2022年初三数学圆知识精讲.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载初三数学圆学问精讲一. 本周教学内容：圆 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系,圆和圆的位置关系,正多边形和圆； 2. 主要定理：（1）垂径定理及其推论；（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论；（4）圆内接四边形的性质定理及其推论；（5）切线的性质及判定；（6）切线长定理；（7）相交弦、切割线、割线定理；（8）两圆连心线的性质,两圆的公切线性质；（9）圆周长、弧长；圆、扇形,弓形面积；（10）圆柱、圆锥侧面绽开图及面积运算；（11）正 n 边形的有关运算；圆这

2、一章中的学问点包括5 个 B级,13 个 C级,3 个 D级水平的共21 个学问点, 多数要求把握或敏捷运用,所以圆这部分的学问特别重要；二. 中考聚焦：圆这一章学问在中考试题中所占的分数比例大约如下表：内容圆 的有关性质直 线和圆的圆与圆 的位置正多边形和 圆所占分数 百分比5%15%位置关系关 系2%8%8% 16%3%12%圆的学问在中考中所占的比例大,题型多,常见的有填空题、挑选题、运算题或证明题,近年仍显现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的学问；三. 学问框图：圆的有关性质圆直线和圆的位置关系 圆和圆的位置关系正多边形和圆名师归纳总结 - - - -

3、- - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆的定义学习必备欢迎下载点和圆的位 置关系（这是重 点）不在同始终 线上的三点确定 一个圆轴对称 性垂径定理（ 这是重点）圆的有关性质圆的有关性质旋转不 变性圆心角、弧、弦 、弦心距间的关 系圆心角定理圆周角定理（这 是重点）圆内接四边形（ 这是重点）相离相交直线和圆的位置关系相切切线的性质 （这是重点）切线的判定 （这是重点）弦切角（这 是重点）和圆有关的 比例线段（这 是重点难点）外离内含圆和圆的位置关系相交内切（这是重点）相切外切（这是重点）两圆的公切线正多边形 定义正多边形和圆正多边形和圆正多边形 和圆

4、正多边形 的判定及性质正多边形 的有关运算（ 这是重点）圆周长、 弧长（这是重 点）圆的有关运算 圆、扇形 、弓形面积（ 这是重点）圆柱、圆 锥侧面绽开图 （这是重点）【典型例题】例 1. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒 0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点 120m以外 的安全区域；这个导火索的长度为 18cm,那么点导火索的人每秒钟跑 6.5m 是否安全？分析： 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以120m为半径的圆的外部,如下列图：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载安O 120m 全爆破

5、中心 区域解：导 火索燃 烧的时间为18 0 920 m 相同时间内,人跑的路程为2065130人跑的路程130 m120m点导火索的人特别安全例 2. 已知梯形ABCD内接于 O, AB CD, O的半径为4,AB6,CD2,求梯形ABCD的面积；分析： 要求梯形面积必需先求梯形的高,即弦 勾股定理求高；为了便于运用垂径定理,故作AB、CD间距离,为此要构造直角三角形利用 OECD于 E,延长 EO交 AB于 F,证 OFAB；此题简单显现丢解的情形,要留意分情形争论；解： 分两种情形争论：（1）当弦 AB、CD分别在圆心O的两侧时,如图（1）：过 O作 OE CD于 E,延长 EO交 AB

6、于 F 连 OC、OB,就 CEDE AB CD,OE CD OFAB,即 EF为梯形 ABCD的高 在 Rt OEC中, EC1,OC4 名师归纳总结 OEOC2EC2422 11574 154 7第 3 页,共 27 页同理, OF7EFOEOF157S梯形A BCD1261574152（2）当弦 AB、CD在圆心 O的同侧时,如图（2）：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载过 O作 OE CD于 E,交 AB于 F 以下证法同（ 1）,略；EF1574 154 7ABS梯形A BCD12615741572梯形ABCD的面积为415

