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+\ 【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！ 1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。 （1）定义法 定义法求解Lyapunov指数.JPG 关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例 Rossler系统微分方程定义程序 function dX = Rossler_ly(t,X) %Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数 % a=0.15,b=0.20,c=10.0 % dx/dt = -y-z, % dy/dt = x+ay, % dz/dt = b+z(x-c), a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; x=X(1); y=X(2); z=X(3); % Y的三个列向量为相互正交的单位向量 Y = [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)]; % 输出向量的初始化，必不可少 dX = zeros(12,1); % Rossler吸引子 dX(1) = -y-z; dX(2) = x+a*y; dX(3) = b+z*(x-c); % Rossler吸引子的Jacobi矩阵 Jaco = [0 -1 -1; 1 a 0; z 0x-c]; dX(4:12) = Jaco*Y; 求解LE代码： % 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear; yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; a = 0.15; b = 0.20; c = 10.0; y = zeros(12,1); % 初始化输入 y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix; tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; % 时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数 steps = 10; % 每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数 mod = zeros(3,1); lp = zeros(3,1); % 初始化三个Lyapunov指数 Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1); for i=1:iteratetimes tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45(Rossler_ly, tspan, y); % 取积分得到的最后一个时刻的值 y = Y(size(Y,1),:); % 重新定义起始时刻 tstart = tstart + tstep*steps; y0 = [y(4) y(7) y(10); y(5) y(8) y(11); y(6) y(9) y(12)]; %正交化 y0 = ThreeGS(y0); % 取三个向量的模 mod(1) = sqrt(y0(:,1)*y0(:,1)); mod(2) = sqrt(y0(:,2)*y0(:,2)); mod(3) = sqrt(y0(:,3)*y0(:,3)); y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1); y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2); y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3); lp = lp+log(abs(mod)); %三个Lyapunov指数 Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart); Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart); Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart); y(4:12) = y0; end % 作Lyapunov指数谱图 i = 1:iteratetimes; plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3) 程序中用到的ThreeGS程序如下： %G-S正交化 function A = ThreeGS(V)% V 为3*3向量 v1 = V(:,1); v2 = V(:,2); v3 = V(:,3); a1 = zeros(3,1); a2 = zeros(3,1); a3 = zeros(3,1); a1 = v1; a2 = v2-((a1*v2)/(a1*a1))*a1; a3 = v3-((a1*v3)/(a1*a1))*a1-((a2*v3)/(a2*a2))*a2; A = [a1,a2,a3]; 计算得到的Rossler系统的LE为————0.0632310.092635-9.8924 Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77 需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。 正交化程序可以根据上面的扩展到N*N向量，这里就不加以说明了，对matlab用户来说应该还是比较简单的！ （2）Jacobian方法 通过资料检索，发现论坛中用的较多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian方法。基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobian矩阵进行QR分解，计算Jacobian矩阵特征值的乘积，最后计算出LE和分数维。经过计算也证明了这种方法精度较高，对目前常见的混沌系统，如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高，而且程序编写有一定的规范，个人很推荐使用。（虽然我自己要做的系统并不适用 ） LET工具箱可以在网络上找到，这里就不列出了！关于LET工具箱如果有问题，欢迎加入本帖讨论！ Jacobian法求解Lyapunov指数.JPG 对离散动力系统，或者说是非线性时间序列，往往不需要计算出所有的Lyapunov指数，通常只需计算出其最大的Lyapunov指数即可。“1983年，格里波基证明了只要最大Lyapunov指数大于零，就可以肯定混沌的存在”。 目前常用的计算混沌序列最大Lyapunov指数的方法主要有一下几种： （1）由定义法延伸的Nicolis方法 （2）Jacobian方法 （3）Wolf方法 （4）P－范数方法 （5）小数据量方法 其中以Wolf方法和小数据量方法应用最为广泛，也最为普遍。 下面对Nicolis方法、Wolf方法以及小数据量方法作一一介绍。 （1）Nicolis方法 这种方法和连续系统的定义方法类似，而且目前应用很有限制，因此只对其理论进行介绍，编程应用方面就省略了 Nicolis方法求最大LE.JPG （2）Wolf方法 Wolf方法求最大LE.JPG Wolf方法的Matlab程序如下： function lambda_1=lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P) %该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov 指数--Wolf 方法 %m: 嵌入维数 ！ 一般选大于等于10 %tau:时间延迟 ！一般选与周期相当，如我选2000 %data:时间序列 ！可以选1000； %N:时间序列长度 满足公式：M=N-(m-1)*tau=24000-(10-1)*1000=5000 %P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻 ! P=周期=600 %lambda_1: 返回最大lyapunov指数值 min_point=1; %&&要求最少搜索到的点数 MAX_CISHU=5 ;%&&最大增加搜索范围次数 %FLYINGHAWK % 求最大、最小和平均相点距离 max_d = 0; %最大相点距离 min_d = 1.0e+100; %最小相点距离 avg_dd = 0; Y=reconstitution(data,N,m,tau); %相空间重构 可将此段程序加到 整个程序中，在时间循环内，可以保存时间序列的地方。见完整程序。 M=N-(m-1)*tau; %重构相空间中相点的个数 for i = 1 : (M-1) for j = i+1 : M d = 0; for k = 1 : m d = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j)); end d = sqrt(d); if max_d < d max_d = d; end if min_d > d min_d = d; end avg_dd = avg_dd + d; end end avg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1)); %平均相点距离 dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时，对max_eps的放宽幅度 min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ; %演化相点与当前相点距离的最小限 max_eps = min_d + 2 * dlt_eps; %&&演化相点与当前相点距离的最大限 % 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距离DK DK = 1.0e+100; %第i个相点到其最近距离点的距离 Loc_DK = 2; %第i个相点对应的最近距离点的下标 for i = (P+1):(M-1) %限制短暂分离，从点P+1开始搜索 d = 0; for k = 1 : m d = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1)); end d = sqrt(d); if (d < DK) & (d > min_eps) DK = d; Loc_DK = i; end end % 以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中 % i 为相点序号，从1到(M-1)，也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短 距离的相点位置，DK为其对应的最短距离 % Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离 % 前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的lambda值 sum_lmd = 0 ; % 存放前i个log2（DK1/DK）的累计和 for i = 2 : (M-1) % 计算演化距离 DK1 = 0; for k = 1 : m DK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1)); end DK1 = sqrt(DK1); old_Loc_DK = Loc_DK ; % 保存原最近位置相点 old_DK=DK; % 计算前i个log2（DK1/DK）的累计和以及保存i点的李氏指数 if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0) sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2); end lmd(i-1) = sum_lmd/(i-1); 此处可以保存不同相点i对应的李氏指数，见完整程序。。 %以下寻找i点的最短距离:要求距离在指定距离范围内尽量短,与DK1的角度最小 point_num = 0; % &&在指定距离范围内找到的候选相点的个数 cos_sita = 0; %&&夹角余弦的比较初值 ——要求一定是锐角 zjfwcs=0; %&&增加范围次数 while (point_num == 0) % * 搜索相点 for j = 1 : (M-1) if abs(j-i) <=(P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！ continue; end %*计算候选点与当前点的距离 dnew = 0; for k = 1 : m dnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j)); end dnew = sqrt(dnew); if (dnew < min_eps)|( dnew > max_eps ) %&&不在距离范围，跳过！ continue; end %*计算夹角余弦及比较 DOT = 0; for k = 1 : m DOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,old_Loc_DK+1)); end CTH = DOT/(dnew*DK1); if acos(CTH) > (3.14151926/4) %&&不是小于45度的角，跳过！ continue; end if CTH > cos_sita %&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角，保留 cos_sita = CTH; Loc_DK = j; DK = dnew; end point_num = point_num +1; end if point_num <= min_point max_eps = max_eps + dlt_eps; zjfwcs =zjfwcs +1; if zjfwcs > MAX_CISHU %&&超过最大放宽次数，改找最近的点 DK = 1.0e+100; for ii = 1 : (M-1) if abs(i-ii) <= (P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！ continue; end d = 0; for k = 1 : m d = d + (Y(k,i)-Y(k,ii))*(Y(k,i)-Y(k,ii)); end d = sqrt(d); if (d < DK) & (d > min_eps) DK = d; Loc_DK = ii; end end break; end point_num = 0 ; %&&扩大距离范围后重新搜索 cos_sita = 0; end end end %取平均得到最大李雅普诺夫指数（此处只有一个值，若为正说明体系是混沌的，若为负则说明体系是周期性的确定性运动） lambda_1=sum(lmd)/length(lmd); 程序中用到的reconstitution函数如下： 此段程序可直接放在时间循环内部，即可以保存时间序列的地方。见完整程序范例。 function X=reconstitution(data,N,m,tau) %该函数用来重构相空间 % m 为嵌入空间维数 % tau 为时间延迟 % data 为输入时间序列 % N 为时间序列长度 % X 为输出,是m*n维矩阵 M=N-(m-1)*tau; %相空间中点的个数 for j=1:M %相空间重构 for i=1:m X(i,j)=data((i-1)*tau+j); end end 这里声明一下，这些程序并非我自己编写的，均是转载，其使用我已经验证过，绝对可以运行！ （3）小数据量方法 说小数据量方法是目前最实用、应用最广泛的方法应该不为过吧，呵呵！ 小数据量方法求最大Lyapunov指数.JPG 上面两种方法，即Wolf方法和小数据量方法，在计算LE之前，都要求对时间序列进行重构相空间，重构相空间的优良对于最大LE的计算精度影响非常大！因此重构相空间的几个参数的确定就非常重要。 （1）时间延迟 主要推荐两种方法——自相关函数法、C－C方法 自相关函数法——对一个混沌时间序列，可以先写出其自相关函数，然后作出自相关函数关于时间t的函数图像。根据数值试验结果，当自相关函数下降到初始值的1－1/e时，所得的时间t即为重构相空间的时间延迟。 C－C方法——可以同时计算出时间延迟和时间窗口，个人推荐使用这种方法！ （2）平均周期 平均周期的计算可以采用FFT方法。在matlab帮助中有一个太阳黑子的例子，现摘录如下： load sunspot.dat %装载数据文件 year = sunspot(:,1); %读取年份信息 wolfer = sunspot(:,2); %读取黑子活动数据 plot(year,wolfer) %绘制原始数据图 title(Sunspot Data) Y = fft(wolfer); %快速FFT变换 N = length(Y); %FFT变换后数据长度 Y(1) = []; %去掉Y的第一个数据，它是所有数据的和 power = abs(Y(1:N/2)).^2; %求功率谱 nyquist = 1/2; freq = (1:N/2)/(N/2)*nyquist; %求频率 plot(freq,power), grid on %绘制功率谱图 xlabel(cycles/year) title(Periodogram) period = 1./freq; %年份（周期） plot(period,power), axis([0 40 0 2e7]), grid on ％绘制年份－功率谱曲线 ylabel(Power) xlabel(Period(Years/Cycle)) [mp,index] = max(power); %求最高谱线所对应的年份下标 period(index) %由下标求出平均周期 （3）嵌入维数 目前嵌入维数的主要计算方法是采用Grassberger和Procaccia提出的G－P算法计算出序列的关联维数d，然后利用嵌入维数m>=2d+1，选取合适的嵌入维数。 G—P算法程序如下： function [ln_r,ln_C]=G_P(data,N,tau,min_m,max_m,ss) % the function is used to calculate correlation dimention with G-P algorithm % 计算关联维数的G－P算法 % data:the time series 时间序列 % N: the length of the time series 时间序列长度 % tau: the time delay 时间延迟 % min_m:the least embedded dimention m 最小的嵌入维数 % max_m:the largest embedded dimention m 最大的嵌入维数 % ss:the stepsize of r r的步长 %skyhawk for m=min_m:max_m Y=reconstitution(data,N,m,tau);%reconstitute state space M=N-(m-1)*tau;%the number of points in state space for i=1:M-1 for j=i+1:M d(i,j)=max(abs(Y(:,i)-Y(:,j)));%calculate the distance of each two end %points in state space计算状态空间中每两点之间的距离 end max_d=max(max(d));%the max distance of all points 得到所有点之间的最大距离 d(1,1)=max_d; min_d=min(min(d));%the min distance of all points 得到所有点间的最短距离 delt=(max_d-min_d)/ss;%the stepsize of r 得到r的步长 for k=1:ss r=min_d+k*delt; C(k)=correlation_integral(Y,M,r);%calculate the correlation integral ln_C(m,k)=log(C(k));%lnC(r) ln_r(m,k)=log(r);%lnr fprintf(%d/%d/%d/%d\n,k,ss,m,max_m); end plot(ln_r(m,:),ln_C(m,:)); hold on; end fid=fopen(lnr.txt,w); fprintf(fid,%6.2f %6.2f\n,ln_r); fclose(fid); fid = fopen(lnC.txt,w); fprintf(fid,%6.2f %6.2f\n,ln_C); fclose(fid); 程序中的correlation_integral函数如下： function C_I=correlation_integral(X,M,r) %the function is used to calculate correlation integral %C_I:the value of the correlation integral %X:the reconstituted state space,M is a m*M matrix %m:the embedding demention %M:M is the number of embedded points in m-dimensional sapce %r:the radius of the Heaviside function,sigma/2

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