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- 三角形 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是、，且，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（ ） A、1＜AB＜29 B、4＜AB＜24 C、5＜AB＜19 D、9＜AB＜19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。 【例2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠DAE的度数。 略解：∵AB＝DB，AC＝CE ∴∠D＝∠ABC，∠E＝∠ACB ∴∠D＋∠E＝（∠ABC＋∠ACB）＝530 ∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270 探索与创新： 【问题一】如图，已知点A在直线外，点B、C在直线上。 （1）点P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A； （2）试判断在△ABC外，又和点A在直线的同侧，是否存在一点Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论。 分析与结论： （1）连结AP，易证明∠P＞∠A； （2）存在，怎样的角与∠A相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所对且顶点在弧AB，和弧AC上的圆周角都与∠A相等，因此点Q应在弓形AB和AC内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。 【问题二】如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？ 分析与结论： （1）DE是△AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD＋AE＝BE＋BC＋CD （2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。 略解：在等边△ABC中，∠B＝∠C＝600 又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D ∴∠BPE＝∠CPD＝300 不妨设等边△ABC的边长为1，BE＝，CD＝，那么：BP＝，PC＝，，而AE＝，AD＝ ∴AE＋AD＝ 又∵BE＋CD＋BC＝ ∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD 从而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE 即△AED的周长等于四边形EBCD的周长。 评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。 跟踪训练： 一、填空题： 1、三角形的三边为1，，9，则的取值范围是 。 2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。 3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝ 度。 4、如果△ABC的一个外角等于1500，且∠B＝∠C，则∠A＝ 。 5、如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是 。 6、如图，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝ 。 7、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝ 。 8、纸片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为 。 9、在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于点O，则∠BOC＝ 。 10、若△ABC的三边分别为、、，要使整式，则整数应为 。 二、选择题： 1、若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ） A、6个 B、7个 C、8个 D、9个 2、在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ） A、300 B、360 C、450 D、720 3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ） A、7 B、11 C、7或11 D、不能确定 4、在△ABC中，∠B＝500，AB＞AC，则∠A的取值范围是（ ） A、00＜∠A＜1800 B、00＜∠A＜800 C、500＜∠A＜1300 D、800＜∠A＜1300 5、若、、是三角形的三个内角，而，，，那么、、中，锐角的个数的错误判断是（ ） A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角 C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角 6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 三、解答题： 1、有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？ 2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？ 3、如图，在△ABC中，∠A＝960，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于，∠BC与∠CD的平分线相交于，依此类推，∠BC与∠CD的平分线相交于，则∠的大小是多少？ 4、如图，已知OA＝，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝600，填空： （1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形； （2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形； （3）当OP满足 时，△AOP为锐角三角形； （4）当OP满足 时，△AOP为钝角三角形。 一、填空题： 1、；2、2；3、1200；4、300或1200；5、∠DCB；6、500；7、8cm； 8、600；9、1300；10、偶数。 二、选择题：CBCBCB 三、解答题： 1、6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12） 2、可以，设延伸部分为，则长为，，的三条线段中，最长， ∵ ∴只要，长为，，的三条线段可以组成三角形 设长为的线段所对的角为，则为△ABC的最大角 又由 当，即时，△ABC为直角三角形。 3、30 4、（1）；（2）或；（3）＜OP＜；（4）0＜OP＜或OP＞ 2.全等三角形 知识考点： 掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。 精典例题： 【例1】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。求证：CE＝CD。 分析：作AF⊥CD的延长线（证明略） 评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。 【例2】如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。 分析：采用截长补短法，延长AC至 E，使AE＝AB，连结DE；也可在AB上截取AE＝AC，再证明EB＝CD（证明略）。 探索与创新： 【问题一】阅读下题：如图，P是△ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EB＝EC，∠1＝∠2，求证：AP⊥BC。 证明：在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2 ∴△ABE≌△ACE（第一步） ∴AB＝AC，∠3＝∠4（第二步） ∴AP⊥BC（等腰三角形三线合一） 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。 略解：不正确，错在第一步。 正确证法为： ∵BE＝CE ∴∠EBC＝∠ECB 又∵∠1＝∠2 ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC ∴△ABE≌△ACE（SAS） ∴∠3＝∠4 又∵AB＝AC ∴AP⊥BC 评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。 【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？ 请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。 评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。 跟踪训练： 一、填空题： 1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，则∠A＝ 度。 2、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么图中有全等三角形 对。 3、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是 。 4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB。 5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段 （不包括AB＝CD和AD＝BC）。 6、如图，∠E＝∠F＝900，∠B＝∠C，AE＝AF。给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是 （填序号）。 二、选择题： 1、如图，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，则下列结论中正确的是（ ） A、△ADF≌△AEG B、△ABE≌△ACD C、△BMF≌△CNG D、△ADC≌△ABE 2、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（ ） A、600 B、700 C、750 D、850 3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ） A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等 4、如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，则与的大小关系是（ ） A、＞ B、＜ C、＝ D、无法确定 三、解答题： 1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求证：△ABE和△BDC是等腰三角形。 2、如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点。 （1）求证：AF⊥CD； （2）在你连结BE后，还能得出什么新结论？请再写出两个。 3、（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求证：△ABC≌△DEF； （2）上问中，若将条件改为AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700，结论是否还成立，为什么？ 4、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。问： （1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。 （2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。 5、如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD。 （1）根据所给条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系？请你对结论予以证明。 （2）若△ACE和△BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。 参考答案 一、填空题： 1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等； 5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；6、①②③ 二、选择题：BBDA 三、解答题： 1、略； 2、（1）略；（2）AF⊥BE，AF平分BE等； 3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明； 4、（1）不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。（2）面积相等，因为OP为∠MON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等，又根据AB＝CD（即底边也相等）从而△ABP与△PCD的面积相等。 5、（1）△ACE和△BDF的对应角相等；（2）略 4.直角三角形、勾股定理、面积 知识考点： 了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。 精典例题： 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？ 分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。 答案： 【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。 分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。 答案：∠ACB＝750（提示：过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ） 探索与创新： 【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。 略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为： （小时）＝24（秒） 评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。 【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解：（1）如图1，由点A作AD⊥BC，垂足为D。 ∵AB＝220，∠B＝30∴AD＝110（千米）。 