7、7或4157tanCtanD 的值；例 3. 如图,已知AB为 O的直径, P 是 OB的中点,求分析： 为了求 tanCtanD 的值,需要分别构造出含有C和 D的两个直角三角形；而是直径,为我们查找直角制造了条件；连BC、BD,就得到 Rt ACB和 Rt ADB；可以发觉 ACD ABD, ADC ABC,于是,可以把 tanCtanD 转化为tanA BDtanA BC ADA C ADA C,就可 求；BD BC BDBC解： 连结 BC、BD AB是 O的直径, ACB ADB90 ACD ABD, ADC ABC tanCtanDtanA BDtanA BCA DACA DA C

8、BDBCBDBC作 AECD于 E,作 BF CD于 F 就 AEC ADB A CABAB A EA DACADAE同理, BD BC BF AB 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - tanCtanDAEAB学习必备欢迎下载AEBFABBF APE BPF A E A P BF BPP 为半径 OB的中点A P 3,A E 3 BP 1 BFtanC tanD 3 例 4. 如图,ABC 是等边三角形,D 是 上任一点,求证：DB DC DA分析： 由已知条件,等边ABC可得 60 角,依据圆的性质,可得ADB 6

9、0 ,利用截长 补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角形全等,从而转移线段 DC；证明： 延长 DB至点 E,使 BEDC,连结 AE ABC是等边三角形 ACB ABC60 , AB AC ADB ACB60四边形 ABDC是圆内接四边形 ABE ACD 在 AEB和 ADC中,BECDACDABEABACDCA EBAAEAD ADB60 AED是等边三角形ADDEDB BE BEDC DBDCDA 说明：本例也可以用其他方法证明；如：（1）延长 DC至 F,使 CF BD,连结 AF,再证DA；ACF ABD,得出 ADDF,从而 DBCD名师归纳总结 （2）在 DA上截取 DG

10、DC,连结 CG,再证BDC AGC,得出 BDAG,从而 DBCDDA；第 5 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5. 如图,已知四边形学习必备欢迎下载BA、CD交于点 E,ABCD内接于 O,AB是直径, ADDC,分别延长BF EC交 EC的延长线于F,如 EAAO,BC12,求 CF的长；分析： 在 Rt CFB中,已知 BC12,求 CF,故可查找与之相像的直角三角形,列比例式求 解；解： 连结 OD,BD ADDC,ADDC ABC AOD OD BC OD BCEO EBEAAO, EAAOBO BC12, OD2,O

11、D8123AB16,BE 24 四边形 ABCD内接于 O EDA EBC E 是公共角 EDA EBC A D BCEAEDECEB设 ADDC x,EDy,就有xy8421224xy解方程 组,得 ：xAD4 2AB为 O的直径 ADB F 90又 DAB FCB Rt ADBRt CFB A DAB,即4 2 CF16CFBC12CF3 2说明：与圆有关的问题,大都与相像三角形联系在一起；此题运用了两次相像三角形,找到线段之间的关系,并且运用了方程的思想解几何问题,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

12、欢迎下载这是解几何问题的一种重要方法；例 6. 如 图 , 已 知 等 腰 ABC 中 , AB AC, 以 AB 为 直 径 的 O 分 别 交 AC、 BC 于点 、D,过 D 作 O 的切 线交 FC 于 E,如 AF ,cosBC 3,求 E 的 长；5解： 连结 FD AB是直径, ADBC ABAC, BDDC, FAD DAB 四边形 ABDF是圆内接四边形 CFD B C是公共角 ABC DFC CD A CABAC DF A BCDDF （也可以证 CFD B, AB AC, B C, C CFD, CDDF；）DE切 O于 D FAD EDF 又 CDE EDF FAD D

13、AB CDE DAB CDE EDF CDFD CEEF,DE CF 名师归纳总结 cosB3,BC33EC第 7 页,共 27 页5cosC3 5CD在RtACD中,cosCA C5设 CD 3x,AC5x EC,即在RtC DE中,cosCCD53xEC9x5ACAF2 CE- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5x718x学习必备欢迎下载55xEC9 例 7. 如图, 相交两圆的公共弦长为120cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边；求两圆相交弧间阴影部分的面积；解： 公共弦 AB120 a4R612020 支香烟；打开烟 直径 约

