2022年初二上辅导教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平方根一、一周学问概述1、平方根和算术平方根假如一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根（ square root）,即假如x2=a,就 x 叫做 a 的平方根,记作x=,其中 a叫被开方数 . 一般地,假如一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 . a 的算术平方根记为,读作 “根号 a”,a 叫被开方数 . 0 的算术平方根是 0. 2、平方根的性质（ 1）任何一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.如正数 a的平方根是 ,其中与恰是一对相反数；（ 2）零的平方根是零,即

2、=0；（3）负数没有平方根. 3、平方根的表示正数 a 的算术平方根用表示；正数a 的负的平方根用表示；正数a 的平方根用符号表示 . 4、开平方求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方,开平方与平方互为逆运算 . 5、平方根重要性质：（ 1）a0时,；. （ 2）6、用运算器求一个数的算术平方根有的运算器上有“” 键,就可以使用这个键直接求出一个数的算术平方根. 二、重难点学问归纳1、由算术平方根的定义得到：一个非负数a的算术平方根可记作,它是非负数,就是说,当有意义时,它肯定表示一个非负数,故具有双重非负性：a0；0.第 1 页,共 31 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资

3、料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. a 的算术平方根,其思2、是算术平方根的专有记号,它有两重意义：表示求根号内的非负数的算术平方根,是运算符号；求维方式与乘方是逆向的,即要这样想,什么非负数的平方等于a. 3、求一个数的平方根,实质上是已知指数和幂,求底数.这种求底数的运算是乘方运算的一种逆运算. 4、由于只要一个数的平方等于a,那以这个数的相反数的平方也肯定等于a,所以正数a 有两个平方根5、弄清的意义：（ 1）弄清（a0）表示非负数,即0,表示 a 的算术平方根；（ 2）（ a0）表示 a的算术平方根的相反数,也可以说是表示a 的负的平方根；（ 3）（ a0）表示

4、 a 的平方根,即a的平方根为. 6、用运算器求一个数的算术平方根,假如被开方数不是完全平方数,假如所求得的算术平方根是它的近似值,此时应依据题目的要求进行四舍五入依据运算器的类型,把握不同的按键次序 . 7、平方根与算术平方根的区分及联系区分： （1）定义不同： “ 假如一个数的平方等于 a,这个数就叫做 a 的平方根 ” ；“非负数 a 的非负平方根叫做 a 的算术平方根 ” . （ 2）个数不同：一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个 . （ 3）表示方法不同：正数 a的平方根表示为,正数 a 的算术平方根表示为 . （ 4）取值范畴不同：正数的算术平方根肯定是正数；正数的

5、平方根就一正一负,两数互为相反数 . 联系： （1）具有包含关系：平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的一种；（ 2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；（ 3）0 的平方根、算术平方根均为 0. 三、典型例题剖析例 1、求以下各式的值. 第 2 页,共 31 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2、（ 1）已知,求学习必备欢迎下载的值；（ 2）已知 a、 b 为实数,求 ab 的平方根 . 例 3、已知ABC 的三边长分别为a,b,c,且 a,b 满意,求 c 的取值范畴（ 1 c5例 4、小颖想用一块面积为 4

6、dm2的纸片,沿着边的方向裁出一块面积为 3dm2的长方形纸片,使它的长宽之比为 3 2,你能否裁出来 . 解设长方形的长和宽分别为 3xdm 和 2xdm,依据边长与面积的关系,得：3x 2x=3,已知正方形的纸片的边长只有 2dm,长方形的纸片的长大于正方形的纸片长,故不能裁出来 . 例 5、已知,求 x 的个位数字 . 例 6、已知：. （ 1）求的值；（2）如,求 x 的值；（ 3）如,求 a 的值 . 2 立方根实数与数轴一、一周学问概述1、立方根名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如一个数的立方等于a,

7、那么这个数叫做学习必备欢迎下载x3=a,就 x 叫做 a 的立方根,记作：x=. a 的立方根（ cube root）,即假如2、立方根的性质正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0 的立方根是0.即 a0 时,. 0； a=0 时,=0；a0 时,n）2、整式的乘法（ 1）单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘,只要将它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式 . （ 2）单项式乘以多项式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加 . （ 3）多项式乘以多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一

8、个多项式的每一项,再把所得的积相加,即mna b=am bman bn 3、幂的运算法就的逆向应用（m,n 为正整数）a mn=a ma na mn=a m na nb n=ab n二、重、难点学问归纳1、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除均是由乘方的意义推演而得,把握法就的关键是正确懂得幂的概念2、单项式的乘法是整式乘法的关键,逆用幂的运算法就和多项式乘法的应用是难点. 第 8 页,共 31 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、典型例题剖析例 1、以下运算是否正确,错的请指出错因,并加以改正（ 1）x

9、5 x 5=2x52x3 x 3=x93n+13-2a32=2a 64an+13=a例 2、（1）比较： 355,444,533；（ 2）已知 am=2, a n=3,求 a 3m2n 的值；（ 3）已知 2a=3, 2 b=6, 2 c=12,求 a、 b、 c 之间的关系 . 例 3、运算：（ 4）xm1x2n3x m+n（ 5）a b5a b 3 ab 2例 4、已知 求代数式例 6、运算：（ 1） 3ab2a2b ab1 2anb 23b n1 2abn1 12005 例 7、运算：（ 1） a 2b5a 3b （2）x yx2xy y2 （3）（3x1）x 1 2x1x13xx 22

10、x 3x 例 8、如 x2pxqx2 3x 2的乘积中不含 x2和 x3项,求 p、q 的值 . 4 乘法公式一、一周学问概述1、平方差公式由多项式乘法得到 a bab a2 b2. 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；留意： 1平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数；右边是乘式两项的平方差,并且是完全相同的项的平方减去互为相反数项的平方. 第 9 页,共 31 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2运用公式时除了把握其结构特点外,仍应留意如下几点：公式

11、中的 a, b 具有广泛的含义,可以表示一个数、一个字母,一个单项式,仍可以表示一个多项式；运用公式时关键是识别两个数,哪个是完全相同的,哪个是互为相反数 . （ 3）平方差在简便运算中的应用当问题中的两因数不是两数和与两数差的积的形式时,可适当变形,使之符合公式的特点,从而能运用公式达到巧算的目的 . 2、完全平方公式由多项式乘法得到（ab）2=a 22ab+b 2即两数和 或差 的平方,等于它们的平方和,加 或减 它们的积的 2 倍 . 推广形式：（ a+b+c）2=a 2+b 2 c2 2ab 2bc 2ca 留意： 1完全平方公式的结构特点：公式的左是两个相同的二项式相乘,即两个数和

12、或差 的平方； 公式的右边是一个三项式,其中两项是左边的二项的平方和,第三项是左边两项的积的 2 倍,但符号与左边的符号相同 . 2公式中的字母具有一般性,它可以表示数也可以表示多项式 . 3、乘法公式的主要变式1a2 b2 a bab; 2a b 2ab 24ab; （ 3）a+b2+a-b 2=2a 2+b 2；4 a 2b 2ab 22abab 2 2ab （ 5）a3+b 3=a+b 3-3aba+b熟识这些变形公式,明确它们间联系,综合运用,常可简化解题过程留意： 1公式中的 a,b 既可以表示单项式,也可以表示多项式 . 2乘法公式既可以单独使用,也可以同时使用 . 3这些公式既可

13、以正用,也可以逆用,因此在解题时应敏捷地运用公式,以运算简捷为宜 . 二、重难点学问归纳名师归纳总结 平方差公式、完全平方公式均为重点,而公式、法就的运用是难点. 第 10 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、典型例题剖析（一）分清 a、b,正确运用例 1、运算：13a 2b2b3a; 2x 2y x 2y; 3 ; 4a bca bc 例 2、运算：198 102； 299 101 10001. 例 3、运算：12004 2199622x y z 2x yz232x y 32x y 3例 4、运算（ 1）2x+y

14、z+52x y+z+5 ；（ 2）x+y2 2x+yx y+x y2例 5、运算：13x 4y2; 23 2a 2；32a b2；4 3a2b2例 6、已知： a+b=5,ab=2,求： a b2的值例 7、运算以下各题：1 2x7 2x7; 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载23x yy3x 24x3y4x 3y; 3m 12 5m 1m 13m 12; 42x 3y11 2x 3y 1 2x 3y2例 8、1运算 19902 19892 19882 19872 2212；2化简 3 1321

15、341381 5 整式的除法一、一周学问概述1、单项式除以单项式单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式.对于只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式. 2、多项式除以单项式多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加 . 3、整式乘除法的比较跟整式的乘法一样,整式的除法关键是把握好同底数幂的除法和单项式与单项式相除为此,不妨将二者进行归纳、比较运算同底数幂单项式相乘底数不变,把它们的系数、相同字母分别相乘,对只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个相除指数相加因式底数不变,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对只在被除式里含有

16、的字母,就连同它的指数作为商的一指数相减个因式二、重难点学问归纳以同底数幂的除法,幂的运算法就的综合应用以及单项式除以单项式,多项式除以单项式为重点 . 以整式的综合运算犯难点 . 三、典型例题剖析例 1、运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1xymn1xmynxny；4c2学习必备欢迎下载2 2a 3b 2c 24a 2b 33 4a 5b例 2、运算：2a2m1b3 3am2b45amb5 a mb3；32a b 53ab 4 ab3 2a b 3. 例 3、完成以下各题：1已知 x m=8, x n=5

17、,求 x mn 的值；2已知 x m=a, x n=b,求 x 2m3n 的值；3已知 3 m=6, 9 n=2,求 3 2m4n1 的值 . 例 4、化简求值： 6 因式分解一、一周学问概述1、因式分解的意义把一个多项式化成为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解 . 总结： 1因式分解是多项式的一种恒等变形,也是单项式与多项式,多项式与多项式相乘的逆变形 . 2分解因式是对多项式而言的,且分解的结果必需是整式的积的形式 . 3分解因式都是在指定的数集内进行 如无特殊说明,一般指有理数 ,其结果要使每一个因式不能再分解为止 . 2、提公因式法名师归纳总结 - - - - - - -第 13

18、 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1公因式：多项式中每一项都含有的因式,叫公因式学习必备欢迎下载. 2提公因式法：假如一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法 . 3公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有相同字母；指数：相同字母的最低次幂 . 提公因式时要一次提尽 . 3、公式法（ 1）平方差公式把整式乘法的平方差公式 a ba b=a2 b2,反过来就得到：a 2b2=a bab 即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积 . （ 2）完全平方

19、公式把整式乘法的完全平方公式a b 2=a 22abb 2反过来,就得到 a22abb 2=a b 2即两个数的平方和加上 或减去 这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和 或差 的平方 . 4、分解因式的步骤可归纳为“ 一提二公三检查” . “一提 ” 是一开头可考虑各项是否都有公因式,即是分解因式的第一个步骤也是第一个方法；“二公 ” 即在提取了公因式后,依据详细情形看剩下的多项式是二项多项式或是三项多项式,如是两项多项式,可考虑是否能用“平第 14 页,共 31 页方差公式 ”分解因式；如是三项多项式可考虑是否能用“ 完全平方公式 ” ,将这个多项式分解到不能再分解为止；名师归纳总结 -

20、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载“三检查 ” 是指分解因式后检查结果是否正确,要分解到不能再分解为止二、重难点学问归纳1、正确懂得因式分解的含义“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解”,也叫做把这个多项式分解因式” 对这段文字的懂得应留意如下几点：1 “分解因式 ”与“因式分解 ” 是同义语；2,即因式分解为整式乘法的逆向变形；3应从整体上把握因式分解的含义,如m28m9=m2 98m=m 3m 38m 就不是因式分解,而 m28m9=m 9m 1才符合因式分解的要求2、怎样提取公因式提公因式法是因式分解最基本也是最

21、常用的方法,它的关键是确定公因式,难点是提取公因式后括号内多项式的确定1公因式的系数为各项系数的最大公约数,相同字母的最低次数如 8x3y2 6x2y 32xy4的公因式为2xy2；2提取公因式后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同,各项恰为原多项式的各项分别除以公因式所得的商如 8x3y2 6x2y 22xy 4=2xy24x2 3x y23、分解因式必需分解到每个因式在有理数范畴内不能再分解为止如 a41=a21a21不正确,由于a2 1 仍可以连续分解为a+1a1,即a41=a2+1a+1a 1 4、对某些多项式仍要明白经过肯定变形后才能分解的因式,如：分解x2 4xy3y2 的因式

22、,此题用现有的方法仍不能分解因式.但如适当处理后配成完全平方,就可以连续分解. x24xy3y2=x24xy3y2 y2 y2=x24xy 4y2y 2=x2y2 y2=x 2y yx 2yy 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载=x yx 3y 三、典型例题剖析例 1、（ 1）以下各式中从左到右的变形,是因式分解的是（）A x 5x 5=x225 BCx2y xy 2=xyx y D 15=35 （ 2）以下各式的因式分解中正确选项（）A a2ab ac= aa b c B9xyz 6x2y 2

23、=3xyz3 2xy C3a2x 6bx3x=3xa 22b D例 2、把以下各式分解因式：16x4y2 12x3y 27x 2y3；2x4yx3y2x 2y 3；5m5axay 1 m3axay 1. 3xn 3xn1x n2；45x y310y x2；例 3、把以下各式分解因式：2ab2 1； 3x 2216x12；例 4、把以下各式分解因式：1x 2 14x 49; 2m n26mn9; 3 3ax 2 6axy 3ay2; 4x 242 8xx 2416x2. 例 5、（ 1）已知 x3x2x1=0,求 1xx2x3 x4 x2003的值 . 名师归纳总结 （ 2）已知 x3 x2yx

24、y2 y3=5, x2 y2=10,求 x y 的值 . 第 16 页,共 31 页（ 3）求证 aa1a2a 31 是一个完全平方式. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6、某超市共有四层,第一层有商品学习必备欢迎下载a bb 种,第四层有商品ab3种,当 a=8,a b2种,其次层有商品aa b种,第三层有商品b=12 时,求超市商品共有多少种. 7 勾股定理一、一周学问概述1、勾股定理假如直角三角形的两条直角边长分别为 a、 b,斜边为 c,那么 a2 b2=c 2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（ 1）我国古代把直角三角形中较短的

25、直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,即勾 2股 2=弦 2（ 2）勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系,因此是直角三角形的性质定理,它为我们利用运算的方法争论几何图形的性质供应了新的途径（ 3）勾股定理的证明常用面积法证明,读者可依据下图的几种拼图方式,用面积证明勾股定理（ 4）勾股定理只适用于直角三角形,对于一般非直角三角形就不存在这种关系勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边求第三边；在直角三角形中,已知其中的一边,求另两边的关系；用于证明平方关系；利用勾股定理,作出长为 的线段2、勾股定理的逆定理假如三角形的三边长为 a,b,c,且满意 a2 b2=c 2,那么这个三角形

26、是直角三角形勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法这种方法与前面学过的一些判定方法不同,它是通过代数运算“算 ”出来的实际上利用运算证明几何问题在几何里也是很重要的这里表达了数学中的重要思想 数形结合思想,打破了利用角与角之间的转化运算直角的方法,建立了通过求边与边关系判定直角的新方法它将数形之间的联系表达得淋漓尽致,因此也有人称勾股定理的逆定理为 “数形结合的第肯定理” ！二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥斯定理,它有着悠久的历史,蕴涵着丰富的文化价值勾股定理是数学史上的一个宏大的定理,在现实生活中有着广泛的应用,被人誉为“千古第肯定理 ” 第

27、17 页,共 31 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载勾股定理反映了直角三角形（三边分别为 c2=a 2b2它的变形为c2a2=b2 或 c2 b2=a 2a,b,c,其中 c 为斜边）的三边关系,即运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边例如：已知一个直角三角形两边长分别为 3cm,4cm,求第三边长由于该题没有说明哪条边是直角三角形的斜边,所以要进行分类争论当两直角边分别为3cm,4cm 时,由勾股定理有斜边为=5cm；当斜边为 4cm,始终角边为3cm 时,就另始终角边为故第三边为5cm 或cm2、直角三角形的

28、几个性质（ 1）两锐角互余；（ 2）三边长满意勾股定理；（ 3）假如有一个锐角等于30,那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半,三边长的关系为a, 2a；（ 4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a,a,；（ 5）面积等于两直角边乘积的一半3、勾股数组能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数组不难验证 3,4,5, 5,12,13, 7,24,25, 9,40,41, 11,60,61, 均为基本勾股数组明显,如 a,b,c为基本勾股数组,就ka,kb,kc 也为勾股数组,其中k 为正整数例如 6,8,10,9,12,15,10,24,26 , 为勾股数组如能把握

29、前几个基本勾股数组,会给解题带来便利和快捷4、数形结合思想数形结合是中学数学中一种重要思想方法,它把代数的精确描述与几何图形的直观结合起来,从而使几何问题代数化,代数问题几何化,也将抽象思维与形象思维有机地结合在一起,实现了数与形的统一正如华罗庚所说：“ 数缺形时少直觉,形缺数时难入微”例如对于勾股定理的证明,教材中就是以几何直观形式出现的,清楚易懂又由下图,我们不难得出下面的结论：对于正数 a,b,c, d,假如 a b=c d,那么,结合图形,如何证明,同学们不妨一试,亲身体验数形结合的奇妙！三、典型例题剖析1、运用勾股定理求值名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 31

30、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 1、如下列图,在 Rt ABC 中, C=90 , AM 是中线, MN AB ,垂足为 N,试说明： AN2 BN2=AC 2例 2、如下列图,将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠,使点 C 落到点 C 处, BC 交 AD 于 E, AD=8 , AB=4 ,求 BED 的面积例 3、如图,已知,A=60 , B= D=90 , AB=2 , CD=1求 BC 和 AD 的长例 4、 ABC 中, a=m2 n2, b=2mn, c=m2 n2,其中 m, n 是正整数,且 mn,试判定ABC 是否是直角三角形例

31、 5、如图,四边形ABCD 为正方形 四角为直角、四边相等的四边形,点 E 为 AB 中点,点 F 在 AD 边上,且求证： EF CE例 6、如下列图,在四边形ABCD 中, AB=3 , BC=4 ,CD=12, AD=13 , B=90 ,求四边形ABCD 的面积 8 勾股定理的应用一、一周学问概述勾股定理可以解决直角三角形的很多问题,在现实生活和数学中有着广泛的应用（ 1）懂得方向角等概念,依据题意画出图形,利用定理或逆定懂得决航海中距离问题；（ 2）判定实际问题中两线段是否垂直的问题；以已知线段为边构造三角形,依据三边的长度,利用勾股定理的逆定懂得题；（ 3）解决折叠问题；正确画出折

32、叠前、后的图形,运用勾股定理及方程的思想,用代数方法解题；（ 4）圆柱侧面上两点问题；转化为将侧面绽开成平面长方形,构造直角三角形,利用勾股定懂得决；名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 5）其它涉及直角三角形的问题；二、重、难点学问应用勾股定理及其逆定理对详细问题详细分析,敏捷运用定理是重点也是难点；三、典型例题讲解例 1、有一圆柱形油罐,底面周长是12 米,高是 5 米,现从油罐底部A 点围绕油罐建梯子,正好到A 点的正上方B 点,问梯子最短需多少米 . 例 2、小明想知道旗杆的高度,他发觉旗杆上的绳子垂到地面仍多了2 米,当他把绳子的下端拉开距旗杆底部 8 米时, 发觉绳子的末端刚好接触地面,求旗杆的高度A 处,如例 3、在一棵树的10 m 高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20 m 的池塘 A 处, 另一只爬到树顶后直接跃向池塘的果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高. ,点 A 处有一所中学,AP=160 米,假设一拖拉机在大路MN 上沿例 4、如下列图,大路MN 和大路 PQ 在点 P 处交汇,且 QPN=30