由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。 （2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE＝AF＝160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：。∴EF＝60（千米）。 ∵该台风中心以15千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为（小时）。 （3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）。 评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE＝AF＝160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。 跟踪训练： 一、填空题： 1、如果直角三角形的边长分别是6、8、，则的取值范围是 。 2、如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则BC＝ 。 3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝ 。 4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则＝ 。 5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为 。 6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝ 。 7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝ 。 8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，则AD＝ 。 9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 。 二、选择题： 1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（ ） A、全部正确 B、仅①和②正确 C、仅①正确 D、仅①和③正确 2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（ ） A、大于900 B、小于900 C、等于900 D、不能确定 4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝，OA＝OC＝，则∠OAB的度数为（ ） A、100 B、150 C、200 D、250 三、解答题： 1、阅读下面的解题过程：已知、、为△ABC的三边，且满足 ，试判断△ABC的形状。 解：∵……① ∴……② ∴……③ ∴△ABC是直角三角形。 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。 2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝，求AB、AC的长。 3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。 （1）求证：G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE。 4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。 （1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长（保留整数）； （2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。 参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090 5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC＝5。 （1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。 参考答案 一、填空题： 1、10或；2、16.9；3、1350；4、cm2；5、；6、5；7、4 8、7；9、49 二、选择题：BDCB 三、解答题： 1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形 2、提示：过A作AD⊥BC于D，则AB＝，AC＝ 3、提示：连结ED 4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。 5、（1）2；（2）＝4或3，当＝4时，面积为12。 5.角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【例题】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝300，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：CF＝2BF。 分析一：要证明CF＝2BF，由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF，则BF＝AF。问题转化为证CF＝2AF，又∠B＝∠C＝300，这就等价于要证∠CAF＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF＝2AF＝2BF。 分析二：要证明CF＝2BF，联想∠B＝300，EF是AB的中垂线，可过点A作AG∥EF交FC于G后，得到含300角的Rt△ABG，且EF是Rt△ABG的中位线，因此BG＝2BF＝2AG，再设法证明AG＝GC，即有BF＝FG＝GC。 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD⊥BC于D，则BD＝CD，考虑到∠B＝300，不妨设EF＝1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证：。 分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化为证AE＝AC。 证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E CE∥AD∠E＝∠3AE＝AC CE∥AD ∴ （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）； （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ） ①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想 （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，求BD的长。 答案：cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。 跟踪训练： 一、填空题： 1、如图，∠A＝520，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝ 。 2、如图，已知AB＝AC，∠A＝440，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝ 。 3、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠B＝150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD＝8，则AC＝ 。 4、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24，BC＝10，则AB＝ 。 5、如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝680，那么∠P＝ 。 二、选择题： 1、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于点F，且∠A＝600，则∠BFC等于（ ） A、800 B、1000 C、1200 D、1400 2、如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝360，则∠C的度数为（ ） A、820 B、720 C、620 D、520 3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（ ） A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、8 cm、14cm或12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对 4、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ） A、0组 B、2组 C、3组 D、4组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 三、解答题： 1、如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MA＝MD。 2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分∠BAC。 3、如图，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝，AE⊥BC于点E，求EC的长。 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。 参考答案 一、填空题： 1、380；2、240；3、4；4、14；5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题： 1、过A作AN⊥BC于N，证∠D＝∠DAM； 2、延长FE到G，使EG＝EF，连结CG，证△DEF≌△CEG 3、连结AD，DF为AB的垂直平分线，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50 ∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6 又∵∠C＝600 ∴EC＝ 4、证△ACD≌△CBF 6.平行四边形 知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题： 【例1】已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。 分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO＝DO 略证：连结BF、DE 在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AD＝BC 又∵AF＝CE ∴FD∥BE，FD＝BE ∴四边形BEDF是平行四边形 ∴BO＝DO，即点O是BD的中点。 【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF和GH的关系就明确了，此题也便得证。（证明略） 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形。 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。 变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。 探索与创新： 【问题】已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度数。 分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。 略证：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC 在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900 ∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE ∴△BEN是等腰直角三角形 ∴∠BNE＝450 ∵AM∥NE ∴∠BPM＝∠BNE ＝450 跟踪训练： 一、填空题： 1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长的取值范围是 。 2、□ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝ 。 3、已知□ABCD中，AB＝2AD，对角线BD⊥AD，则∠BCD的度数是 。 4、如图：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为 。 5、如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且EF⊥BC于F，∠1＝300，∠2＝450，OD＝，则AC的长为 。 6、如图：过□ABCD的顶点B作高BE、BF，已知BF＝BE，BC＝16，∠EBF＝300，则AB＝ 。 7、如图所示，□ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，则平行四边形ABCD的面积为 。 二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ） A、DE＞BF B、DE＝BF C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF 3、如图，已知M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与□ABCD的面积之比是（ ） A、 B、 C、 D、 4、如图，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝700，AE⊥BD于E，则∠DAE＝（ ） A、200 B、250 C、300 D、350 5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ） A、以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边 B、以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边 C、以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边 D、以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边 6、如图，□ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，直线CE交BA的延长线于G点，直线DF交AB的延长线于H点，CG、DH交于点O，若□ABCD的面积为4，则＝（ ） A、3.5 B、4