2022年2022年考研数学真题及参考答案 .pdf

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1、天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 1 页 共 11 页2010考研数学（二）真题及参考答案一、选择题（1）函数22221()11xxfxxx的无穷间断点是（）AB. C. D. （2）设12,yy是一阶线性齐次微分方程()()yp x yqx的两个特解， 若常数,使12yy是该方程对应的齐次方程的解，则（A）A.11,22B. 11,22C. 21,33D. 22,33【详解】：由题意知1122( )( )(1)( )()(2)yp

2、 x yq xyp x yq x1212( 1 )( 2 )()()()yypxyyqx得 ： (11212(1)(2)()()()yypxyyq x得 ： (0综上12。（3）曲线2yx与曲线ln(0)yax a相切，则 a（C）A. 4e B. 3e C. 2e D.e 【详解】：22lnaxxaxx，可得，22ax，由2lnxax，可得，12xe，2ae（4） 、设,m n是正整数，则反常积分210ln (1)mnxdxx的收敛性 ( D ) (A)仅与 m 的取值有关(B)仅与 n 有关(C)与,m n都有关(D)都无关【详解】：显然0,1xx是两个瑕点，有22211121002ln(

3、1)ln (1)ln(1)mmmnnnxxxdxdxdxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 2 页 共 11 页对 于2120l n( 1)mnxdxx的 瑕 点0 x， 当0 x时212ln(1)ln(1)mmn

4、nxx xx等 价 于221( 1)mmnx，而21120mnxdx收敛（因,m n是正整数211mn） ，故2120ln (1)mnxdxx收敛；对于2112ln(1)mnxdxx的瑕点1x，当1(1,1)(0)2x时12122ln(1)2ln(1)2 (1)mnmnmnxxxx，而2112(1)mxdx显然收敛，故2112ln(1)mnxdxx收敛。所以选择D. （5）设函数(,)z xy，由方程(,)0yzFxx确定，其中F 为可微函数，且20F,则zzxyxy（B）A. xB. zC. xD.z【详解】： 等式两边求全微分得：121212()()()0 xxyyzzF uF vdxF

5、uF vdyF uF vdz，所以有，1212xxzzF uF vzxF uF v，1212yyzzF uF vzyF uF v，其中，2xyux，1yux，0zu，2xzvx，0yv，1zvx，代入即可。(6) 1122102200(ln)(ln)()()22(1)enmenIxdxxdxdsrrde de（D）A12001(1)(1)xdxdyxyB. 1001(1)(1)xdxdyxyC. 11001(1)(1)dxdyxyD. 112001(1)(1)dxdyxy【详解】：22211111111limlim()()(1)(1() )nnnnxnijijnijninjnnnn112001

6、(1)(1)dxdyxy(7) 设向量组12:,rI可由向量组12:,SII线性表示。下列命题正确的是（A）A若向量组I 线性无关，则rsB.若向量组 I 线性相关，则rsC 若向量组II 线性无关，则rsD . 若向量组 II 线性相关，则rs名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/

7、天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 3 页 共 11 页【详解】：设),(),(2121srBA由题设知向量组12:,rI可由向量组12:,SII线性表示，即rsBKA（其中K为系数矩阵）令0Ax（其中Trxxx,21）,即在rsBKA等号两侧同乘以x若向量组线性无关，则只有零解只有零解00)(xBKAxrARrs（利用反证法）若sr，有0)(BKxrsKR有非零解，与之相矛盾，所以sr，所以正确答案为)( A。(8) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且20AA若 A 的秩为 3，则 A 相似于（D）A1110B. 1110C. 1110D. 1110【详解】：设 A

8、的特征值为r,因为 A2+A=0，所以 2+=0即100)1(或又3R(A)，A 必可相似对角化，对角阵的秩也是3. 11110A是 三 重 特 征 根所以正确答案为（D）二、填空题（9） 3 阶常系数线性齐次微分方程220yyyy的通解为y2123cossinxC eCxCx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，8976

9、1570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 4 页 共 11 页【详解】：解特征方程，32220，特征值为，1，i，于是基础解系为：2 xe， cos x ，sin x，线性组合可得通解。（10） 曲线3221xyx的渐近线方程2yx【详解】：首先定义域是全体实数，股不存在垂直渐近线；其次，limxy，所以不存在水平渐近线。最后，lim2xyx，而lim (2)0 xyx，故斜渐近线为2yx。（11）函数ln(12)yx在0 x处的 n 阶导数()(0)ny21 !nn【详解】：由泰勒展开可得：231(1)ln(1)23nntttttn，令2t

