,1 C.1,2 D.2,+2 x成立,且方程fx=0 恰有2,求这个二次函数的5. 已知函数 yfx对一切实数都有fxf26 个不同的实根,就这6 个根的和是 . bxc 中,f1 3,f0 8,且它的两个零点间的距离等于6. 已知在二次函数的解析式f x ax2解析式 . 2.5 函数的综合运用三、经典例题导讲 例 1 不等式logx 22 3x22 x4 logx22x23 x2 .nfmf

15、 n,且当x0时, 0fx1 . 例 5 定义在 R上的函数 fx 满意：对任意实数m n ,总有 fm（ 1）试求f0的值；f1f1f0. fx 2fx 1fx 2x 1.第 8 页,共 10 页（ 2）判定 fx的单调性并证明你的结论；解 ：（ 1）在 f mnf mf n中,令m1,n0. 得：由于f10,所以,f01 . x ,就已知条件可化为：（ 2）要判定 fx 的单调性,可任取x 1,x 2R,且设x 1x . 在已知条件f mnf mf n中,如取mnx m由于x 2x 10,所以1fx 2x 10. xfx1. 为比较fx 2、fx 1的大小,只需考虑fx 1的正负即可 .

16、在 f mnf mf n中,令 mx , nx ,就得fx0时, 0fx1,0. 当x0时,fxf1x10. 又f01,所以,综上,可知,对于任意1xR ,均有fx 1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx 2fx 1fx 1fx 2x 110. 学习必备欢迎下载 函数 fx在 R上单调递减 . aa221. 例 6 设 a 为实数,函数fxx2|xa|1,xR（ 1）争论fx的奇偶性；（ 2）求fx 的最小值 . 解 ：（ 1）当a0时,函数fx x2|x|1fx此时,fx为偶函数当a0时,faa21,faa22|a|1,fafa ,f

17、afa此时fx既不是奇函数,也不是偶函数（ 2）（ i ）当xa时,fx x2xa1x12a324当a1,就函数fx在,a上单调递减,从而函数fx在f,a上的最小值为f2 1如a,就函数在fa a1 . a 上的最小值为f131fa . fx,a,且2242（ ii ）当xa时,函数fxx2xa1x1 21 22a3f1f a413如a,就函数fx在,a 上的最小值为fa,且242如a1,就函数fx在a,上单调递增,从而函数fx在a,上的最小值为2综上,当a1 时,函数21 时,函数2ffx的最小值为a3a4当1 2a1x 的最小值为2当a1时,函数fx的最小值为3a. 24四、典型习题导练1

18、. 对函数fx3x2axb作代换 x=gt ,就总不转变f x 值域的代换是 A.g tlog1tB.g t1t2名师归纳总结 C.gt=t12D.gt=cost 2第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 用铁管做一个外形为直角三角形的铁框架,要使直角三角形面积为 是（）1 平方米,有以下四种长度的铁管,最合理（够用,铺张又最少）的A.4.1 米 B.4.8 米 C.5 米 D.5.2 米3. 函数 y e |ln x | | x 1 | 的图像大致是（）4. 设 x1、x 2为方程 4x 24mx+m+2=0 的两个实根,当 m=_时,x1 2+x 2 2有最小值 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页