2022年2022年矩阵论试卷 .pdf

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1、南京航空航天大学2010级硕士研究生共 5 页第 1 页2010 2011学年第 1 学期 矩阵论 课程考试 A 卷考试日期： 2011年 1 月 12 日，课程编号： A000003 ，命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩一（20分）（ 1）设234468678A。（i）求A的特征多项式和A的全部特征值；（ii）求A的行列式因子，不变因子和初等因子；（iii）写出A的 Jordan 标准形；（2） 设1761460,4516313AB， 试问 A和 B是否相似？并说明原因。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

2、师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 2 页二（20分）（1）设132112A，求1A，2A，A，FA；（2）设nnCA的特征值为n,21，求证：(i)niFiA122；(ii)niFiA122的充要条件是A为正规矩阵 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 3 页三（20分）设2 21 0,1 2AWX AXXA XR（1） 证

3、明：W是2 2R的线性子空间，并求W的基和维数；（2） 在W中定义变换*:()TT XXX , 其中*X为X的伴随矩阵，证明：T为线性变换；（3） 求T在（1）中所取基下的矩阵表示；（4） 求（2）中线性变换T的值域)(TR和核( )Ker T，并确定它们的维数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 4 页四（20分）设m nAR。（1）证明：TA A半正定；（2）证明： | 1TIA A，并且等号成

4、立当且仅当0A；（3）证明：211|()nmTikikA Aa；（4）证明：存在唯一的对称半正定矩阵S使得2TA AS。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 共 5 页第 5 页五（20分）（ 1）设110111A，011b.（i） 求 A 的奇异值分解；（ii）计算广义逆矩阵A；（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组bAx是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解; （2） 设0.20.30.60.5A，判定矩阵级数0( 1)kkkA是否收敛。若收敛，求其和。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -