2022年初二年级数学勾股定理及平方根知识点汇总及典型例题分类.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 初二数学勾股定理及平方根专题开平方运算3. 判定直角三角形：假如三角形的三边长a、b、c 满意 a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角【学问点扫描】形是直角三角形；（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）判定直角三角形其他方法： （1）有一个角为90 的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；用它判定三角形是否为直角三角形的一般步骤是：勾股定理勾股定理的验证（1）确定最大边（不妨设为c）；勾股定理和平方根定义、性质（2）如 c2a2b2,就ABC 是以 C 为直角的三角形；如 a2b2c2,就此三角形为钝角三角形（其中c 为最大

2、边）；如 a2b2c2,就此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）平方根4. 留意 ：（ 1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半立方根定义、性质开立方运算（2）在直角三角形中,假如一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中,假如一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角实数近似数、边所对的角等于30 ；有效数字一、勾股定理：5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边,求另两边的关系；（3）用于证明线段平方关系的问题；1、勾股定理定义：假如直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a 2b2c2. 即直角三角形两直

3、角边的平方和等于斜边的平方B（4）利用勾股定理,作出长为n 的线段二、平方根：（11 19 的平方）弦ca勾1、 平方根定义 ：假如一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根；（也称为二次方根）,也就是说假如x2=a,那么 x 就叫做 a 的平方Ab股C根；2、平方根的性质：勾 ：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边弦：斜边一个正数有两个平方根,它们互为相反数；一个正数a 的正的平方根,记作“a ” ,又叫做算术平方根,它负的平方根,记作“ a ” ,这两个平方根合起来记作“ a ” ；（ a 叫被开方勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a,b,c 有下面关系：a2b2c

4、2,数,“” 是二次根号,这里“” ,亦可写成“2” ）那么这个三角形是直角三角形；2. 勾股数 ：满意 a2b2c 2 的三个 正整数 叫做勾股数（留意： 如 a,b,c、为勾股0 只有一个平方根,就是0 本身；算术平方根是0；负数没有平方根；数,那么ka,kb,kc 同样也是勾股数组；） * 附：常见勾股数：3,4,5 ； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 - 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、开平方： 求一个数的平方根的运算叫做开平方,开平方和平方运算互为逆运算；4、（1） 平方根是

5、它本身的数是零；（2）算术平方根是它本身的数是20 和 1；,a2aa0.（3）a2aa0,aaa0无理数 ：无限不循环小数称（包括全部开方开不尽的数,）；有理数 ：有限小数或无限循环小数 留意： 分数都是有理数,由于任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小 数的形式 2、实数的分类：（4）一个数的两个平方根之和为0 a,那么这个数就叫做a 的立方根；实数有理数正有理数有限小数或无限循环小数零三、立方根：（1 9 的立方）负有理数1、立方根的定义：假如一个数的立方等于2、立方根的性质：（也称为二次方根）,也就是说假如3 x=a,那么 x 就叫做 a 的立方根；记作“3 a ” ；任何数都有立

6、方根,并且只有一个立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数, 0 的立方根是0. 3a =3 a互为相反数的数的立方根也互为相反数,即3a33a3a3、开立方： 求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算,开立方的运算结果是立方根；无理数正无理数无限不循环小数负无理数实数的性质：实数的相反数、倒数、肯定值的意义与在有理数范畴内的意义是 一样的；实数同有理数一样,可用数轴上的点表示,且实数和数轴上的 点一一对应；两个实数可以按有理数比较大小的法就比较大小；实数可以按有理数的运算法就和运算律进行运算；3、近似数： 由于实际中经常不需要用精确的数描述一个量,甚至在更多情形下不

7、 可能得到4、立方根是它本身的数是1,0,-1；精确的数,用以描述所讨论的量,这样的数就叫近似数；5、平方根和立方根的区分：取近似值的方法四舍五入法（1）被开方数的取值范畴不同：在a 中, a0,在3a中, a 可以为任意数值；（2）正数的平方根有两个,而它的立方根只有一个；负数没有平方根,而它有一个立方根；6、立方根和平方根：4、有效数字：对一个近似数,从左边第一个不是0 的数字起,到末位数字止,所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为a10n 其中1a10 ,n是整数）的形式,就叫做科学记数法；6、实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来,数轴上每一个点

