2022年初中数学动点问题总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载初二动点问题1. 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD BC ,B=90 ,AD=24cm ,AB=8cm ,BC=26cm ,动点 P 从 A 开头沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q 从点 C 开头沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动 P、Q 分别从点 A、C 同时动身,当其中一点到达端点时, 另外一点也随之停止运动, 设运动时间为 ts（1）当 t 为何值时,四边形PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时,四边形 PQCD 为等腰梯形？（3）当 t 为何值时,四边形 PQCD 为直角梯

2、形？分析：（1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ （2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 全部的关系式都可用含有 解答：t 的方程来表示,即此题只要解三个方程即可解：（1）四边形 PQCD 平行为四边形PD=CQ 24-t=3t 解得： t=6 即当 t=6 时,四边形 PQCD 平行为四边形（2）过 D 作 DEBC 于 E 就四边形 ABED 为矩形BE=AD=24cm 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载EC

3、=BC-BE=2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形QC-PD=2CE 即 3t- （24-t ）=4 解得： t=7（ s）即当 t=7 （s）时,四边形 PQCD 为等腰梯形（3）由题意知： QC-PD=EC 时,四边形 PQCD 为直角梯形即 3t- （24-t ）=2 解得： t=6.5 （s）即当 t=6.5 （s）时,四边形 PQCD 为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中2. 如图, ABC 中,点 O 为 AC 边上的一个动点,过点O 作直线 MN BC,设MN 交BCA 的外角平分线（1）试说明 EO=FO ；CF 于点 F,交 ACB

4、 内角平分线 CE 于 E（2）当点 O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形并证明你的结论；（3）如 AC 边上存在点 O,使四边形 AECF 是正方形,猜想ABC 的外形并 证明你的结论分析：（1）依据 CE 平分 ACB ,MN BC ,找到相等的角,即 OEC= ECB ,再 依据等边对等角得 OE=OC ,同理 OC=OF ,可得 EO=FO （2）利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：解：（1） CE 平分 ACB , ACE= BCE ,MN BC , OEC= ECB ,名师归纳总结 - - - - - - -第 2

5、页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 OEC= OCE ,OE=OC ,同理, OC=OF ,OE=OF （2）当点 O 运动到 AC 中点处时,四边形 AECF 是矩形如图 AO=CO ,EO=FO ,四边形 AECF 为平行四边形,CE 平分 ACB , ACE= ACB ,同理, ACF= ACG , ECF= ACE+ ACF= 四边形 AECF 是矩形（3） ABC 是直角三角形四边形 AECF 是正方形,（ ACB+ ACG ）= 180 =90 ,AC EN,故 AOM=90,MN BC , BCA= AOM , BCA=90, A

6、BC 是直角三角形点评：此题主要考查利用平行线的性质“等角对等边 ” 证明出结论（1）,再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2）,再对（ 3）进行判定解答时不仅要留意用到前一问题的结论,更要留意前一问题为下一问题供应思路,有相像的摸索方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用3. 如图,直角梯形ABCD 中, AD BC ,ABC=90,已知 AD=AB=3 ,BC=4 ,动点 P 从 B 点动身,沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点 Q 从点 D 动身,沿线段 DA 向点 A 作匀速运动过Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M,交 BC于点 NP、Q 两点同时动身,速度都为每秒1

7、 个单位长度当Q 点运动到 A点, P、Q 两点同时停止运动设点Q 运动的时间为 t 秒（1）求 NC, MC 的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时,四边形PCDQ 构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻, 使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分？如名师归纳总结 存在,求出此时t 的值；如不存在,请说明理由；第 3 页,共 11 页（4）探究： t 为何值时,PMC 为等腰三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,

8、BC、 AD 已知, DQ 就是 t,即解； AB QN, CMN CAB ,CM：CA=CN ：CB ,（2）CB、CN 已知,依据勾股定理可求 CA=5 ,即可表示 CM；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是 PC=DQ ,列方程 4-t=t 即解；（3）可先依据 QN 平分 ABC 的周长,得出 MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出 t 的值然后依据得出的 t 的值,求出 MNC 的面积,即可判定出MNC 的面积是否为ABC 面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的 t 值（4）由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情形进行争论：当 MP=MC 时,那么 PC=2NC ,据此可求出

9、t 的值当 CM=CP 时,可依据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出 t 的值当 MP=PC 时,在直角三角形 股定理即可得出 t 的值MNP 中,先用 t 表示出三边的长,然后依据勾综上所述可得出符合条件的 t 的值解答 : 解：（1） AQ=3-t CN=4-（3-t）=1+t 在 Rt ABC 中, AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5 在 Rt MNC 中, cos NCM= = ,CM= （2）由于四边形 PCDQ 构成平行四边形PC=QD ,即 4-t=t 解得 t=2 （3）假如射线 QN 将 ABC 的周长平分,就有：MN+NC=AM+BN+AB 名师归

