2022年勾股定理全章知识点归纳总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 勾股定理全章学问点归纳总结一基础学问点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、 b 的平方和等于斜边c 的平方；（即： a 2+b2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,要应用：是直角三角形的重要性质之一,其主b（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中,C90,就ca22 b ,c2a2,ac2b2）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理假如三角形的三边长：a、b、c,就有关系 a2+b2c 2,那么这个三角形是直角三角形；要点诠释：

2、勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时应留意：（1）第一确定最大边,不妨设最长边长为：c；2,就 ABC 是以 C为直角的（2）验证 c2与 a 2+b2 是否具有相等关系,如c 2a 2+b直角三角形（如 c 2a 2+b2,就 ABC是以 C为钝角的钝角三角形；如c2a 2+b2,就 ABC为锐角三角形）；（定理中 a , b, c 及a2c2b22 c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长 a , b , c 满意a22 b ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但

3、是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 区分：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定DC理；AEFHGB联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三bca角形有关；4：互逆命题的概念 假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做 互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题；规律方法指导 1勾股定理的证明实际采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的；2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系

4、,可以用于解决求解直角三角形边 边关系的题目；3勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个学问在应用过程中 易犯的主要错误；4. 勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a,b, c 有以下关系： a 2+b2c 2,.那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方 法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运 算,通过学习加深对“数形结合 ”的懂得我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那 么另一个叫做它的逆命题；（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方

5、法许多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变 依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下：名师归纳总结 方法一： 4 SS 正方形EFGHS 正方形 ABCD,41abba22 c ,化简可证第 2 页,共 8 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为所以a2b2c2abcccaCbS41abc22abc22大正方形面积为Sab 2a22 abb2

6、bcbaaDH方法三：S 梯形1 2ab ab,S 梯形2SADESABE21ab1c2,化ABEFcGBba22AaD简得证ccb6：勾股数Ea 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即bCa2b22 c 中, a, b , c 为正整数时,称a , b , c 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等 用含字母的代数式表示n 组勾股数：n22 1,2 , n n1（n2,n 为C 正整数）；（2n1,2n22 ,2n22n1（ n 为正整数）m2n2,2mn m2n2BDAmn m , n 为正整数

7、）二、 经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理名师归纳总结 例 .在ABC 中,C902 a2 bc2第 3 页,共 8 页已知AC6,BC8求 AB 的长已知AB17,AC15,求 BC 的长分析：直接应用勾股定理解：ABAC2BC210- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BCAB2AC28题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 假如梯子的底端离建筑物 少米？9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多解析： 这是一道大家熟知的典型的“ 知二求一” 的题；把实物模型转化为数学模型后,. 已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利

8、用勾股定理！依据勾股定理 AC 2+BC 2=AB 2, 即 AC 2+9 2=15 2, 所以 AC 2=144, 所以 AC=12. 例题 2 如图（ 8）,水池中离岸边 D点 1.5 米的 C处,直立长着一根芦苇,出水部分 BC的长是 0.5 米,把芦苇拉到岸边, 它的顶端 B恰好落到 D点,并求水池的深度 AC.解析： 同例题 1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2. 由题意可知ACD中, ACD=90 , 在 Rt ACD中,只知道 CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“ 知二求一”的类型；标准解题步骤如下（仅供参考）：名师归纳总结 解： 如图 2,依据勾股定理,AC 2+CD

9、 2=AD第 4 页,共 8 页设水深 AC= x 米,那么 AD=AB=AC+CB= x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5 ）2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解之得 x=2. 故水深为 2 米. 题型三 ：勾股定理和逆定理并用例题 3 如图 3,正方形 ABCD中,E是 BC边上的中点,F 是 AB上一点,且FB1AB4那么 DEF是直角三角形吗？为什么？解析： 这道题把许多条件都隐匿了,乍一看有点摸不着头脑；认真读题会意可以发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由FB1AB可以设 AB=4a,那4么 BE=CE=2a,AF=3 a

10、,BF= a, 那么在 Rt AFD 、Rt BEF和 Rt CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF和 DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判定DEF是否是直角三角形；具体解题步骤如下：解： 设正方形 ABCD的边长为 4a, 就 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a 在 Rt CDE中, DE 2=CD 2+CE 2=4 a2+2 a2=20 a2 同理 EF 2=5a2, DF2=25a2 在 DEF中, EF 2+ DE 2=5a2+ 20a2=25a2=DF 2 DEF是直角三角形,且DEF=90 . 注：此题利用了四次勾股定理,是把握勾股定理的必练习题；题型四 ：利用勾股定

11、理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点 E,将 ADE折叠使点 D恰好落在 BC边上的点 F,求 CE的长 .名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 解题之前先弄清晰折叠中的不变量；合理设元是关键；具体解题过程如下：解： 依据题意得 Rt ADERt AEF AFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,就 DE=EF=CDCE=8x 在 Rt ABF中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2,即 8 2+BF 2=10 2, BF

12、=6cm CF=BCBF=106=4cm 在 Rt ECF中由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2,即 8 x 2=x2+4 2 6416x+x 2=2+16 x=3cm, 即 CE=3 cm 注：此题接下来仍可以折痕的长度和求重叠部分的面积；题型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面 AD边是否垂直与 AB边和 CD边,他测得 AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与 CD边是否垂直？解析： 由于实物一般比较大,长度不简单用直尺来便利测量；我们名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共

13、 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 通常截取部分长度来验证；如图4,矩形 ABCD表示桌面外形,在AB上截取 AM=12cm,在AD上截取 AN=9cm想想为什么要设为这两个长度？ ,连结 MN,测量 MN的长度；假如 MN=15,就 AM 2+AN 2=MN 2, 所以 AD边与 AB边垂直；2+12 2a2,所以 A 不是直假如 MN=a 15, 就 92+12 2=81+144=225, a2 225, 即 9角；利用勾股定懂得决实际问题例题 6 有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离地高 4.5米的墙上,任何东西只要移至5 米以内,灯就自动打开,一个身高 1.5

14、米的同学,要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析： 第一要弄清晰人走过去,是头先距离灯 5 米仍是脚先距离灯 5 米,可想而知应当是头先距离灯5 米；转化为数学模型,如图 6 所示, A点表示掌握灯, BM表示人的高度, BC MN,BC AN当头（ B点）距离 A有 5 米时,求 BC的长度；已知 AN=4.5 米, 所以 AC=3米,由勾股定理,可运算 BC=4米.即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开；题型六 ：旋转问题：例 1、如图,ABC 是直角三角形, BC 是斜边,将ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与ACP 重合,如 AP=3,求 PP 的长；变式 1：如图, P 是等边三角形A

15、BC内一点, PA=2,PB=2 3 ,PC=4, 求 ABC的边长 . 分析：利用旋转变换, 将 BPA绕点 B逆时针挑选 60 ,将三条线段集中到同一个三角形中,依据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形 . 变式 2、如图,ABC为等腰直角三角形,BAC=90 , E、F是BC上的点,且 EAF=45 ,名师归纳总结 摸索究BE2、CF2、EF2间的关系,并说明理由. 第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型七 ：关于翻折问题例1、如图,矩形纸片ABCD 的边 AB=10cm ,BC=6cm,E 为 BC 上一点,将

16、矩形纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处,求 BE 的长 . 变式：如图, AD 是 ABC 的中线, ADC=45 ,把ADC 沿直线 AD 翻折,点 C 落在点 C的：位置, BC=4,求 BC的长 . 题型八 ：关于勾股定理在实际中的应用例 1、如图, 大路 MN 和大路 PQ 在 P 点处交汇,点 A 处有一所中学, AP=160 米,点 A 到大路 MN 的距离为 80 米,假使拖拉机行驶时,四周100 米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在大路MN上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由；假如受到影响,已知拖拉机的速度是题型九 ：关于最短性问题18

17、 千米 / 小时,那么学校受到影响的时间为多少？例 5、如右图 119,壁虎在一座底面半径为 2 米,高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处,它发觉在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫,便打算捕获这只害虫,为了不引起害虫的留意,它有意不走直线,而是围着油罐,沿一条 螺旋路线,从背后对害虫进行突然突击结果,壁虎的偷袭得到胜利,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫.（ 取 3.14 ,结果保名师归纳总结 - - - - - - -留 1 位小数,可以用运算器运算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体,把全部面都分为9 个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,就它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面第 8 页,共 8 页