8、都表示一不同点：个实数；实数与数轴上的点是一一对应的；【 好题精练 】类型一：等面积法求高（1）任何数都有立方根,正数和0 有平方根,负数没有平方根；即被开方数的取值范畴不同：a 中的被开方数a 是非负数；3 a 中的被开方数可以是任何数 .（2）正数有两个平方根,任何数都有惟一的立方根；【例题 】如图,ABC 中, ACB=900,AC=7 , BC=24 ,CDAB 于 D；（1）求 AB 的长；（3）立方根等于本身的数有0、1、 1,平方根等于本身的数只有0（2）求 CD 的长；C共同点： 0 的立方根和平方根都是0四、实数：1、定义 ：有理数和无理数统称为实数- 2 - 名师归纳总结

9、ADB第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 类型二：面积问题【例题】 如下左图,全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,就正方形A,B,C,D的面积之和为【练习 1】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高为4cm,是上底面_cm2；C 的直径一只蚂蚁从点A 动身,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最B D 短路程A 7cm mmm【练习 1】如上右图,每个小方格都是边长为1 的正方形,【练习 2】如图,一个牧童在小河的南4km的 A 处牧马,而他正位于（1）求图中格点四边形ABCD的面积

10、和周长；（2）求 ADC的度数；他的小屋 B的西 8km北 7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家 . 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？A D - 3 - 牧童A 小河北E 【练习 2】如图,四边形ABCD 是正方形,AE BE ,且B C 东类型四：判定三角形的外形B 小屋AE =3, BE =4,阴影部分的面积是_. 【练习 3】 如图字母 B所代表的正方形的面积是 25A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 169B类型三：距离最短问题【例题】 假如 ABC的三边分别为 a、b、c,且满意第 3 页,共 5 页【例题】如图, A、B 两个小集镇在河流CD的同侧

11、,分别到河的距离为AC=10千a 2+b 2+c2+50=6a+8b+10c,判定 ABC的外形；米, BD=30千米,且 CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3 万,请你在河流CD上挑选水厂的位置M,使铺设水管的费用最节约,并求出总费用是多少？B A 名师归纳总结 - - - - - - -L 精选学习资料 - - - - - - - - - 【练习 1】已知 ABC的三边分别为 m 2n 2,2mn,m 2+n 2m,n 为正整数 , 且mn, 判定 ABC是否为直角三角形 . 类型六：构造应用勾股定理【练习 2】如 ABC的三边 a、b、c

12、 满意条件 a 2b 2c233810a【例题】 如图,已知：在中,. 求：BC 的长 . 24b26c,试判定 ABC的外形 . 【练习 3】.已知 a, b,c 为 ABC三边,且满意a 2b 2a 2+b 2c 2 0,就它的外形为（）三角形A. 直角 B. 等腰 C. 等腰直角 D. 等腰或直角【练习】 四边形 ABCD 中, B=90 , AB=3 ,BC=4 ,CD=12 ,AD=13 ,求四边 形 ABCD 的面积；【练习 4】三角形的三边长为 ab 2c22 ab, 就这个三角形是 三角形类型七：利用勾股定理作长为n 的线段A. 等边 B.钝角 C.直角 D.锐角类型五：直接考

13、查勾股定理【例题】 在 Rt ABC 中, C=90 1已知 a=6, c=10 ,求 b；2已知 a=40,b=9 ,求 c；3已知 c=25 ,b=15 ,求例 1 在数轴上表示的点；a.；作法：如下列图在数轴上找到A 点,使 OA=3,作 ACOA且截取 AC=1,以 OC【练习】 如图 B=ACD =90 , AD =13,CD=12, BC=3,就为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B 即为；【练习】在数轴上表示13 的点；AB 的长是多少 . - 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型八：勾股定

14、理及其逆定理的一般用法【例题 】如直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积；类型十：翻折问题【练习 1】等边三角形的边长为2,求它的面积；【例题 】如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？CD【练习 2】以以下各组数为边长,能组成直角三角形的是（）【练习 1】如下列图,折叠矩形的一边BEAAD ,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知AB=8cm ,BC=10cm ,求 EF 的长；A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、

15、8,39,40 类型九：生活问题【例题】 如下左图,在高2 米,坡角为30 的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需_ _米【练习 2】如图,ABC 中, C=90 , AB 垂直平分线交BC 于 D 如 BC=8 ,AD=5 ,求 AC 的长；【练习 1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图）,测得内部底面半径为 2.5 ,高为12 ,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出 4.6 ,问吸管要做；【练习 2】如下左图学校有一块长方形花园,有极少数人为了躲开拐角而走“ 捷径” ,在花园内走出了一条“ 路” ；他们仅仅少走了 _ 步路（假设 2 步为 1m）,却踩伤了花草；【练习 3】如下图,校内内有两棵树,相距12 米,一棵树高13 米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 _ 米 . - 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页