14、为 0.75cm,r 6R2a42120260260362O160o,a4120,R42A B60 22r4R2a4260 2260260, O290o42S弓形A mBS扇 形AO B 2SAO B 290R21a r41800360043602S弓形A nBS扇形AO B 1SAO B 160R21a r 6 624003600 363602S阴影S弓形弓 A mBS形AnB42003600 13两圆相交弧间阴影部分的面积为 42003600 13cm2例 8. （20XX年黄冈市中考题）一个长方体的香烟盒里,装满大小匀称的盒的顶盖后,二十支香烟排列成三行,如图（1）所示；经测量,一支香烟

15、的长约为 8.4cm；（1）试运算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题运算结果不取近似值）；（ 2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分,运算结果名师归纳总结 精确到0.1cm,3取173）第 8 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解题点拨： 四边形 ABCD中, AD长为 7 支香烟的直径之和,易求；求 AB长,只要运算出如图（ 2）中的 O1E 长即可；解：（1）如图（ 2）,作 O1EO2O3O O 12O O 23O O 310 753 4cmO E 1333 3428A B23 333 338

16、43A D7321cm44四边形 ABCD的面积是：2133436331663cm24（2）制作一个烟盒至少需要纸张：2 63 3 16633 338 4218 41440961441 .c m244例 9. 在直径为 20cm的圆中,有一弦长为16cm,求它所对的弓形的高；解： 一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载HA BCOG如图, HG为 O的直径,且HGAB,AB 16cm,HG20cm OH10 cm,BC1AB8 cmA C =2cm,

17、A D3 cm,求2OCOB2BC21022 86cmCHOHOC1064cmCGOCOG61016 cm故所求弓形的高为4cm或 16cm 例 10. O的直径A B2cm,过A点有两条 弦CAD所夹圆内部分的面积；解： 符合题设条件的图形有两种情形：（1）圆心 O在 CAD的内部,如图（OAOC1,A C2OCAB 1）,连结 OC、OD,过 O作 OEAD于点 E 名师归纳总结 S 1SAOCS扇形BOC11190111436第 10 页,共 27 页23602OA1,A E1 2A D31 2OA2321,即OEOE2 122S2SAODS扇形BOD11360223604- - - -

18、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2或23412cm2SS 1S 214362435cm22412（2）圆心 O在 DAC的外部时,如图（2）,有：SS1S 2143624312cm224CA D所夹 圆的内 部的面 积为：2345cm12例 11. 已知圆 O 中,AB、CD 为两条弦,AC 的度数为 130 o,BD 的度数为 90 , oM、N 分别为 AB、CD 的中点,求 MON 的度数；分析：由已知条件可知 AB、CD弦的位置不确定, 所以要分多种情形争论,可分为四种情形；解：（1）当 AB、CD不相交时,且 AB、CD在圆心的两侧,如图

19、（1）连结 OD、OB；M、N分别是弦 AB、CD的中点, OD、OB过圆心 O 名师归纳总结 OM、ON的延长线平分AB、CD90第 11 页,共 27 页BOM m1AB,DON m1CD22BOMDON m1ABCD2AC的度 数为130,BD的 度数为CDAB 的度数 为 36013090140BOMDON70BOD mBD90MON9070160- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图（ 1）（2）当 AB、CD不相交,且在圆心O的同侧时,如图（2）,连结 OB、OC 同理可 证,BOM m1ABC,ON m1CD22CDBC而

20、MONBOMCONBOC m1AD1221ADDCBCDCBC21ACBD1 130902022图（ 2）（3）当 AB、CD相交于点 P,且圆心 O在 DPA的内部时,如图（3）, DPA是圆内角,就DPAm1ADBC1360ACBD7022OMPONP90MON18070110图（ 3）名师归纳总结 （4）当 AB、CD相交于点 P,且圆心 O在 DPA的外部时,如图（4）第 12 页,共 27 页DPAm1ADBC1ACBD20,又ONP9022NQPMQO902070,MON20综上所述,MON 的度数为20或110或160；- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

21、- - - - 学习必备 欢迎下载图（ 4）例 12. （长沙市, 2000）已知：如图,圆心 A（ 0,-3 ）,圆 A与 x 轴相切,圆 B 的圆心 B在x 正半轴上,且圆 B 与圆 A 外切于点 P；两圆内公切线 MP交 y 轴于点 M,交 x 轴于点 N：（1）求证 AOB NPB；（2）设圆 A 半径为 r 1,圆 B半径为 r 2,如 r 1：r 23：2,求点 M、N的坐标及公切线 MP的函数解析式； （3）设点 B（x1,0）,点 B 关于 y 轴的对称点 B（ x2,0）,如 x1 x2-6 ,求过 B、 A、B 三点的抛物线解析式； （4）如圆 A 的位置大小不变,圆心 B

