2022年初二下数学分式方程经典例题及练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆初二数学分式方程专题一、 考点、热点回忆分式方程：含分式,并且分母中含未知数的方程分式方程；解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母）,把分式方程转化 为整式方程；解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为,这样就产生了增根,因此分式方程肯定要验根；解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根增根应满意两个条件：一是其值应使最简公分母为 程的根；0,二是其值应是去分母后所的整式方（验根： 把整式方程的根代入最

2、简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必需舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验；）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母,假如最简公分母的值不为 0,就整式方程的解是原分式方程的解；否就,这个解不是原分式方程的解；列方程应用题的步骤是什么？1审； 2 设； 3列； 4解； 5答应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：1行程问题：基本公式：路程=速度 时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题2数字问题 在数字问题中要把握十进制数的表示法3工程问题 基本公式：工作量 =工时 工效4顺水逆水问题 v 顺水 =v 静水 +v 水v 逆水 =v 静

3、水 -v 水即时学问梳理1分式方程 : 分母中含有 的方程叫分式方程 . 2解分式方程的一般步骤：（1）去分母,在方程的两边都乘以 程；（2）解这个整式方程；（3）验根,把整式方程的根代入 为零的根是原方程的增根,必需舍去 知数的值代入）3. 列方程解决实际问题的步骤,约去分母,化成整式方,看结果是不是零,使最简公分母. （验根的方法：将所求得的未知数的名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（1）审；找出（2）设；（3）列；（4）解；检验：是否是原方程的根；这个根在实际问题中是否有实际意义；（

4、5）答；二、典型例题题型一 : 分式方程题型【例 1】解以下分式方程（1）x xx1441；（2）5xx5y2y2444yy2401x21x34x；（3）x4；（4）y6y124x1x4y4y2例 2、 解方程x x1x6x2x52x7x3x6练习：（1）x15x16x17x14名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（2）121 x4 x032x3424 x2316193898745（3）1xx1xx12 x214 x0x4 x【例 2】（1）如关于 x 的方程x11xk有增根 , 求增根和

5、k 的值x2x3 x3x3（2）、m 为何值时,关于x 的方程x22xmx4x32会产生增根？名师归纳总结 解：方程两边都乘以x24 ,得 2x4mx3 x6第 3 页,共 14 页整理,得 m1 x10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆当m1 时,x101x240,即x2或x2m假如方程产生增根,那么（ ）如x2,就1012m4m（ ）如x2,就1012m6m（ ）综上所述,当m4或 时,原方程产生增根说明：分式方程的增根,肯定是使最简公分母为零的根练习：1如解分式方程2xm1xx1产生增根,就m 的值是（）x1xxA. 1

6、 或2B. 1 或2C. 1 或2D. 1 或2分析：分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值；由题意得增根是：x0 或x1, 化简原方程为：2x2m1 x2 1 , 把 x0 或x1代入解得m1 或2,故挑选 D；x3xkx2 1的解为非负数 . 【例 3】 1、当 k 为何值时,关于x 的方程x21 2 、如分式方程2xa1的解是正数,求a 的取值范畴 . x2【例 4】 1、已知关于x 的分式方程2a1a无解,试求 a 的值 . x1名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2、如关于的

7、x 的分式方程23x1mx1无解,求 m的值x11x【例 5】列分式方程解应用题：为响应承办“ 绿色奥运” 的号召,九年级（1）班全体师生义务植树 300 棵由于参与植树的全体师生植树的积极性高涨,实际工作效率提高为原方案的 1.2 倍,结果提前 20 分钟完成任务恳求原方案每小时植树多少棵？例 6、 某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合后,其平均价比原甲种原料每千克少3 元,比乙种原料每千克多1 元,问混合后的单价每千克是多少元？分析： 市场经济中,常遇到营销类应用性问题,与价格有关的是：单价、总价、平均价等,要明白它们的意义,建立它们之间的关系

8、式甲总价值价格x数量2000 元乙4800 元3元,混合后的混合X 元x 元,就甲种原料的单价为每千克解： 设混合后的单价为每千克名师归纳总结 总价值为 2000 4800 元,混合后的重量为2000x4800斤,甲种原料的重量为2000,乙第 5 页,共 14 页x3种原料的重量为4800,依题意,得：x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆20004800=2000x4800,解得x17,x3x1经检验,x17是原方程的根,所以x17即混合后的单价为每千克17 元评析： 营销类应用性问题,涉及进货价、售货价、利润率、单价、混

9、合价、赢利、亏损等概念,要结合实际问题对它们表述的意义有所明白,同时,要把握好基本公式,奇妙建立关系式 随着市场经济体制的建立,这类问题具有较强的时代气息,因而成为中考常考不衰的热点问题练习 A 、B 两位选购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次,两次饲料的价格有变化,但两位选购员的购货方式不同其中,选购员 A 每次购买 1000 千克,选购员 B 每次用去 800元,而不管购买饲料多少,问选用谁的购货方式合算？解： 两次购买的饲料单价分别为每1 千克 m元和 n 元 m0,n0,m n ,依题意,得：选购员 A 两次购买饲料的平均单价为 元千克 ,选购员 B 两次购买饲料的平均单价为 元千克

10、 而0也就是说,选购员 A 所购饲料的平均单价高于选购员 B 所购饲料的平均单价,所以选用选购员 B 的购买方式合算例 5、 某工程由甲、乙两队合做 6 天完成,厂家需付甲、乙两队共 8700 元,乙、丙两队合做 10 天完成, 厂家需付乙、 丙两队共 9500 元,甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的 2 ,3厂家需付甲、丙两队共 5500 元求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？如工期要求不超过 15 天完成全部工程,问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由分析： 这是一道联系实际生活的工程应用题,涉及工期和工钱两种未知量对于工期,一般情形下把整个工作量看成1,设出甲、乙、丙各

11、队完成这项工程所需时间分别为x 天,y 天, z 天,可列出分式方程组名师归纳总结 解：设甲队单独做需x 天完成,乙队单独做需y 天完成,丙队单独做需z 天完成,依第 6 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆题意可得：6111,1 = z1 5xy10111,yz511 z2x31 61 101 ,得 51 x1 y1 ,得 61 = z1 ,即 z = 30 ,301 ,得 101 = x1 ,即 x = 10 ,101 ,得 51 = y1 ,即 y = 15 15经检验, x = 10 ,y = 15 ,z

12、 = 30 是原方程组的解设甲队做一天厂家需付a 元,乙队做一天厂家需付b 元,丙队做一天厂家需付c 元,依据题意,得6ab8700,a800,10bc 9500,b650,5 ca5500c300由可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队15b此工程由甲队单独完成需花钱10a8000元；此工程由乙队单独完成需花钱9750元所以,由甲队单独完成此工程花钱最少评析： 在求解时,把1 ,x1 ,y1 分别看成一个整体,就可把分式方程组转化为整式方 z程组来解练习： 今年某高校在招生录用时,为了防止数据输入出错,2640 名同学的成果数据分别由两位老师向运算机输入一遍,然后让运算机比较两人的输

13、入是否一样 . 已知老师甲的输入速度是老师乙的 2 倍,结果甲比乙少用 2 小时输完 . 问这两位老师每分钟各能输入多少名同学的成果？名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆解：设老师乙每分钟能输入x 名同学的成果,就老师甲每分钟能输入2x 名同学的成绩,依题意,得：, 解得 x 11 经检验, x11 是原方程的解,且当x11 时, 2x22,符合题意即老师甲每分钟能输入22 名同学的成果, 老师乙每分钟能输入11名同学的成果例 5、轮船顺流、逆流各走48 千米,共需5 小时,假如水流速度是4

14、 千米 /小时,求轮船在静水中的速度；分析： 顺流速度 =轮船在静水中的速度+水流的速度时间已知水流逆流速度 =轮船在静水中的速度-水流的速度路程速度顺流48 千米x+4 千米 / 小时48逆流48 千米x-4 千米 / 小时x448等量关系：顺流用时+逆流用时 =5（小时）x4练习：轮船在顺水中航行30 千米的时间与在逆水中航行20 千米所用的时间相等,速度为 2 千米时,求船在静水中的速度；即分析： 此题的等量关系很明显：顺水航行30 千米的时间 = 逆水中航行20 千米的时间,30千米=20 千米设船在静水中的速度为x 千米时,又知水流速度,顺水航行速度逆水航行速度于是顺水航行速度、逆水

15、航行速度可用未知数表示,问题可解决解：设船在静水中速度为x 千米时,就顺水航行速度为x2千米时,逆水航名师归纳总结 行速度为 x2千米时,依题意,得第 8 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆x302=202,解得x10x经检验,x 10 是所列方程的根即船在静水中的速度是 10 千米时三、实战训练挑选题以下约分正确选项 a 小时后A、x6x3 B、xy0 C、xxy1 D、2xy21x2xy2xyx4x2y22、以下各式中,从左到右的变形正确选项 A、xyxy B、xyxyxyxyxyxyC、xyxy D、xy

16、xyxyxyxyxy3、甲、乙两地相距S 千米,某人从甲地动身,以v 千米 /小时的速度步行,走了改乘汽车,又过b 小时到达乙地,就汽车的速度（）A. aSbB. SbavC. S aavD. 2Sbab4 假如关于 x 的方程x231xm3有增根,就m 的值等于（）A. 3B. 2C. 1D. 3 5 、有两块面积相同的试验田,分别收成蔬菜900kg 和 1500kg,已知第一块试验田每亩收成蔬菜比其次块少300kg,求第一块试验田每亩收成蔬菜多少千克设一块试验田每亩收成蔬菜 x kg,依据题意,可得方程（）Ax9001500B900 x1500300xx300C900 x1500Dx900

17、1500x300300x填空名师归纳总结 1. 当 x时,分式31x有意义a,当 a6 时,使分式无第 9 页,共 14 页2. 化简11 m1 m1的结果是 . 3. 化 简：（2x x+2 -x-2） x 2-4的结果为；4. 已知分式2 xx53a,当 x2 时,分式无意义,就x意义的 x 的值共有个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆5. 当 x2 时,分式x11的值是6. 当 x时,分式31x有意义；7. 当 x = 时,分式x2的值为零 . x28. 化简：a2a2b2b22 a2b_2abab9. 如关于 x 的分

18、式方程x231xm3有增根,就 m= 10 解分式方程（ ）x144xx22（2）x23233762x222x（3）x11（4）x11xx25x2x（5）x2x164x2（6）1x15xx5x22x2名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆应用题1、南宁市 20XX年的污水处理量为10 万吨/ 天,20XX年的污水处理量为 34 万吨/ 天,20XX年平均每天的污水排放量是 20XX年平均每天污水排放量的 1.05倍,如 20XX年每天的污水处理率比 20XX年每天的污水处理率提高 40%（污

19、污水处理量水处理率 污水排放量）（1）求南宁市 20XX年、 20XX年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）（2）估计我市 20XX年平均每天的污水排放量比20XX年平均每天污水排放量增加 20%,依据国家要求“20XX年省会城市的污水处理率不低于70%”,那么我市 20XX年每天污水处理量在20XX年每天污水处理量的基础上至少仍需要增加多少万吨,才能符合国家规定的要求？2、我国“ 八纵八横” 铁路骨干网的第八纵通道 温（州）福（州）铁路全长298 千米将于 20XX年 6 月通车,通车后,估计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速大路上汽车的行驶时间缩短2 小时已知福州至温州

20、的高名师归纳总结 速大路长 331 千米,火车的设计时速是现行高速大路上汽车行驶时速的2第 11 页,共 14 页倍求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01 小时）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆3、进入防汛期后,某地对河堤进行了加固该地驻军在河堤加固的工程中杰出完成了任务这是记者与驻军工程指挥官的一段对话 : 你们是用 9 天完成 4800 米 长的大坝加固任务的 . 我们加固 600 米后 ,采纳新的加固模式,这样每天加固长度是原先的 2 倍通过这段对话 ,请你求出该地驻军原先每天加固的米数 . 4、甲、

21、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做 2 天后,再由两队合作 10 天就能完成全部工程 已知乙队单独完成此项工程所需天 4 数是甲队单独完成此项工程所需天数的 5,求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？5、某超级市场销售一种运算器, 每个售价 48 元后来,运算器的进价降低了 4% ,但售价未变,从而使超市销售这种运算器的利润提高了 5% 这种运算器原先每名师归纳总结 个进价是多少元？（利润售价进价,利润率利润100%）第 12 页,共 14 页进价- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆6、今年 4 月

22、 18 日,我国铁路实现了第六次大提速,这给旅客的出行带来了更大的便利例如,京沪线全长约 1500 公里,第六次提速后,特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用 1 7 小时已知第六次提速后比第五次提速8后的平均时速快了 40 公里,求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？分式方程巩固练习1 以下各分式中,最简分式是 、x2y2A、34xy B、x2y22 C、y2x2 D85xyx2yxyxyxy22 以下分式中,运算正确选项 A、a2bbca23B、ab2a1b3 ca2bC、ab 21D、2xyxxyy2y122x2 天完成总量的三ab 3、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场

23、的清运工作甲队单独工作分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了 成总量需要（）1 天,总量全部完成那么乙队单独完名师归纳总结 6 天 4 天 3 天 2 天第 13 页,共 14 页 4 、炎炎夏日, 甲安装队为A 小区安装 66 台空调, 乙安装队为B小区安装 60 台空调,两队同时开工且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装2 台设乙队每天安装x 台,依据题意,下面所列方程中正确选项（）A66 x60 B 6660C66 x60 D 6660x2x2xx2x2x5 假如分式3x227的值为 0,就 x 的值应为x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而

24、不思就惘,思而不学就殆6当 x= 时,12113,就2 m1= x7、 如 m 为正实数,且mmm 28. 化简aa1 x1 2 - 91=_a9、 化简：= x - 310、 轮船先顺水航行 46 千米再逆水航行 34 千米所用的时间,恰好与它在静水中航行 80 千米所用的时间相等,水的流速是每小时 中的速度是 千米 / 时11、某书店老板去图书批发市场购买某种图书第一次用3 千米,就轮船在静水1200 元购书如干本,并按该书定价 7 元出售,很快售完由于该书畅销,其次次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了20%,他用 1500 元所购该书数量比第一次多10本当按定价售出 200 本时,显

25、现滞销,便以定价的4 折售完剩余的书试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,仍是赚钱了 （不考虑其它因素） ？如 赔钱,赔多少？如赚钱,赚多少？12、某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有才能承包这个项目公 司调查发觉：乙队单独完成工程的时间是甲队的 2倍；甲、乙两队合作完成 工程需要 20 天；甲队每天的工作费用为 1000 元、乙队每天的工作费用为 550 元依据以上信息,从节省资金的角度考虑,公司应挑选哪个工程队、应对 工程队费用多少元？13、A、B两地相距 18 公里,甲工程队要在 A、B两地间铺设一条输送自然气管 道,乙工程队要在 A、B 两地间铺设一条输油管道已知甲工程队每周比乙 工程队少铺设 1 公里,甲工程队提前 3 周开工, 结果两队同时完成任务, 求 甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页