2022年小学数学解题专题研究.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第九讲 四就运算应用题（三）问题 37：行程问题（ 2）1.火车过桥问题在简洁的行程问题以及稍复杂的行程问题：相遇问题和追及问题中,是把运动的人或物体都看作是一个质点的运动,人或物体本身的长度不再考虑；假如我们在争论物体运动的过程中, 既考虑由于运动而涉及路程、速度和时间的关系,又涉及运动物体本身的长度,那么就显现一种特别的行程问题火车过桥问题；例 1. 一座大桥长640 米；一列火车车身长260 米,以每秒20 米的速度行驶,从火车上桥到离桥共需要多少秒？分析： 要求从火车上桥到离桥共需要多少时间,不仅与大桥的长度有关,仍与火车车身的长度有关

2、；依据题意画出示意图如下,我们重点观看火车通过大桥时,所行驶的路程；大桥火车640 米火车240 米从火车上桥到离桥解：（640260） 20900 20 45（秒）答： 从火车上桥到离桥共需要 45 秒；这个问题就是火车过桥问题；其特点是：要求过桥的时间,既要考虑桥的长度,仍要考虑火车本身的长度；凡是需要考虑运动物体自身的长度的行程问题,都是属于这一类问题；在学校数学解题中,常常会遇到这类问题；例 2. 两列火车,一列长160 米,每秒钟行20 米；另一列长120 米,每秒钟行15 米；两列车在平行的两道上同向而行,车,共需要多少秒钟？慢车在前, 快车在后, 快车车头从追及慢车到车尾离开慢分

3、析： 从题目看,两列火车同向行驶,是一道涉及追及问题数量关系的题目,两列火车的速度差可以求出；要求快车车头从追及慢车到车尾离开慢车所需要的时间,关键是确定并求出在这一过程中快车所行驶的路程；慢车 快车 快车快车所行驶的路解：（160120） （ 20 15） 280 5 56（秒）答： 共需要 56 秒钟；2.流水问题流水问题一般是指船在水中航行的问题,涉及到船速、水速以及船在水中航行的顺水速名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 度、逆水速度等概念的问题；流水问题是一种特别的行程问题,又是一种和差问题；流水问题涉及到船速

4、、 水速、船的顺水速度和逆水速度等一些量；船在静水中行驶的速度就是船速；由于河流中水是流淌着的水,有肯定的速度,这就是水流淌的速度,叫做水速；而船在流淌着的水中行驶, 就存在船速与水速的运动叠加问题,所以就有顺水速度与逆水速度；这些量之间的关系是：船速水速顺水速度 船速水速逆水速度（顺水速度逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速例 1. 一只货船在河中顺水从甲地航行到乙地需要行驶 160 千米；已知货船每小时行 28千米,水流速度每小时 4 千米,航行到达乙地需要多少小时？分析： 要求航行到达乙地需要多少小时,就是求货船在顺水中航行需要的时间；先求出货船的顺水速度,再依据路程与速度的关系求

5、出顺水航行到达乙地所需要的时间；解：160 （ 284） 160 325（小时）答： 航行到达乙地需要 5 小时；例 2. 甲、乙两船共同航行在一段长 120 千米的水路上；甲船顺水航行需要 3 小时,逆水航行需要 4 小时；乙船逆水航行用了 8 小时,乙船顺水航行需要多少小时？分析： 已知这段水路长 120 千米, 要求乙船顺水航行需要多少小时,就要知道乙船顺水航行的速度； 由题中的条件可以先求出乙船逆水航行的速度；只要求出水流速度,乙船顺水航行的速度就能求出；从题目的其次个条件是可以求出水流的速度的；解：（1）水流的速度是多少？（120 3120 4） 2（ 4030） 210 25（千米

6、）（2）乙船顺水航行速度是多少？120 8 551510 25（千米）（3）乙船顺水航行需要多少小时？120 254.8（小时）答： 乙船顺水航行需要 4.8 小时；例 3 一艘客轮从甲城动身,顺流航行到乙城用了10 小时；从乙城返回,逆水航行到达甲城用了12.5 小时；已知甲城到乙城的水路全长400 千米,问客轮的静水速度和水流速度各是多少？分析：已知甲城到乙城的水路全长以及顺水与逆水航行所用的时间,先求出客轮的顺水速度和逆水速度,就能够求出客轮的静水速度和水流速度；解：（1）客轮的顺水速度和逆水速度分别是多少？400 10=40（千米）400 12.5=32（千米）（2）客轮的静水速度和水

7、流速度分别是多少？（4032） 2=36（千米）（4032） 2=4（千米）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答：客轮的静水速度是每小时36 千米,水流速度分别是每小时4 千米；问题 38：植树问题植树问题是指在线状路径上等距离植树或在面状区域等行距、等株距植树的问题；1、在线状路径的植树问题在线形路径上等距离植树,是把总距离按株距的长短平均分,有这样的多少段 （叫做段数）,就可以确定植多少棵树；一般来说,涉及总距离、株距、段数和植树的棵数等量；在线形路径上等距离植树可以分为两种情形；第一种是在封闭的环形路径上等距离

8、植树,的环形路径上等距离植树的数量关系：总距离 株距棵数此时有： 棵数段数； 由此可以推得在封闭其次种是在非封闭的路径上等距离植树,由于就是在一条线路上等距离植树,两端都要植树, 因此有： 棵数段数 1；这样就可以推得在非封闭的路径上等距离植树的数量关系：总距离 株距1棵数周长是 4800 米；方案在湿地周边每隔3 米植松树一棵,例 1. 西城区新建一块人工湿地,一共需要多少棵松树苗？分析： 湿地的周长是4800 米,要求每隔3 米植树一棵共需要多少棵树苗,就是在一条封闭的路径上等距离植树,求植树的棵数；解：4800 31600（棵）答： 一共需要 1600 棵松树苗；例 2. 沿一条大路的一

9、边安装路灯；原先每相邻两盏路灯之间的距离是 60 米,共安装了201 盏路灯；后来又全部改装,只安装了 少米？121 盏路灯；改装后相邻两盏路灯之间的距离是多分析：这个问题也可以依据植树问题的解题思路和方法进行解答；要求改装后相邻两盏路灯之间的距离是多少米,就要知道大路长多少米；而原先安装路灯的盏数与相邻两盏路灯之间的距离都知道,可以先求出大路的总长；由于在这条大路一边的两端都要安装路灯,因此有：路灯盏数1段数；解：（1）这条大路的总长是多少米？60 （ 2011） 60 20012000（米）（2）改装后相邻两盏路灯之间的距离是多少米？12000 （ 1211） 12000 120100（米

10、）答： 改装后相邻两盏路灯之间的距离是 100 米；2、在面状区域的植树问题名师归纳总结 在一个平面区域里等行距、等株距植树的问题,一般是先算出每一棵树所占的面积：行第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 距 株距,就可以求出植树的棵数；数量关系是：总面积（行距 株距）=棵数例 3 桃林村在一块长 84 米、宽 60 米的长方形地里种植桃树新品种；桃树的株距是 3米,行距是 4 米；在这块地里一共能种多少棵桃树？分析： 这道题就是一个平面区域里等行距、等株距植树的问题；依据题意,先算出长方形地的面积,再求出一共能种多少棵树；解：84 6

11、0 （ 3 4）= 5054 12 = 420（棵）答：在这块地里一共能种 420 棵桃树；植树问题的解答不是很难,但是,在解答过程时仍旧要留意对具体问题要进行细致的分析,什么时候植树的棵数等于段数,什么时候植树的棵数等于段数加 1,搞清晰了就可以进行解答；问题 39：鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题就是已知鸡、兔的总脚数和总头数,求鸡、 兔各有多少只的问题；由于在我国古代算术问题的表达中作为一种问题情形,是把鸡、 兔放在同一个笼子中争论的,所以就叫做鸡兔同笼问题；解答这一类鸡兔同笼问题,一般都用假设法； 假设法我们已经在其次章“ 学校数学解题的思想方法”中作了具体的争论；鸡兔同笼问题的解题思路是：先

12、假设全部是鸡,再依据题中的条件确定脚数的差,然后推出兔的只数；或先假设全部是兔,再依据题中的条件确定脚数的差,然后推出鸡的只数；例 1. 现有鸡、兔同笼共42 个头, 120 只脚；鸡、兔各有多少只？分析： 假如假设42 只都是鸡,那么共有脚2 42 只脚,这个脚数比已知的120 只脚少（1202 42）只；又由于每只鸡比每只兔少（42）只脚,而每把一只兔当作一只鸡,脚数就少算了（ 42）只脚,一共少算（1202 42）只脚,就可以先求出兔有多少只,再求 出鸡有多少只；解：（1）假设 42 只都是鸡,脚数比 120 只脚少多少只？1202 421208436（只）（2）每只鸡比每只兔少几只脚？

13、4 22（只）（3）兔有多少只？36 218（只）（4）鸡有多少只？4218 24（只）答： 鸡有 24 只,兔有 18 只；也可以假设42 只都是兔,那么共有脚4 42 只脚,这个脚数比已知的120 只脚多（ 442 120）只；又由于每只兔比每只鸡多（42）只脚,而每把一只鸡当作一只兔,脚数就名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多算了（ 42）只脚,一共多算（有多少只；鸡有多少只？4 42120）只脚,就可以先求出鸡有多少只,再求出兔（ 4 42120） （ 4 2）=（168120） 2=48 2=24（只）兔有

14、多少只？4224=18（只）两种方法的结果完全一样；鸡兔同笼问题的解答方法比较特别：假如假设都是A 量（如鸡的只数） ,经过分析调整就可以算出B 量（兔的只数） ；假如假设都是B 量（如兔的只数） ,经过分析调整就可以先算出 A 量（鸡的只数） ；同时,也可以看出,用假设法在进行分析解答时,关键是通过两个相对应的差来求未知数的；一个是在假设前提下所形成的脚的数量的差,一个是每只鸡与每只兔的脚的只数的差；用鸡兔同笼问题的解题思路和方法仍可以解答一些相像的数学问题；例 2 现有 10 元面值和 5 元面值的人民币共52 张,总共是360 元； 10 元面值和 5 元面值的人民币各有多少张？分析：假

15、设 52 张都是 10 元面值的人民币,那么总数是 10 52 元；比 360 元多（ 1052 360）元,每把一张面值 5 元的人民币当作 10 元运算,就多算出（105）元,先多算了（ 10 52360）元,就可以先算出5 元面值的人民币有多少张；解（ 1） 5 元面值的人民币有多少张？（ 10 52360） （ 105）=（520360） 5=160 5=32（张）（2）10 元面值的人民币有多少张？5232=20（张）例 3 学校组织同学参与“ 华罗庚杯数学奥林匹克竞赛”,每人要做 20 道题,每做对一题得 5 分；每做错一题或不做要倒扣 3 分,王晓明最终得分是 68 分,他做对了

16、多少道题？分析：假设王晓明 20 道题都做对了,他应得 100 分,而实际只得 68 分,相差（ 10068）分,每把做对的一题当作做错的题运算,就相差（道题,再算出做对了几道题；解（ 1）做错了多少道题？53）分；因此可以先求出做错了几（ 100 68） （ 53） =32 8=4（道）（2）做对了多少道题？204=16（道）答：他做对了 16 道题 问题 40：仍原问题在学校数学解题过程中,有时会遇到一种数学问题,解答时往往从已知条件的最终结果动身,依据已知条件的变化次序,一步一步地倒着分析和推理,直到求出问题的答案为止；这种问题就是仍原问题,解答仍原问题的方法就叫做仍原法（或逆推法）；1

17、0；原先这个数例 1. 把一个数加上10,乘 10,减去 10,再除以10,最终的结果仍是是多少 . 分析： 要求这个数,就必需从最终结果10 开头摸索；由于减法是加法的逆运算,除法名师归纳总结 是乘法的逆运算,从逆运算的关系着手进行逆推：10 是由“ 除以10” 得到的,因而可得10第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10；而 10 10 是由“ 减去 10” 得到的,因而可得10 1010；又由于（ 10 1010）是由“ 乘 10” 得到的,因而可得（10 1010） 10；再由于（ 10 1010） 10 是由“ 加上 10

18、” 得到的,所以,要求的数是：（10 1010） 1010；解： 从最终的结果 10 开头逆推,就可以求出原先这个数是多少；（10 10 10） 1010（ 100 10） 1010110 10101110 1 答： 原先这个数是 1；例 2. 货场有一批化肥；第一次运走总数的一半少 20 吨,其次次运走剩下的一半多 30吨,货场仍剩化肥 60 吨；货场原先有化肥多少吨？分析： 从货场仍剩化肥 60 吨开头逆推：由于“ 其次次运走剩下的一半多 30 吨” ,因此,在其次次运走前有化肥： （ 6030） 2 吨；又由于这些化肥是“ 第一次运走总数的一半少20 吨” ,那么化肥的总吨数是（6030

19、） 220 2；可以画出线段图帮忙懂得；总数的一半仍剩 60 吨少20吨剩下的一半 多30 吨货场原先有化肥多少吨？解： 从货场仍剩化肥 60 吨开头逆推,货场原先有化肥：（6030） 220 290 220 2 18020 2160 2320（吨）答： 货场原先有化肥 320 吨；要留意,对问题中的“ 少20 吨” 的懂得,这是对于“ 第一次运走的化肥重量” 而言的,实际上是指第一次运走一些化肥后,剩余的化肥是总数的一半多 20 吨,因此用逆推的方法进行分析时,就要用减法运算；同样的道理,要留意对问题中“ 多20 吨” 的懂得；例 3 机床厂有三个车间一共有工人 108 人；现依据技术需要,

20、对三个车间的工人进行一些调整： 把一车间的 4 个工人调到三车间；把二车间的 8 个工人调到一车间；把三车间的5 个工人调到二车间；这时每个车间的人数相等；三个车间原先各有工人多少人？分析： 三个车间原先一共有工人108 人,经过调整后,每个车间的人数相等,并且总人数不变,因此调整后每个车间的人数都是 108 3（人）；以调整后每个车间人数 工人多少人；108 3（人）为结果开头逆推,就可以求出三个车间原先各有解：（1）一车间原先有工人多少人？108 348=32（人）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）二车间原

21、先有工人多少人？108 3 85=39（人）（3）三车间原先有工人多少人？108 3 54=37（人）问题 41：盈亏问题在物品的个数和人数给定的条件下,按人数平均安排物品,两次安排方法, 显现一次物品多出（盈）如干,另一次物品缺少（亏）如干的情形,要求物品有多少、人有多少的问题 就叫做盈亏问题；盈亏问题的解答关键是找到题目中的两个差,依据两个差相对应的关系,就可以先求出人数,再求出物品的个数；盈亏问题就是我国九章算术中所表达的盈不足问题,作为一个争论专题,我们将在第八章中仍要进行一些必要的争论；争论；这里我们主要从盈亏问题的解题思路和方法的角度进行例 1. 给小伴侣分水果糖；假如每人分 4

22、块水果糖,那么就多出 8 块水果糖；假如每人分 6 块水果糖,那么就少 10 块水果糖；小伴侣有多少个？水果糖有多少块？分析：在这个数学问题中, 人数和水果糖的块数都是肯定的；按人数把水果糖平均安排,显现两种情形： 第一次安排 “ 每人分 4 块水果糖, 那么就多出 8 块水果糖” ；其次次安排 “ 每人分 6 块水果糖,那么就少 10 块水果糖” ；两次安排情形相差（810）块水果糖,显现相差数的缘由是：第一次每人分 4 块水果糖,而其次次每人分 6 块水果糖,相差（64）块；我们可以想象,假如其中有一个人分得 6 块,那么只能相差 2 块,既（ 64）块；现在相差了（ 810）块水果糖,应

23、当有多少人？用除法就可以运算出来；解：（1）小伴侣有多少人？（8 10） （ 64） 18 29（人）（2）水果糖有多少个？4 9836844（块）或 6 9 1044（块）答： 小伴侣有 9 人,水果糖有 44 块；在这道盈亏问题中, “ 多出 8 块水果糖” 就是盈数,而“ 少10 块水果糖” 就是亏数；这是一道典型的“ 盈亏问题”,运算两次安排情形的相差数是用加法“8 10” 进行运算的；如果是显现两次是“ 盈数” 或两次“ 亏数”,那么在运算两次安排情形的相差数时,就要用减法进行运算；由例 25 改编成的下面两道盈亏问题,大家可以试一试,怎样解答？给小伴侣分水果糖；假如每人分 4 块水

24、果糖,那么就多出 8 块水果糖；假如每人分 6块水果糖,那么就多 2 块水果糖；小伴侣有多少个？水果糖有多少块？给小伴侣分水果糖；假如每人分 4 块水果糖,那么就少 2 块水果糖；假如每人分 6块水果糖,那么就少 10 块水果糖；小伴侣有多少个？水果糖有多少块？在盈亏问题中, 仍有一种情形, 就是在两次的安排中,有一次是正好安排完,解题方法与上面的问题有一些不同；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 给小伴侣分水果糖；假如每人分4 块,那么就多出8 块；假如每人分6 块,那么正好分完；小伴侣有多少人？水果糖有多少

25、块？分析：人数和水果糖的块数不变；按人数把水果糖平均安排,第一次安排“ 每人分 4块,那么就多出 8 块” ；其次次安排“ 每人分 6 块,那么正好分完”；两次安排的总相差数就是 8 块,由于每人两次分得数的相差数是（解：（1）小伴侣有多少人？8 （ 64）=8 2=4（人）（2）水果糖有多少块？64）块,用除法可以先算出有多少小伴侣；4 48=16 8=24（块）或 6 4=24（块）答： 小伴侣有 4 人,水果糖有 24 块；例 3 学校给外来务工人员分苹果和梨；苹果的个数是梨的 2 倍；假如每人分 4 个梨就多出 5 个梨；假如每人分 10 个苹果就少 2 个苹果；外来务工人员有多少人？

26、苹果和梨分别有多少个？分析：这道题中有两种物品,按人数平均安排,条件也是两次安排显现盈与亏的情形；但是, 与前面的盈亏问题不同的是：两次安排的不是同一种物品；但这两种物品的个数有联系：苹果的个数是梨的 2 倍；我们抓住这个关系,把问题进行转化；依据题目“ 苹果的个数是梨的2 倍” 的条件,把两种物品的安排转化成一种物品的安排；由于对梨的安排情形是“ 每人分 4 个梨就多出5 个” ,可以转化成 “ 每人分4 2 个苹果就多出 5 2 个” ；这样问题就转化成按人数平均安排一种 解：（1）外来务工人员有多少人？“ 苹果” ,显现与前面相同的盈亏问题；（25 2） （ 104 2） =12 2=6

27、（人）（2）苹果有多少个？10 62=58（个）（3）梨有多少个？4 65=29（个）答：外来务工人员有6 人,苹果有58 个,梨有 29 个；解答这道应用题的关键是把两种物品的安排转化为一种物品的安排问题；这个问题也可以把它转化为两次都安排梨来进行摸索：由于“ 苹果的个数是梨的 2 倍” ,因此把 “ 每人分 10 个苹果就少 2 个苹果”的条件转化为 “ 每人分 10 2 个梨就少 2 2 个” ；这样问题就转化为按人数平均安排一种“ 梨”显现的盈亏情； 先求出人数, 再用同样的方法求出苹果和梨的个数；求外来务工人员的人数的运算式子为：（52 2） （ 10 2 4）=6 1=6（人）名师

28、归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 习题九1、两列火车,一列长160 米每秒钟行20 米；另一列长120 米,每秒钟行15 米；两列火车在平行的两道上相向而行,从车头相遇到车尾离开,共需要多少秒钟？2、一列火车通过一座 560 米的大桥需要 40 秒钟,以同样速度速度行驶,穿过一条长380 米的隧道需要 30 秒钟；这列火车的速度和车身长各是多少？3、学校在一个花园的周边每隔 3 米种柳树一棵, 一共种了 75 棵树； 花园的周长是多少米？4、一条新修的大路长4500 米,方案在大路两旁植树,每边上每隔9 米种植一棵松树,

29、在两棵相邻的松树之间有每隔3 米种植一棵槐树； 一共需要种植多少棵松树？多少棵槐树？5、学校有 44 间宿舍,一共住了300 个同学；每间大宿舍住8 人,每间小宿舍住6 人；大宿舍、小宿舍各有多少间？6、鸡兔同笼,共有68 个头, 192 只脚；笼中鸡兔各有多少只？5 千米；假如这艘轮船7、一艘轮船顺水航行315 千米要用 7 小时,水的流速是每小时逆水航行到原地,需要多少小时？8、甲乙两艘轮船航行于 A、B 两个码头之间,两个码头之间的水路全长 270 千米；甲轮船在静水中的速度是每小时 24 千米,乙轮船在静水中的速度是每小时 30 千米,水流速度是每小时 6 千米；假如甲轮船从 A 码头动身,顺流而下；同时乙轮船从 B 码头动身,逆水而上,几小时后两轮船在途中相遇？9、有一个数,把它乘3 加 4,再把所得的和除以5,最终再减去6,结果是 14；原先这个数是多少？名师归纳总结 10、学校为新生安排宿舍,假如每间住6 人,就有 24 人没有住处；假如每间宿舍住8第 9 页,共 9 页人,仍空出2 间宿舍；这间学校有多少间宿舍？有多少新生？- - - - - - -