22、 在 x 正半轴上移动,并始终有圆 B 与圆 A外切,过点 M作圆 B 的切线 MC,C为切点, MC 3 3 时, B 点在x 轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？解：（1）AO x轴,MPAB,ABONBP,名师归纳总结 AOBNPB第 13 页,共 27 页（ ）A0,3 ,OAAP3又r r 12AP PB32PB2,AB5,BO2 52 34ABBONBBPNBABBP5425BO2ON45322点N的坐标为（3, ）02由Rt APMRt AOBAMAB5,点M的坐标为（ , ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载设直线

23、 MP的解析式为y kxb,就有2k0b,解得k24,330kb,b,2MP的函 数解析 式为y4x23（3）设抛物线为yax2bxc（a 0）令 y0,就有 ax2bxc0 B 与 B关于 y 轴对称,x1x20,即 b0,又点 A（0, -3 ）, C=-3 x 1x 2c36都有切线 MP的长等于点B 的横坐标或四边形aaa1 2抛物线的解析式为y1x232（4） MCMP 可证APM AOB MCMPBO3 3点B的坐标为（3 3, ）猜想：圆心 B 在 x 轴的正半轴上任一位置时,MOBC是长方形；【模拟试题】一. 挑选题：（此题共 24 分,每道题 4 分,每道题只有一个正确答案）

24、 1. 已知 AB是 O的直径,半径 EOAB于 O,弦 CDEO于 F 点,如 CDB120 ,就 CD 的度数为（） A. 10B. 15 C. 30 D. 60 2. 如图,已知 O中,M是弦 CD的中点, N为弦 AB的中点, 并且 AC、BD 的度数为 130 、90 ,就 MON的度数为（） A. 70B. 90 C. 130 D. 160 C M DBONA名师归纳总结 3. 已知ABC中, a、b、c 是 A、 B、C的对边,如r 是内切圆半径,就ABC的面积可第 14 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载

25、）以表示为（） A. 1abc rB. 1 2abc r4 C. abcrD. 2 abc r 4. 已知两圆的半径分别为R、r ,且圆心距为d,如 Rd2r22 Rd,就这两圆的位置关系为（） A. 外离或外切B. 相交或内切 C. 外切或内切D. 内切或内含 5. 已知正多边形的边长为a 与外接圆半径R之间满意 1a2,就这个多边形是 （R A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形 6. 已知正方形ABCD边长为 5,剪去四个角后成正八边形,就正八边形的边长为（） A. 52B. 5 22C. 5 221D. 5212二. 填空题：（此题共16 分,每道题4 分） 7. 已

26、知ABC, C90 , B28 ,以 C为圆心, 以 CA为半径的圆交AB于 D,就 A D的度数为 _； 8. 已知ABC内接于 O,F、E是 AB的三分之一点, 如 AFE130 ,就 C _度； 9. 已知 PA切 O于 A,APO30 ,如 PA 12 3 ,OP交于 O于 C,就 PC_； 10. 两圆半径之比为 2：1,大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为 _；三. 求解以下各题： （此题共 18 分,每道题 6 分） 11. 已知 AB是 O的直径,弦 CDAB于 E,如弦 CD把 O分为 2：1 的两部分,且 CD4 3 ,求 O的直径及 AE长； 12. 已知等边AB

27、C内接于 O,E 是 BC上一点, AE交 BC于 D,如 BD：DC2：1,且 AB6,求 DE长；名师归纳总结 13. 如下列图, AB是 O的弦, EF 切 O于 B,AC EF于 C；第 15 页,共 27 页求证： AB22 ACAO- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四. 解答题：（此题共24 分,每道题学习必备欢迎下载8 分） 14. 如下列图,AB切 O于 B,AE过 O点交 O于 E、C,过 C作 O切线交 AB于 D,如 A D 2 BD；求证： AE 3 AB 15. 如下列图,ABC中, A90 , O是 BC上一点,以 O为圆心