10、x代入可得：1()(1)( 2 )(0)!nnnnxyxnn，比较系数可得答案。（12）当0时，对数螺旋re的弧长为21e【详解】：由弧长公式：2200()( )22 (1)dsrrde de（ 13 ） 已 知 一 个 长 方 形 的 长l以2/cms的 速 率 增 加 ， 宽 w 以3/cms的 速 率 增 加 。 则 当12,5lcmwcm时，它的对角线增加速率为3/cms【详解】：对对角线求导数：2222dlwllwwdtlw，代入数据即可。（14） 、设 A、B为 3 阶方阵，且13,2,2,ABAB，则1AB3 【详解】：1111()()ABBBAEBBAAA33221)(1)()

11、(11111AABBAABBAABB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 5 页 共 11 页三、简答题。（15） （本题满分10 分）求函数221()()xtfxxt edt的单调区间与极值。【 详解】 ：由21( )2

12、0 xtfxxe dt，可得，0 x，1判断在区间，1, 0 ，(1,)，()0fx，函数单增在区间，,1 ，(0,1)，()0fx，函数单减。极小值：110ff极大值为2(0)1fe单增区间1,0 , 1,单减区间,1 , 0,1（16） 、（）比较10lnln(1)nttdt与10ln,1,2,nt t dt n的大小，说明理由（）设10lnln(1)(1,2,)nnMttdt n，求极限limnnM【详解】：1100lnln(1)ln(1,2,)nnttdttt dt n10limlnln(1)0nnttdt（17） （本题满分11 分）设函数()yfx由参数方程22,(1)( )xtt

13、tyt所确定，其中( ) t具有 2 阶导数，且5(1)2，(1)6,已知223,4(1)d ydxt求函数( ) t。解答：233( )2ttt【详解】：( )( )( )22dyyttdxxtt，223( )(22 )2( )3(22 )4(1)dytttdxtt得到二阶微分方程：13(1)1tt，所以1(1)(3)ttc由(1)6，得到10c，所以( )3 (1)ttt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津

14、考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 6 页 共 11 页又因为5(1)2，所以323( )2ttt（18） （本题满分10 分）一个高为1 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为32b 时（如图），计算油的质量。 （长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数3/kgm）【详解】：23ablkg（19） （本题满分11 分）设函数(,)fxy具有二阶连续偏导数，且满足等式22222412

15、50 xx yy，确定 a，b 的值，使等式在变换,xayxby下化简为20【详解】：xyxy，()()()0 x xx yy xy yx xx yy yxyxxyyxxxyxyyy坐标变换可得，baxba，yba，所以，bxba，axba，1yba，1yba代入上式，并对比2222241250 xx yy，比较系数可得125ab，45ab所以答案为225ab或252ab（20） （本题满分10 分）计算二重积分22sin1cos,DIrrdrd其中,0sec,04Drr【详解】：将极坐标转化为直角坐标可得积分区域为,01,0Dxyxyx所以122001132xDIyx dxdyx dxydy

16、（21） （本题满分10 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 7 页 共 11 页设函数()fx在闭区间 0 ,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且100,1.3ff证明：存在110,1,22使得22()().ff

17、【详解】：令31( )( )3F xfxx ，(1)(0)0FF11,1,0, . .221112212210122122s tFFFFFFFF即22( )( )0FFff即22()()ff（22） （本题满分11 分）设110101111aAb已知线性方程组Axb存在 2 个不同的解，（）求，a；（）求方程组的Axb通解。解答：（）1 2a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站

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19、)()(ARAR对应齐次线性方程组0Ax的基础解系含1 个解向量，即101名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 9 页 共 11 页bAx的一个特解为12125bAx的通解为12125101k（其中k为任意常数） 。（23

20、） （本题满分11 分）设0141340Aaa，正交矩阵Q使得TQAQ为正交矩阵，若Q的第一列为11261T， 求 a ，Q. 解答：1a，11162321063111623Q【详解】：设1112611名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区

21、考研门户网站！第 10 页 共 11 页由11A得1111111122,22661111AA即111120142521134204aaaa所以11122542aa121a则40413141141314113rrAE5,4,20)5) ( (2) ( (4(3214)4(40013241432131cc当42时，414414171414171414421rrAE000027017123124rrrr其等价方程组为027072321xxxx由此得其基础解系含有1 个解向量，即1012名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

22、师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 天津考研网（）- 天津地区考研门户网站！724 全天候客服热线：86-22-89761734 ，89761570，网址： http:/ 天津考研网， 考研快乐主义倡导者！ 天津地区考研门户网站！第 11 页 共 11 页当53时，990990121514415121514121415512132154rrrrrrAE00000012100099012122391rrr其等价方程组为00232321xxxxx由此得其基础解系含有一个解向量，即1113把21,单位化得：11131,1012132所以11162321063111623Q（答案仅供参考，最终以教育部标准答案为准）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -