2022年勾股定理知识点总结、经典例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点学问点及例题学问点一：勾股定理a,b,斜边长为c,那么 a 2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等假如直角三角形的两直角边长分别为：于斜边的平方要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理；（2）勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角；（3）懂得勾股定理的一些变式：c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2, b 2=c2-a 2 ,c 2=a+b2-2ab 学问点二：用面积证明勾股定理方法一： 将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形；图（ 1）中,所以方法二： 将四个全等

2、的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形；图（ 2）中,所以；方法三： 将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3） 1 和（ 3） 2 所示的两个外形相同的正方形；在（ 3） 1 中,甲的面积 =（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）, 在（ 3） 2 中,乙和丙的面积和 =（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）, 所以,甲的面积 =乙和丙的面积和,即：. 方法四： 如图（ 4）所示,将两个直角三角形拼成直角梯形；,所以；学问点三：勾股定理的作用1已知直角三角形的两条边长求第三边；2已知直角三角形的一条边,求另两边的关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习

3、资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点的线段；,明显, 以 x,y,z 为三边长的三角3用于证明平方关系的问题；4利用勾股定理,作出长为2. 在懂得的基础上熟识以下勾股数 满意不定方程 x 2+y 2=z 2 的三个正整数, 称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）形肯定是直角三角形；熟识以下勾股数,对解题是会有帮忙的：3、 4、55、12、13； 8、15、 17； 7、24、25； 10、24、26； 9、40、41假如 a,b,c是勾股数,当 t0 时,以 at,bt,ct 为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形；经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 R

4、t ABC 中, C=901已知 a=6, c=10,求 b,2已知 a=40,b=9,求 c；3已知 c=25,b=15,求 a. 思路点拨 : 写解的过程中,肯定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形使用；解析： 1 在 ABC 中, C=90 , a=6,c=10,b=2 在 ABC 中, C=90 , a=40,b=9,c=3 在 ABC 中, C=90 , c=25,b=15,a= 总结升华： 有一些题目的图形较复杂,但中心思想仍是化为直角三角形来解决；如：不规章图形的面积,可转化为特别图形求解,此题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和；举一

5、反三【变式】 :如图 B=ACD =90 , AD=13,CD =12, BC=3,就 AB 的长是多少 . 【答案】 ACD =90AD = 13, CD=12 AC 2 =AD 2CD=13 212 2=25 2AC=5 又 ABC=90 且 BC=3 由勾股定理可得 AB 2=AC 2BC 2=5 23 2=16 AB= 4 AB 的长是 4. 类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中,. 求： BC 的长 . 于 D,就有思路点拨 ：由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作,再由勾股定理运算出AD、DC 的长,进而求出BC 的长 . 名师归纳总结 解析 ：作于 D,就因,第 2

6、页,共 10 页（的两个锐角互余）（在中,假如一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 依据勾股定理,在中,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点. 依据勾股定理,在 中,. . 总结升华 ：利用勾股定理运算线段的长,是勾股定理的一个重要应用 . 当题目中没有垂直条件时,也常常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理 . 举一反三 【变式 1】如图,已知：,于 P. 求证：. 思路点拨 : 图中已有两个直角三角形,但是仍没有以 BP 为边的直角三角形 . 因此,我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形. 所以连结BM . 这样,

7、实际上就得到了4 个直角三角形 . 那么依据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系 . 解析 ：连结 BM ,依据勾股定理,在 中,. 而在 中,就依据勾股定理有. 又在（已知）,. 中,依据勾股定理有,. ABCD 的面积；【变式 2】已知：如图,B=D=90 , A=60 , AB=4 ,CD=2 ；求：四边形分析 ：如何构造直角三角形是解此题的关键,可以连结AC,或延长 AB 、DC 交于 F,或延长 AD 、 BC 交于点 E,依据此题给定的角应选后两种,进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁；解析 ：延长 AD 、 BC 交于 E； A= 60 , B=90 , E=30 ；AE

8、=2AB=8 ,CE=2CD=4 ,名师归纳总结 BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=；第 3 页,共 10 页DE2= CE2-CD2=42-2 2=12, DE=S 四边形 ABCD =S ABE -S CDE=AB BE-CDDE=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图,在一次夏令营活动中,小明从营地A 点动身,沿北偏东60 方向走了到达 B 点,然后再沿北偏西 30 方向走了500m 到达目的地C 点；（1）求 A、C 两点之间的距离；（2）确

9、定目的地 C 在营地 A 的什么方向；思路点拨： 把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解；解析 ：（1）过 B 点作 BE/AD DAB= ABE=60 30 +CBA+ ABE=180 CBA=90 即 ABC 为直角三角形由已知可得： BC=500m ,AB=由勾股定理可得：所以（2）在 Rt ABC 中,BC=500m ,AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点 C 在点 A 的北偏东 30 的方向总结升华 ：此题是一道实际问题,从已知条件动身判定出线的性质和勾股定理等学问；举一反三ABC 是直角三角形是解决问题的关键；此题涉及平行【变式】一辆装满

10、货物的卡车,其外形高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门外形如图的某工厂,问这辆卡车能否通过 该工厂的厂门 . 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如下列图,点D在离厂门中线0.8 米处,且 CD ,与地面交于H解： OC1 米大门宽度一半,OD 0.8 米（卡车宽度一半）在 Rt OCD 中,由勾股定理得：CD .米,C . . .（米） .（米）名师归纳总结 因此高度上有0.4 米的余量,所以卡车能通过厂门第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（二）用勾股定

11、理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A 、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现方案在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如 图实线部分请你帮忙运算一下,哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理运算线路长,然后进行比较,得出 结论解析 ：设正方形的边长为 1,就图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD 3,AB+BC+CD 3 图（ 3）中,在 Rt ABC 中同理图（ 3）中的路线长为 图（ 4）中,延长 EF 交 BC 于 H,

12、就 FHBC,BH CH 由 FBH 及勾股定理得：EA EDFB FCEF12FH 1此图中总线路的长为 4EA+EF 32.8282.732 图（ 4）的连接线路最短,即图（4）的架设方案最省电线总结升华： 在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学学问进行运算,比较从中选出最优设计此题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质举一反三【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高为4cm,是上底面的直径一只蚂蚁从点A 动身,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程解：如图,在 Rt 中,底面周长的一半cm,依据勾股定理得（提问：勾股定理）名师归纳总结 AC

13、 cm（cm）（勾股定理） 第 5 页,共 10 页答：最短路程约为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点,直角边为和 1 的直角三角形斜类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段；思路点拨： 由勾股定理得,直角边为1 的等腰直角三角形,斜边长就等于边长就是,类似地可作；作法 ：如下列图（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB ,使 AB 为斜边；（2）以 AB 为一条直角边,作另始终角边为1 的直角；斜边为；、的长度就是（3）顺次这样做下去,最终做到直角三角形,这样斜边、；总结升华：（1）以上作法依据勾股定理均可证明是正确的

14、；如 1cm、1m 等,我们作图时只要取定一个长为单位即可；举一反三【变式】在数轴上表示的点；（2）取单位长时可自定；一般习惯用国际标准的单位,解析： 可以把看作是直角三角形的斜边,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和,得另外两边分别是 3 和 1；作法 ：如下列图在数轴上找到 A 点,使 OA=3 ,作 AC OA 且截取 AC=1 ,以 OC 为半径,以 O 为圆心做弧,弧与数轴的交点B 即为；类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出以下原命题的逆命题并判定是否正确 1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平

15、分线上的点,到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系；解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上（正确）总结升华： 此题是为了学习勾股定理的逆命题做预备；7、假如 ABC 的三边分别为 a、b、c,且满意 a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ,判定 ABC 的外形；思路点拨 ：要判定 ABC 的外形,需要找到 a、b、c 的关系,而

16、题目中只有条件 a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ,故只有 从该条件入手,解决问题；解析 ：由 a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ,得 ：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0, 2+b-4 2+c-5 2=0； a-3 a-3 2 0, b-4 2 0, c-5 2 0； a=3,b=4,c=5； 3 2+4 2=5 2, a 2+b 2=c 2；由勾股定理的逆定理,得 ABC 是直角三角形；总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来讨论图形的位置关系的,在证明中也常要用到；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10

17、页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点举一反三 【变式 1】四边形 ABCD 中, B=90 , AB=3 ,BC=4 ,CD=12 ,AD=13 ,求四边形 ABCD 的面积；【答案】：连结 AC B=90 , AB=3 , BC=4 AC 2=AB 2+BC 2=25（勾股定理） AC=5 AC 2+CD 2=169,AD 2=169 AC2+CD 2=AD 2 ACD=90 （勾股定理逆定理）【变式 2】已知 : ABC 的三边分别为m 2n 2,2mn,m 2+n 2m,n 为正整数 ,且 mn,判定 ABC 是否为直角三角形只要证明 :a 2+b 2

18、=c 2 即可. 分析 :此题是利用勾股定理的的逆定理,证明：所以 ABC 是直角三角形 . 【变式 3】如图正方形ABCD , E 为 BC 中点, F 为 AB 上一点,且BF=AB ；请问 FE 与 DE 是否垂直 .请说明；【答案】答： DEEF；证明：设 BF=a,就 BE=EC=2a, AF=3a ,AB=4a, EF 2=BF 2+BE 2=a 2+4a 2=5a 2；DE2=CE 2+CD 2=4a 2+16a 2=20a 2；连接 DF（如图）DF 2=AF 2+AD 2=9a 2+16a 2=25a 2； DF 2=EF 2+DE 2, FEDE；经典例题精析类型一：勾股定

19、理及其逆定理的基本用法1、如直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积；思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积；解析： 设此直角三角形两直角边分别是 3x,4x,依据题意得：（3x）2+（4x）220 2化简得 x2 16；直角三角形的面积 3x 4x6x 296 总结升华： 直角三角形边的有关运算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程（组）求解；举一反三【变式 1】等边三角形的边长为 2,求它的面积；【答案 】如图,等边ABC ,作 AD BC 于 D 就： BDBC（

20、等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合）AB AC BC2（等边三角形各边都相等）BD 1 ABD 中, AB2 AD2+BD2,即： AD2AB2BD241 3 在直角三角形AD 名师归纳总结 S ABCBCAD a,就其面积为a；第 7 页,共 10 页注：等边三角形面积公式：如等边三角形边长为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【变式 2】直角三角形周长为 12cm,斜边长为 5cm,求直角三角形的面积；【答案 】设此直角三角形两直角边长分别是 x, y,依据题意得：由（ 1）得： x+y7,（x+y ）249,x 2+2x

21、y+y 249 3 32,得： xy12 直角三角形的面积是 xy 126（cm 2）【变式 3】如直角三角形的三边长分别是 n+1,n+2,n+3,求 n；思路点拨： 第一要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解；解：此直角三角形的斜边长为 n+3,由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（ n+3）2化简得： n 24 n 2,但当 n 2 时, n+1 10, n2 总结升华： 留意直角三角形中两“ 直角边” 的平方和等于“ 斜边” 的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情形下,第一要先确定斜边,直角边；【变式 4】以以下各组数为边长,能组成直角三角形的是（）

22、D、8,39,40 A、8,15,17 B、4, 5,6C、5,8,10 解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判定,对数据较大的可以用 c 2a 2+b 2 的变形： b 2c例如：对于挑选 D,82 （ 40+39） （ 4039）,以 8,39,40 为边长不能组成直角三角形；同理可以判定其它选项；【答案】：A 2a 2（ ca）（c+a）来判定；【变式 5】四边形 ABCD 中, B=90 , AB=3 , BC=4,CD=12 ,AD=13 ,求四边形 ABCD 的面积；解：连结 AC B=90 , AB=3 ,BC=4 AC 2=AB 2+BC 2=25（勾股定理）AC=5 A

23、C 2+CD 2=169,AD 2=169 AC 2+CD 2=AD 2 ACD=90 （勾股定理逆定理）S 四边形 ABCD =S ABC +S ACD=AB BC+AC CD=36 类型二：勾股定理的应用2、如图,大路 MN 和大路 PQ 在点 P 处交汇,且 QPN30 ,点 A 处有一所中学,AP 160m；假设拖拉机行驶时,四周 100m 以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在大路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由,假如受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判定拖拉机的噪音是否影响学校 A,实质上是看 A

24、到大路的距离是否小于 100m, 小于 100m 就受影响,大于 100m 就不受影响,故作垂线段 AB 并运算其长度； （2）要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程；因此必需找到拖拉机行至哪一点开头影响学校,行至哪一点后终止影响学校；解析 ：作 AB MN ,垂足为 B；在 Rt ABP 中, ABP 90 , APB 30 ,AP160, AB AP 80； （在直角三角形中,30 所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN 的距离小于 100m, 这所中学会受到噪声的影响；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料

25、- - - - - - - - - 名师总结优秀学问点AC 100m,如图,假设拖拉机在大路MN 上沿 PN 方向行驶到点C 处学校开头受到影响,那么由勾股定理得：BC21002-8023600, BC60；同理,拖拉机行驶到点D 处学校开头脱离影响,那么,AD 100m,BD 60m, CD120m ；拖拉机行驶的速度为 : 18km/h 5m/s t 120m 5m/s24s；答：拖拉机在大路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为 24 秒；总结升华 :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 ,如图形缺少直角条件 ,就可以通过作帮助垂线的方法 ,构造直角三角形

26、以便利用勾股定理；举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了躲开拐角而走“ 捷径”,在花园内走出了一条“ 路” ；他们仅仅少走了 _步路（假设 2 步为 1m）,却踩伤了花草；解析：他们原先走的路为 3+4 7m 设走“ 捷径” 的路长为 xm,就故少走的路长为 752m 又由于 2 步为 1m,所以他们仅仅少走了 4 步路；【答案】 4 【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形；（1）直接写出单位正三角形的高与面积；（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 AB

27、CD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作帮助线） ；【答案】（1）单位正三角形的高为,面积是；（2）如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形,因此其面积,；（3）过 A 作 AK BC 于点 K（如下列图）,就在 Rt ACK 中,故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决3、如下列图,ABC 是等腰直角三角形,AB=AC ,D 是斜边 BC 的中点, E、F 分别是 AB、AC 边上的点,且DEDF,如 BE=12 , CF=5求线段 EF 的长；名师归纳

28、总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点思路点拨： 现已知 BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,依据直角三角形的特点,三角形的中线有特别的性质,不妨先连接 AD 解：连接 AD 由于 BAC=90 , AB=AC 又由于 AD 为 ABC 的中线,所以 AD=DC=DB AD BC且 BAD= C=45 由于 EDA+ ADF=90 又由于 CDF+ ADF=90 所以 EDA= CDF所以 AED CFD（ ASA ）所以 AE=FC=5 同理： AF=BE=12 在

29、Rt AEF 中,依据勾股定理得：,所以 EF=13；总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等学问；通过此题,我们可以明白：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同始终角三角形中求解；（二）方程的思想方法4、如下列图,已知ABC 中, C=90 , A=60 ,的值；,求、的值；,再找出、的关系即可求出和思 路点拨： 由解：在Rt ABC 中, A=60 , B=90 -A=30 ,就,由勾股定理,得；由于,所以,总结升华： 在直角三角形中,30 的锐角的所对的直角边是斜边的一半；举一反三：【变式 】如下列图,折叠矩形的一边 EF 的长；AD ,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知 AB=8cm ,BC=10cm ,求解： 由于 ADE 与 AFE 关于 AE 对称,所以AD=AF ,DE=EF ；由于四边形ABCD 是矩形,所以B=C=90 ,在 Rt ABF 中,AF=AD=BC=10cm ,AB=8cm ,所以；所以设,就；在 Rt ECF 中,即,解得即 EF 的长为 5cm；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页