2022年导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点导数及其应用【考纲说明】1、明白导数概念的某些实际背景（如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等）；把握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；懂得导函数的概念；2、熟记八个基本导数公式；把握两个函数和、差、积、商的求导法就,明白复合函数的求导法就,会求某些简洁函数的导数；3、懂得可导函数的单调性与其导数的关系；明白可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 导数在极值点两侧异号 ；会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值；【学问梳理】导数的概念 导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导导数的运算导数的运算法就

2、数函数的单调性导数的应用 函数的极值函数的最值一、导数的概念y函数 y=fx, 假如自变量 x 在 x0 处有增量 x ,那么函数 y 相应地有增量 y =f（x0+ x ） f（x 0）,比值 x 叫做函y f x 0 x f x 0 y数 y=f（ x）在 x0 到 x 0+ x 之间的平均变化率,即 x = x；假如当 x 0 时,x 有极限,我们就说函数 y=fx 在点 x0 处可导,并把这个极限叫做 f（ x）在点 x0 处的导数,记作 f （x 0）或 yx | x 0；y f x 0 x f x 0 lim lim即 f（x 0）= x 0 x = x 0 x；说明：名师归纳总结

3、 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点yy（1）函数 f（x）在点 x0 处可导,是指x0时,x有极限；假如x不存在极限,就说函数在点x0 处不行导,或说无导数；（2）x 是自变量 x 在 x 0 处的转变量,x 0 时,而 y 是函数值的转变量,可以是零；由导数的定义可知,求函数 y=f （x）在点 x0 处的导数的步骤：（1）求函数的增量 y =f（x 0+ x ） f（x 0）；y f x 0 x f x 0 （2）求平均变化率 x = x；lim y（3）取极限,得导数 f x 0= x 0 x；二、导数

4、的几何意义函数 y=f （x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线y=f（ x）在点 p（x 0,f（x0）处的切线的斜率；也就是说,曲线y=f（x）在点 p（ x0,f（x 0）处的切线的斜率是f （x 0）；相应地,切线方程为yy 0=f/ （x0）（xx 0）；三、几种常见函数的导数Cx0;exxnxn nx1;a ; sinxcosx ; cos sinx ; . e;aaxlnln x1logax1logaex ; x四、两个函数的和、差、积的求导法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 ,等于这两个函数的导数的和 或差 , 即： u v u v .法就 2：两个函数的积的导数 ,等

5、于第一个函数的导数乘以其次个函数 ,加上第一个函数乘以其次个函数的导数, 即： uv u v uv . 如 C 为 常 数 ,就 Cu C u Cu 0 Cu Cu .即 常 数 与 函 数 的 积 的 导 数 等 于 常 数 乘 以 函 数 的 导 数 ： Cu Cu .法就 3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：uuv2uv y |x= y |u u|x v=v（v0）；形如 y=fx的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解求导回代；法就：五、导数应用1、单调区间：一般地,设函数yfx在某个区间可导,第 2 页,共 16 页名师归纳

6、总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假如f x0,就fx为增函数；名师总结优秀学问点假如f x0,就fx为减函数；fx为常数；假如在某区间内恒有fx0,就2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；3、最值：一般地,在区间a,b上连续的函数fx 在a, b上必有最大值与最小值；求函数. x在a,b内的极值；求函数. x在区间端点的值. a、. b ；将函数. x的各极值与. a、 .b比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值；4定积分1

7、概念：设函数 fx 在区间 a,b上连续,用分点 ax0x1 xi 1xi xnb 把区间 a,b等分成 n 个小区间,nf在每个小区间 xi 1,xi 上取任一点 i（i1,2, n）作和式 Ini1 i x（其中x 为小区间长度） ,把 nn即x0 时,和式 In 的极限叫做函数 fx 在区间 a,b上的定积分, 记作：a bf x dx,即 a bf x dxlimni 1 f i x；这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,叫做被积式；基本的积分公式：区间 a,b叫做积分区间, 函数 fx 叫做被积函数, x 叫做积分变量, fxdx0dx C；xmdx11xm1C（mQ, m

8、1）；m1 xdxlnx C；exdxx e C；cosxdxsinxC；sinxdx cosxC（表中 C 均为常数）；axdxaxC；lna2定积分的性质bkfx dxkb afx dx（ k 为常数）；abfxgxdxxbfxdxbgx dx；aaacfbfxdxdxbfxdx（其中 acb；aac3定积分求曲边梯形面积名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由三条直线xa,xbab,x 轴及一条曲线名师总结优秀学问点面积yfx fx 0围成的曲边梯的Sbfxdx；f 1xf 2x 0）,及直线 xa,xb（a0

9、,且 x1 时, fxInxk,求 k 的取值范畴；第 4 页,共 16 页x1x【解析 】1f,x=axx1Inxb由于直线 x+2y-3=0 的斜率为k1,且过点 1,1,1 2x22xfx=1 1即b=1 1解得 a=1,b=1；1 x21 ；故ab=f,1=222lnxk112lnx2由（ 1）知ln xx1,所以f x 1xx1x2 xx考虑函数h x 2lnxk1x21x0,就h x k1x2212x；xxi 设k0,由h x k x212x2 1知,当x1时,h x 0；而h10,故x当x0,1时,h x 0,可得112h x 0；x当 x（ 1,+）时, h（x）0 x名师归纳

10、总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点从而当 x0, 且 x 1 时, f （x）- （ln x + k ）0,即 f （x） ln x + k . x 1 x x 1 x（ii ）设 0k0, 故 h（x）0, 而 h（1）=0,故当 x（1,1）1 k 1 k时, h（x）0,可得 12 h（x）0, 而 h（1）=0,故当 x（ 1,+）时, h（x）0,可得 12 h （ x）0, 与题设1 x冲突；综合得,k 的取值范畴为（-,0. 【例 4】（2022 山东） 已知函数 fx = lnxxk（k 为常数, e=2.71

11、828 是自然对数的底数） ,曲线 y= fx 在点（ 1,ef1 ）处的切线与x 轴平行；（）求 k 的值；（）求 fx 的单调区间；（）设 gx=x2+x f x ,其中f x 为 fx 的导函数,证明：对任意x0,gx1e2；第 5 页,共 16 页【解析 】由 fx = lnxxk可得fx1kxlnx,而f 1 0,即1ek0,解得k1；xee（）fx 11xlnx,令fx 0可得x1,xe当0x1时,fx 11lnx0；当x1 时,fx11lnx0；xx于是fx在区间0 1,内为增函数；在 ,1内为减函数；（）gxx2x11xlnx1x2x2x lnx,xeex当x1 时,1x20

12、,lnx0,x2x0,ex0,gx01e2. 当0x1时,要证gx x2x 11lnx1x22 xxlnx1e2；xx ex e只需证1x2x2x lnxex1e2,然后构造函数即可证明；【例 5】（2022 北京） 已知函数f x a x21,其中a0. x（）求函数f x的单调区间；（）如直线xy10是曲线yf x的切线,求实数a的值；（）设g x xlnx2 x f x ,求g x 在区间 1,e 上的最大值 .（其中 e为自然对数的底数）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析 】（）f a23x,（x0名师总结优秀学问点 上,f

13、 0；在区间0,2上,f 0.x）,在区间,0 和 2,所以,f x 的单调递减区间是,0 和 2, ,单调递增区间是0,2 . e1a2y 0a x 021x 0x 0y 010（）设切点坐标为x0,y0,就a23x 01解得x 01,a1. x 0（）g x xlnxa x1,就g xlnx1a 解g 0,得xa e1,所以,在区间 0, ea1上,g x 为递减函数,在区间ea1,上,g x 为递增函数 . 当a e11,即0a1时,在区间1, e上,g x 为递增函数,所以g x 最大值为geeaae. 当a e1e,即a2时,在区间1, e上,g x 为递减函数,所以g x 最大值为

14、g1 0. 当1 ea10; 当 x1,2 2时, f x0, 所以 fx 在 x=1 处取得极大值,在 2x=3 处取得微小值；22（2）如f x 为 R 上的单调函数就f x 恒大于等于零或f x 恒小于等于零,由于 a0 所以 =（-2a）2-4a0,解得 00）. （）令 F（x） xf（x）,争论 F（x）在（ 0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1 时,恒有 xln2x2a ln x1. 【课后作业】一、挑选题1.（2005 全国卷文） 函数fx x3ax25 3x9,已知fx在x3时取得极值 ,就 a = 第 9 页,共 16 页A 2 B 3 C 4 D 名师归纳总结 -

15、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22022 海南、宁夏文）设f x xlnx ,如f名师总结2优秀学问点（）x 0,就0xA e2B eC ln 2 2D ln 2）3（2005 广东） 函数fxx33x21 是减函数的区间为（）A 2,B ,2 C ,0 D（0,2）4.（2022 安徽文） 设函数f x 2x11 x0,就f x （）xA 有最大值B 有最小值C 是增函数D 是减函数5（ 2007 福建文、 理）已知对任意实数x 有 fx= fx ,g-x=gx ,且 x0 时,f x0,gx0,就 x0,gx0B f x0,gx0C f x0 D f x0,gx0）有极大值（）求 m 的值；（）如斜率为-5 的直线是曲线yf x 的切线,求此直线方程. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【参考答案】【课堂练习】一、挑选110AADBD DDCCC 2 填空（1） 3 ；1216；13.2 ； 14. 4R34R2,球的体积函数的导数等于球的表面积函数3三、解答题15. 解：每月生产x 吨时的利润为fx242001x2x 50000200x-12,所以51x324000x50000x0 5由fx3x2240000 解得x 1200