10、纳总结 即：（1+t） +1+t= （3+4+5 ）第 4 页,共 11 页解得： t= （5 分）而 MN= NC= （1+t ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S MNC= （1+t ）2= 学习必备欢迎下载（1+t）2 当 t= 时, S MNC= （1+t）2= 4 3 不存在某一时刻 t,使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分（4）当 MP=MC 时（如图 1）就有： NP=NC 即 PC=2NC 4-t=2 （1+t）解得： t= 当 CM=CP 时（如图 2）就有：（1+t）=4-t 解得： t= 当 PM=PC 时（如图

11、3）就有：在 Rt MNP 中, PM2=MN2+PN2 而 MN= NC= （1+t ）PN=NC-PC= （1+t ）-（4-t ）=2t-3 （1+t）2+ （2t-3 ）2=（4-t）2 解得： t1= ,t2=-1 （舍去）当 t= ,t= , t= 时, PMC 为等腰三角形点评：此题纷杂,难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查同学分类名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载争论和数形结合的数学思想方法4. 如图,在矩形 ABCD 中,BC=20cm ,P,Q,M,N 分别从 A,

12、B,C,D 动身 沿 AD ,BC ,CB ,DA 方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运 动边的另一个端点时,运动即停止已知在相同时间内,如 BQ=xcm （x 0）,就 AP=2xcm ,CM=3xcm , DN=x2cm （1）当 x 为何值时,以 PQ,MN 为两边,以矩形的边（为第三边构成一个三角形；AD 或 BC ）的一部分（2）当 x 为何值时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P,Q,M,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？假如能,求 x 的值；假如不能,请说明理由分析：以 PQ,MN 为两边,以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成

13、一个三角形的必需条件是点P 、 N 重合且点Q 、M 不重合,此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm ,BQ+MC BC即 x+3x 20cm；或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合,此时 AP+ND AD 即 2x+x2 20cm ,BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所以可以依据这两种情形来求解 x 的值以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形的话,由于由第一问可知点 Q 只能在点 M 的左侧当点 P 在点 N 的左侧时, AP=MC ,BQ=ND ；当点 P 在点 N的右侧时, AN=MC ,BQ=PD 所以可以依据这些条件列出方程关系式假如以 P,Q,M,N 为顶点的

14、四边形为等腰梯形,就必需使得AP+ND AD即2x+x2 20cm,BQ+MC BC即 x+3x 20cm,AP=ND 即 2x=x2 ,BQ=MC 即x=3x ,x 0这些条件不能同时满意,所以不能成为等腰梯形解答：解：（1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时,以 PQ,MN 为两边,以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形-1（舍去）当点 P 与点 N 重合时,由 x2+2x=20 ,得 x1= -1,x2=- 由于 BQ+CM=x+3x=4 （-1） 20,此时点 Q 与点 M 不重合所以 x= -1 符合题意当点 Q 与点 M 重合时,由 x+

15、3x=20 ,得 x=5 此时 DN=x2=25 20,不符合题意故点 Q 与点 M 不能重合名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载所以所求 x 的值为-1（2）由（ 1）知,点 Q 只能在点 M 的左侧,当点 P 在点 N 的左侧时,由 20-（x+3x ）=20-（2x+x2 ）,解得 x1=0 （舍去）,x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P 在点 N 的右侧时,由 20-（x+3x ）=（ 2x+x2 ）-20,解得 x1=-10 （舍去）,x2=4 当 x=4 时四边

16、形 NQMP 是平行四边形所以当 x=2 或 x=4 时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q,M 分别作 AD 的垂线,垂足分别为点 E,F由于 2x x,所以点 E 肯定在点 P 的左侧如以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是等腰梯形,就点 F 肯定在点 N 的右侧,且 PE=NF ,即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0 （舍去）,x2=4 由于当 x=4 时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,所以以 P,Q,M, N 为顶点的四边形不能为等腰梯形点评：此题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点5. 如图,在梯形 ABCD 中,AD BC

17、 ,B=90 ,AB=14cm ,AD=15cm ,BC=21cm ,点 M 从点 A 开头,沿边 AD 向点 D 运动,速度为 1cm/s ；点 N 从点 C 开头,沿边 CB 向点 B 运动,速度为 2cm/s 、点 M、N 分别从点 A、C 动身,当其中 一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒（1）当 t 为何值时,四边形MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时,四边形 MNCD 是等腰梯形？分析：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载t 值；12,求解即可（1）依据平行

18、四边形的性质,对边相等,求得（2）依据等腰梯形的性质,下底减去上底等于解答：解：（1） MD NC,当 MD=NC ,即 15-t=2t ,t=5 时,四边形 MNCD 是平行 四边形；（2）作 DEBC ,垂足为 E,就 CE=21-15=6 ,当 CN-MD=12 时,即 2t-（15-t ）=12,t=9 时,四边形 MNCD 是等腰梯形 点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质,动点问题是中考的重点内容6. 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD BC ,C=90 ,BC=16 ,DC=12 ,AD=21 ,动点 P 从点 D 动身,沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动,动点

19、 Q 从点 C 动身,在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动, P、Q 分别 从点 D、C 同时动身,当点 Q 运动到点 B 时,点 P 随之停止运动,设运动时间 为 t（s）（1）设 BPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为何值时,以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）如过点 P 作 PMBC 于 M,就四边形 PDCM 为矩形,得出 PM=DC=12 ,由 QB=16-t ,可知： s= PM QB=96-6t ；（2）此题应分三种情形进行争论,如PQ=BQ ,在 Rt PQM 中,由名师归纳总结 - - - - - -

20、 -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载PQ2=PM2+MQ2 ,PQ=QB ,将各数据代入,可将时间 t 求出；如 BP=BQ ,在 Rt PMB 中,由 PB2=BM2+PM2 ,BP=BQ ,将数据代入,可将时间 t 求出；如 PB=PQ ,PB2=PM2+BM2 ,PB=PQ ,将数据代入,可将时间 t 求出解答：解：（1）过点 P 作 PMBC 于 M,就四边形 PDCM 为矩形PM=DC=12 ,QB=16-t ,s= .QB.PM= （16-t ）12=96-6t （0t ）（2）由图可知, CM=PD=2t ,CQ=t ,

21、如以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三 角形,可以分三种情形：如 PQ=BQ ,在 Rt PMQ 中,PQ2=t2+122 ,由 PQ2=BQ2 得 t2+122=（16-t ）2,解得；如 BP=BQ ,在 Rt PMB 中,PB2=（16-2t ）2+122,由 PB2=BQ2 得（16-2t ）2+122= （16-t ）2,此方程无解, BP PQ如 PB=PQ ,由 PB2=PQ2 得 t2+122= （16-2t ）2+122 得,t2=16（不 合题意,舍去）综上所述,当或时,以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形点评：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共

22、 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此题主要考查梯形的性质及勾股定理防止在解题过程中显现漏解现象在解题（2）时,应留意分情形进行争论,7. 直线 y=- 34x+6 与坐标轴分别交于 A、B 两点,动点 P、Q 同时从 O 点动身,同时到达 A 点,运动停止点 Q 沿线段 OA 运动,速度为每秒 1 个单位长度,点 P 沿路线 O. B. A 运动（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为 t（秒）, OPQ 的面积为 S,求出 S 与 t 之间的函 数关系式；（3）当 S= 485 时,求出点 P 的坐标,并直接写出以点 行四边

23、形的第四个顶点 M 的坐标分析：（1）分别令 y=0,x=0 ,即可求出 A、B 的坐标；O、P、Q 为顶点的平（2）由于 OA=8 ,OB=6 ,利用勾股定理可得AB=10 ,进而可求出点Q 由 O到 A 的时间是 8 秒,点 P 的速度是 2,从而可求出,当 P 在线段 OB 上运动（或 0t 3）时, OQ=t ,OP=2t ,S=t2 ,当 P 在线段BA 上运动（或 3t 8）时,OQ=t ,AP=6+10-2t=16-2t ,作 PDOA 于点 D,由相像三角形的性质,得 PD=48-6t5 ,利用 S= 12OQPD,即可求出答案；（3）令 S= 485,求出 t 的值,进而求出

24、OD、PD,即可求出 P 的坐标,利用平行四边形的对边平行且相等,结合简洁的运算即可写出 M 的坐标解答：解：（1）y=0,x=0 ,求得 A（8,0）B（0,6）,（2） OA=8 ,OB=6 , AB=10 点 Q 由 O 到 A 的时间是 81=8（秒）,点 P 的速度是 6+108=2 （单位长度 /秒）当 P 在线段 OB 上运动（或 Ot 3）时,OQ=t ,OP=2t ,S=t2 当 P 在线段 BA 上运动（或 3t 8）时,OQ=t ,AP=6+10-2t=16-2t,如图,做 PDOA 于点 D,由 PDBO=APAB ,得 PD= 48-6t5 名师归纳总结 - - -

25、- - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载S= 12OQ.PD= - 35t2+245t （3）当 S= 485 时, 485 12 3 6点 P 在 AB 上 当 S= 485 时, - 35t2+245t= 485 t=4 PD= 48-6 45= 245 ,AD=16-2 4=8 AD= 82-2452= 325 OD=8- 325= 85 P（ 85, 245）M1（ 285, 245）,M2（- 125 , 245 ）, M3（ 125,- 245 ）点评：此题主要考查梯形的性质及勾股定理防止在解题过程中显现漏解现象在解题（2）时,应留意分情形进行争论,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页