2022年定积分及其应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课题定积分及其应用重点定积分的概念与求法定积分的应用t3难点微积分基本定理定积分的应用一、课前检测1.运算e2x1dx_2 e .1x2.已知t0, 如,t2x2dx3, 就 t_.0解析 :t2x2 dxx22x|tt22 t3t3或t1 舍去 , 故003.由曲线yex,x2,y1围成的封闭图形的面积为_.e234.如a 0xdx = 1,就实数 a 的值是 _2 ； _.52sin xdx_2 26.将和式lim nn11n12x.1表示为定积分 _ 2n解11xdx；0 1y围成一个叶形图 如下列图阴影部分, 其面积是 _. 7.曲线y

2、x2和曲线解1 3二、学问梳理1定积分的概念名师归纳总结 一般地,设函数f x 在区间 , a b上连续,用分点iLxn=b-a）,在每个小区间 xi-1,xi 上第 1 页,共 6 页a=x0x 1x2Lxi-1xDxb将区间 , a b 等分成 n 个小区间, 每个小区间长度为Dx（=n任取一点x ii=1,2,L,n,作和式：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S n=n 邋 i = 1fx i Dx=in1b-afx i=n假如 D x 无限接近于 0（亦即 n . .）时,上述和式 S 无限趋近于常数 S,那么称该常数 S 为函b数 f x 在

3、区间 , a b 上的 定积分 ；记为：S = a f x dx,其中 -积分号 , b 积分上限 , a 积分下限,f x 被积函数 , x 积分变量 , , a b 积分区间,f x dx 被积式 ；b说明：（1）定积分 af x dx 是一个常数,即 S 无限趋近的常数 S（ n . . 时）记为b af x dx,而不是 S （2）用定义求定积分的一般方法是：分割：n 等分区间 a b ；近似代替：取点 x i. xi-1,xi；求和：nb-a fx i；取极限： abfx dx=lim nn1f b-a. i =1. i =nnW（3）曲边图形面积：Sb = af x dx；变速运动

4、路程St = 12v t dt；变力做功b = aF r dr2定积分的几何意义从几何上看,假如在区间 ,a b 上函数 fx 连续且恒有f x 30,b af x dx的几何意那么定积分b af x dx表示由直线x=a x=b a.b,y0和曲线y=fx所围成的曲边梯形 如图中的阴影部分 的面积,这就是定积分义；b说明：一般情形下,定积分 af x dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f x 的图形以及直线x = a x = b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负号；分析：一般的,设被积函数 y = f ,如 y = f 在 , a b 上可取负

5、值；考察和式 f x 1 D x + f x 2 D x + L + f x i D x + L + f x n D x不妨设 f x i , f x i + 1 , L , f x n 0于是和式即为名师归纳总结 fx1Dx+fx2Dx+L+fxi-1 Dx-f xi Dx+L+ -f xnDx第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b af x dx =阴影 A 的面积阴影B 的面积 （即x轴上方面积减x 轴下方的面积）摸索： 依据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗？3定积分的性质依据定积分的定义,不难得出

6、定积分的如下性质：b性质 1： akdx = k b-a ；b b性质 2：蝌 kf x dx = ka f x dx k 为常数 （定积分的线性性质） ；b b b性质 3：蝌 f 1 . f 2 x dxa f 1 x dx . . a f 2 x dx（定积分的线性性质） ；b c b性质 4: 蝌 f x dx =a f x dx + . c f x dx 其中 a c b （定积分对积分区间的可加性）b a a1 蝌 f x dx = -b f x dx； 2 af x dx = 0；说明：推广：b 蝌 f1 北 f2 L.fm x dxbf1 x dx北b 蝌 f2 x dxbL.

7、bfm aa推广 :b 蝌 f x dx=c 1af x dx+c 2蝌f x dx+L+cf x dxk性质说明：y性质 1yA性质 4BCy= 1S 曲边梯形Oa=bA MPC+xCPNBOMaPbNxA M NBS 曲边梯形S 曲边梯形三、范例分析例 1运算以下定积分；名师归纳总结 （ 1）3 4|x dx（2）e1x1dx 1第 3 页,共 6 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解（1）3 4|x dx（2）e1x1dx 12=0x dx3xdx.1dx；=lnxe 1 | 21ln21x22；40=1x20 |41x2|3=lne1 10

8、22=25 2=1例 2求定积分2x20解：2x21 dx112 xdx2x21 dxx1 3x31+13 x001013例 3运算定积分：3 392 x dx = ；092 x dx = 3 .392 x dx = 32解9 29 43 2,93所围成的平面图形的面积；0y12x8例 4求由曲线yx22与y3x ,x0x2解 由题意知阴影部分的面积是 :S=1 0x223 x dx2 13xx22dx1x32x3x21 | 03x21x32 2 | 132230yx112例 5已知曲线C 方程为fx ex, 过原点 O作曲线C 的切线C2名师归纳总结 1 求C 的方程 ; S; 第 4 页,

9、共 6 页2 求曲线C ,C 及 y 轴围成的图形面积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 试比较e1与enN*的大小 , 并说明理由nn解 :1 设C 切C 于px0,ex 0ex0ex0得0x1e由fxex, 就fx exk切ex0而k切kopex 0x0x0p ,1e ,k切e切线C 方程为yex2 依题意得S1exexdx0ex1ex211e1010那1 en223 构造函数FxexexFxexe令Fx0得x就Fx在 0,1 为减函数 , 在1, 为增函数e1eFxF 1 0令x1nnnn当n1时e1e当n2且n1enN时ennn四、课外练习名

10、师归纳总结 1.（1）2cos2xdx _ 解3 4（2）.2x21dx_; 解7ln2第 5 页,共 6 页61x32.设函数fxax2ca0. 如1fx dxfx 0,0x01, 就 x0 的值为3 . 303.已知f x 为一次函数,且f x x21f t dt ,就f x _ f x x104. 过 原 点 作 曲 线C yx e 的 切 线 l , 就 曲 线C、 切 线l及y 轴 所 围 成 封 闭 区 域 的 面 积 为_. 解 e （e1）25.利用定积分的几何意义,运算：2 14x2dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解23；32解

11、 ： 由 定 积 分 的 几 何 意 义 知 , 所 求 积 分 是 图 中 阴 影 部 分 的 面名师归纳总结 积S1411323.第 6 页,共 6 页62326. 已知函数f x lnx x0 , 函数g x f1af a0 函数yg x 在 1,1a 处的切线与y3x5平行 , 求 a 的值 ; 在的条件下, 求直线y1x3与函数yg x 的图象所围成图形的面积2解 : f x lnx ;,f 1; 函数yg x xaxx ,g 1a, 由条件得g13a4x2由y1x43解得x 12,x 242yxy 14y 252x直线y1x3与函数yg x 的图象所围成图形的面积：2S41x3x4dx=32ln 222x7.已知yf x 是二次函数,方程f x 0有两相等实根,且f 2x 求f x 的解析式 ）求函数yf x 与函数yx24x1所围成的图形的面积；解：（）设f x ax2bxc a0b24 ac02得：a1, b2,c12 axb2xf x x22x1（）由题y2 x22 xx11x3 或 x0yx4S0 3x24x1x22x1dx2x33 x20 |3 93- - - - - - -