2022年2022年离散数学题库证明题 .pdf
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1、编号题目答案题型分值大纲难度1用 先 求 主 范 式 的 方 法 证 明 (P Q)(PR) (P (Q R)答:先求出左右两个公式的主合取范式(PQ)(PR) (PQ)(PR) (PQ (RR)(P(QQ)R) (PQ R)(PQR)(PQ R)(PQ R) (PQR)(PQ R)(PQ R) (P (QR)) (P(QR )) (PQ)(PR) (PQ (RR)(P(QQ)R) (PQ R)(PQR)(PQ R)(PQ R) (PQR)(PQ R)(PQ R) 它们有一样的主合取范式,所以它们等价。证明题10 2.3 ;2.4 3 2给 定 连通 简 单 平 面图G=, 且 |V|=6,
2、|E|=12, 则对于任意 fF, d(f)=3。答:因为|V|=63,且 G= V,E,F 是一个连通简单无向平面图,所以对任一 fF,deg(f)3。由欧拉公式 |V|-|E|+|F|=2可得|F|=8 。证明题10 6.4 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - 再由公式Ffdeg(f)=2|E|,Ffdeg(f)=24 。因为对任一 fF,deg(f)3,故要使上述等式成立,对任一 fF,deg(f)=3
3、。3证明对于连通无向简单平面图,当边数 e30 时, 必存在度数 4 的顶点。答:若结点个数小于等于3 时,结论显然成立。当结点多于 3 个时,用反证法证明。记|V|=n,|E|=m,|F|=k。假设图中所有结点的度数都大于等于5。由欧拉握手定理得Vvdeg(v)=2|E| 得 5n2m 。又因为 G= V,E,F是一个连通简单无向平面图,所以对每个面 f,deg(f)3。由公式Ffdeg(f)=2|E|可得, 2m 3k。再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得252m-m+32m=151m 从而 30m,这与已知矛盾。证明题10 6.4 3 4在一个连通简单无向平面图G= V,E,F中若
4、 |V|3,则 |E|3|V| 6。答:|V|3,且 G= V,E,F是一个连通简单无向平面图,d(f) 3,fF。由公式Ffdeg (f)=2|E|可得, 2|E|3|F| 。再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得证明题10 6.4 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - |V|-|E|+32|E|2。|E|3|V| 6。5设 G= 是连通的简单平面图,|V|=n3,面数为 k, 则 k 2n-4。答:记|E
5、|=m。因为 G= 是连通的简单平面图, 故每个面的度数都不小于3。从而由公式Ffdeg(f)=2|E|可得 3k2m 再由欧拉公式 |V|-|E|+|F|=2有 m=n+k-2 及23kn+k-2 故 k2n-4。证明题10 6.4 3 6在 半 群 中 , 若 对a,bG, 方 程a*x=b 和y*a=b 都有惟一解,则 是一个群。答:任意取定 aG , 记方程 a*x=a 的惟一解为 eR。 即 a*eR=a。下证 eR为关于运算 *的右单位元。对bG ,记方程 y*a=b 的惟一解为 y。是半群,运算*满足结合律。b*eR=(y*a)*eR=y*(a*eR)=y*a=b 。类似地,记方
6、程 y*a=a 的唯一解为 eL。 即 eL*a=a。下证 eL为关于运算 *的左单位元。对bG ,记方程 a*x=b 的惟一解为 x。是半群,运算*满足结合律。eL*b=eL*(a*x)=(eL*a)*x=a*x=b 。从而在半群 中, 关于运算 *存在单位元,记为e。证明题10 8.3 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 现证 G中每个元素关于运算 *存在逆元。对bG , 记 c 为方程 b*x=e 的惟一
7、解。下证 c为b关 于 运 算 的 逆 元 。 记d=c*b 。则b*d=(b*c)*b=e*b=b 。b*e=b, 且方程 b*x=b 有惟一解,d=e。b*c=c*b=e 。从而 c 为 b 关于运算的逆元。综上所述, 是一个群。7设是一个群, H、K是其子群。定义 G上的关系 R:对任意 a,bG ,aRb 存 在h H,k K, 使 得b=h*a*k ,则 R是 G上的等价关系。答:aG ,因为 H、K是 G的子群,所以 eH且 eK。令 h=k=e,则 a=e*a*a=h*e*k, 从而 aRa 。即 R是自反的。a,b G ,若 aRb ,则存在 h H,kK, 使得 b=h*a*
8、k 。因为 H 、 K是 G的子群, 所以 h-1H且 k-1K。 故 a=h-1*a*k-1,从而 bRa 。即 R是对称的。a,b,c G ,若 aRb,bRc,则存在 h,g H,k,l K, 使得b=h*a*k,c=g*b*l。所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。因为H、K 是 G的子群,所以 g*hH且 k*l K。从而 aRc。即 R是传递的。综上所述, R是 G上的等价关系。证明题10 4.4 3 8设 h 是从群 到的群同答:(1) 因为 h(e1)h(e1)=h(e1e1)= h(e1)= e2h(e1),所以 h(e1)=e2。证明题10
9、 8.2 ;8.3 5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - 态, G1和 G2的单位元分别为e1和 e2,则(1)h(e1)=e2;(2)a G1,h(a-1)=h(a)-1;(3)若 H G1,则 h(H)G2;(4) 若 h 为单一同态,则a G1,|h(a)|=|a|。(2) aG1,h(a)h(a-1)=h(aa-1)= h(e1)= e2, h(a-1)h(a)=h(a-1a)= h(e1)= e2, 故
10、 h(a-1)=h(a)-1。(3) c,d h(H),a,b H,使得 c=h(a),d=h(b)。故cd=h(a)h(b)=h(ab)。因为 H G ,所以 ab H ,故 cdh(H) 。又 c-1=(h(a)-1=h(a-1)且 a-1H ,故 c-1h(H)。由定理 5.3.2 知 h(H)G2。(4) 若|a|=n, 则 an=e1。故(h(a)n=h(an)=h(e1)=e2。从而 h(a) 的阶也有限,且 |h(a)|n。设|h(a)|=m,则 h(am)= (h(a)m= h(e1)=e2。因为 h 是单一同态,所以 am=e1。即|a|m 。故|h(a)|=|a|。若 a
11、的阶是无限的,则类似于上述证明过程可以得出,h(a) 的阶也是无限的。故结论成立。9设*是集合 A上可结合的二元运算,且a,bA,若 a*b=b*a,则 a=b。试证明:(1)a A,a*a=a,即 a 是等幂元;答:(1)aA, 记 b=a*a。因为 * 是可结合的,故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。(2)a,bA,因为由(1) ,a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a), (a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。故 a*(a*b*a)=(a*b*a)*a,从而 a*b*a=a。证明题10 8.
12、1 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - (2)a,bA,a*b*a=a; (3)a,b,cA,a*b*c=a*c 。(3)a,b,cA, (a*b*c )*(a*c)=( (a*b*c )*a )*c=(a*(b*c)*a)*c 且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c)=a*(c*(a*b)*c)。由(2)可知 a*(b*c)*a=a且 c*(a*b)*c=c,故(a*b*c )*(a*c)=(a
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