2022年复化梯形公式和复化辛普森公式的精度比较.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 试验四、复化梯形公式和复化Simpson 公式的精度比较（2 学时）一、试验目的与要求 1、熟识复化 Simpson 公式和复化梯形公式的构造原理；2、熟识并把握二者的余项表达式；3、分别求出精确值,复化梯形的近似值,复化 者的精度；Simpson 的近似值,并比较后两4、从余项表达式,即误差曲线,来观看二者的精度,看哪个更接近于精确值；二、试验内容：对于函数f x sinx,试利用下表运算积分I1sin xdx；x0x表格如下：x0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f x 1 0.9973978 0.9896158

2、 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709 注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式运算,比较哪个精度更好；其中：积分的精确值I0.9460831；三、试验步骤1、熟识理论学问,并编写相应的程序；2、上机操作,从误差图形上观看误差, 并与精确值相比较, 看哪个精度更好；3、得出结论,并整理试验报告；四、试验留意事项名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、复化梯形公式,程序主体部分：for n=2:10 Tn=0.5*Tn-1 for

3、 i=1:2n-2 Tn=Tn+sin2*i-1/2n-1/2*i-1/2n-1/2n-1；end end 2、复化 Simpson 公式,程序主体部分：for i=1:10 n=2.i x=0:1/n:1 f=sinx./x f1=1 s=0 for j=1:n/2 s=s+f2*j end t=0 for j=1:n/2-1 t=t+f2*j-1 end Si=1/3/n*f1+4*s+2*t+fn+1 end五试验内容复化梯形公式和复化辛普森公式的引入名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 复化梯形公式：T nn1h

4、f xkf xk1；k02复化辛普森公式：S nn1hf xk4 f xk1f xk1；k062依据题意和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编辑程序求解代码如下：Matlab 代码 clc s=quadsinx./x,0,1 p1=zeros10,1; p2=zeros10,1; for k=6:15 s1=0; s2=0; x=linspace0,1,k; y=sinx./x; z=1/2*k-1:1/k-1:1; sz=sinz./z; y1=1; for i=1:k-1 s1=s1+0.5*xi+1-xi*yi+yi+1; end for j=1:k-1 s2=s2+1/6*xj+1-x

5、j*yj+yj+1+4*szj; end p1k-5=s1-s; p2k-5=s2-s; end p1; 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - p2; s1=s+p14 s2=s+p24 format long for k=1:lengthp1 p1k=absp1k; p2k=absp2k; end p1 p2 plot6:1:15,p1,-r -c hold onplot6:1:15,10000*p2,hold off部分程序结果输出：s = 0.946083070076534 s1 = 0.9456908635827

6、01 s2 = 0.946083085384947 结果分析名师归纳总结 依据结果输出可知： 积分I1sin dx的精确值为： I= 0.946083070076534；第 4 页,共 6 页0x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 通过复化梯形公式和复化辛普森公式得到的积分值为：s1 =0.945690863582701: s2 =0.946083085384947; 相对误差为：1S 1I100 1004.15 104；I2S 2I100 1001.62 108；I明显,从相对误差可知通过辛普森公式得到的结果误差小精度高；由于以上的算法只算了结点个数为

7、9的情形,只能横向比较两公式的精确程度,而不能分别比较两公式随节点个数变化精度的变化,故而将以上程序重新编 （以上程序为最终程序） 可得出两公式随节点个数变化精度的变化情形所取得节点个数为从 6到15 ,共计 10 种情形对应的误差值如下表：节点数6 7 8 9 10 T 0.001 0.0007 0.00051 0.00039 0.00031 S*10000 0.98762 0.47766 0.25913 0.15308 0.09666 节点数11 12 13 14 15 T 0.00025 0.00021 0.00017 0.00015 0.00013 S*10000 0.06441 0.

8、04491 0.03257 0.02444 0.01892 （表1）注：由于辛普森公式的精度较高,所得的误差值较小不宜比较,故而将辛普森公式运算出的误差值乘上10000得到以上表 1 的结果,其相应的曲线图如下（图 1）；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （图1: 两误差曲线比较）备注：红色,青色分别比奥斯曲线复化梯形公式和复化辛普森公式的误差值曲线 从曲线图可知复化梯形公式和复化辛普森公式的随着节点个数的增加误差 值越小即其精度逐步增大,且复化辛普森公式的精度远高于复化梯形公式的精 度；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页