28、的圆切 AB、AC于 D、E,如 AB3,AC4,求阴影部分的面积； 16. 如下列图, O与 O交于 A、B,过 A点任意作两圆的割线CAD,如连结CB、DB,问因割线 CAD的位置不确定,CBD的大小是否转变？五. 解答题：（此题共 18 分,每道题 9 分） 17. 如下列图, PA切 O于 A,PO交 O 于 B、C,如 ACCE,AE交 BC于 D,且 BEA30 , DB1,求 AP及 PB长；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18. 已知一块直径为学习必备欢迎下载20cm,10cm的圆形铁板各一块；

29、30cm的圆形铁板, 已经截去直径分别为现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形,问这两个圆形的最大半径是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 参考答案 一. 挑选题； 1. D 2. D 3. B 提示：设ABC的内切圆的圆心为O 连结 OA、 OB、OC,就 ABC可分割成三个三角形：就 SABCSABObSBCOSA CO1a r1b r1c r2221ac r2应选 B 4. C 提示：依题意,有：R22Rdd2r20Rd2r20dr0r0RdrRd所以, Rdr0或 R即 Rrd

30、,或 Rrd两圆内切或外切 5. C ABO, BCO, ACO 提示：正多边形的边数越多,就边长越小,而有4Ra2R由于 a6R, a42R,所以 a6aa就 a6a5a4,是正五边形,应选C； 6. D 名师归纳总结 提示：如下列图,所截的四个角是全等的等腰三角形,且GEEFFH 第 18 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A学习必备欢迎下载DEFGHBC设 EFx,就依据勾股定理,A EDF2x2就有 ADA EEFFD即 x22x52x515212应选 D 二. 填空题； 7. 56 8. 75 或 105提示：如下列图： AF

31、E130 , A BE 的度数为 260名师归纳总结 就 AE的度数为 360o260o100o第 19 页,共 27 页F、E 是 A FB的三分之一点AFFEEBAFFEEB50oCmAFBo 150 或 Co 105- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 9. 12 10. 3：1 2 3r如下列图,设大圆与小圆的半径为2r 和 r 就大圆内接正六边形的边长为2r ,小圆外切正六边形的边长为3由于这两个正六边形相像,所以面积比等于边长比的平方即 2r2：2 3r23：13三. 求解以下各题： 11. 解：如图,分两种情形：（1）点

32、E 在 OA上；（2）点 E 在 OB上（1）直径 AB弦 CD于 E, CD 4 3 A依据垂径定理,有：CEED23、B 分别为 CAD和 CBD的中点CD把 O分成 2：1 两部分名师归纳总结 CD的度数为 120 , CBD的度数为2406第 20 页,共 27 页30o连结 BC,就 B m1AC60o122在 Rt BCE 中, BEcot 30oCE3 2 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CE2AEEB22学习必备欢迎下载AECE22 3EB6ABAEEB8（2）当点 E 在 OB上时, AE 6 直径为 8,AE 6 或 2 12.

33、 解法一：如图（1）, ABC是等边三角形,AB6 图（ 1）BCABAC 6, B ACB60BD：DC2：1 BD4,CD2 ADDEBDCD8 连结 CE, B E60 ACB E CAD是公共角 ACD AEC 名师归纳总结 A C2A D A E36A D A DDEA D2A D DE第 21 页,共 27 页AD228,AD2 7DEBD CD84 7AD2 77解法二：如图（2）,过 A 作 AGBC于 G - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图（ 2） ABC是等边三角形,BC6 CGGB3 由解法一得： CD2,BD

34、4 DG1 在 Rt A GB 中, A GA B2BG22622 332 1327在 Rt A DG 中, A DAG2DG3 32依据相交弦定理,有： 13. DE ADCD BDDECD BD2847A D277证明一：延长AD交 O于 D,连结 BD,如图（ 1）AD是直径, ABD90 , 2AOAD EF切 O于 B 1 D ACEF于 C C ABD 90 ABC ADB 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A C AB A B A D 即 AB 2 AC AD 2 AC AO证明二：延长 AC至 M,使 CMAC,连结 BM、OB 图（ 2）BCAC,AC CM MBAB M 2 OAOB 3