2022年北师大版高一数学教案高一数学必修第二章解三角形教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 解三角形课标要求 : 本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最终落实在解三角形的应用上；标：通过本章学习, 同学应当达到以下学习目（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理、 余弦定理,并能解决一些简洁的三角形度量问题；（2）能够娴熟运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几 何运算有关的生活实际问题；编写意图与特色1数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于同学加深数学学问的懂得和把握；本章重视与内容亲密相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、摸

2、索解决问题的策略等方面对同学进行详细示范、引导；本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理, 它们都是关于三角形的边角关系的结论；在中学, 同学已经学习了相关边角关系的定性的学问,就是“ 在任意三角形中有大边对大角,小边对小角” ,“ 假如已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等 , 那么这两个三角形全” 等；教科书在引入正弦定理内容时,让同学从已有的几何学问动身,提出探究性问题：“ 在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系 . 我们是否能得到这个边、角的关系精确量化的表示呢 .”,在引入余弦定理内容时, 提出探究性问题“ 假如已知三角形的两条边及其所夹的角, 依据三角形全等的判定方

3、法,这个三角形是大小、外形完全确定的三角形 . 我们仍旧从量化的角度来争论这个问题,也就是争论如何从已知的两边和它们的夹角运算出三角形的另一边和两个角的 问题；” 设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学；2留意加强前后学问的联系 加强与前后各章教学内容的联系,留意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好预备, 能使整套教科书成为一个有机整体,于同学对于数学学问的学习和巩固；提高教学效益, 并有利本章内容处理三角形中的边角关系,与中学学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角相等判定三角形全等的学问有着亲密联系；教科书在引入正弦定理内容时, 让同学从已有的几何学问动身,提出探究

4、性问题 “ 在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系 . 我们是否能得到这个边、角的关系精确量化的表示呢 .”,在引入余弦定理内容时, 提出探究性问题 “ 假如已知三角形的两条边及其所夹的角, 依据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、外形完全确定的三角形 . 我们仍旧从量化的角度来争论这个问题,也就是争论如何从已知的两边和它们的夹角运算出三角形的另一边和两个角的问题；” 这样,从联系的观点,从新的角度看过去的问题, 使同学对于过去的学问有了新的熟识,同时使新学问建立在已有学问的坚实基础上,形成良好的学问结构；课程标准和教科书把“ 解三角形” 这部分内容支配在数学五的第一部分 内容,

5、位置相对靠后,在此内容之前同学已经学习了三角函数、平面对量、直线和圆的方程等与本章学问联系亲密的内容,这使这部分内容的处理有了比较多的名师归纳总结 工具,某些内容可以处理得更加简洁；比如对于余弦定理的证明, 常用的方法是第 1 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 借助于三角的方法, 需要对于三角形进行争论, 方法不够简洁, 教科书就用了向 量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力；在证明白余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个摸索问题 “ 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦 定理就指出了一般

6、三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关 系？” ,并进而指出,“ 从余弦定理以及余弦函数的性质可知,假如一个三角形两 边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角； 假如小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角；假如大于第三边的平方, 那么第三边所对的角是锐角 . 从上可知,余弦定理是勾股定理的推广 . ”3重视加强意识和数学实践才能学数学的最终目的是应用数学,而如今比较突出的两个问题是,同学应用数学的意识不强, 制造才能较弱； 同学往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的数学学问应用到实际问题中去,对所学数学学问的实际背景明白不多,虽然同学气械地仿照一些常见数

7、学问题解法的才能较强,但当面临一种新的问题时却方法不多,对于诸如观看、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发觉问题、解决问题的科学思维方法明白不够；针对这些实际情形, 本章重视从实际问题动身,引入数学课题,最终把数学学问应用于实际问题；教学内容及课时支配建议 1.1 正弦定理和余弦定理（约 3 课时）1.2 应用举例（约 4 课时） 1.3实习作业（约 1 课时）评判建议 1要在本章的教学中,应当依据教学实际,启示同学不断提出问题,争论问题；在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中,应当因势利导, 依据具体教学过程中同学摸索问题的方一直启示同学得到自己对于定理的证明；如对于正弦定理, 可以启

8、示得到有应用向量方法的证明,对于余弦定理就可以启示得到三角方法和解析的方法； 在应用两个定懂得决有关的解三角形和测量问题的过程中,一个问题也经常有多种不同的解决方案,并对于不同的方法进行必要的分析和比较；应当勉励同学提出自己的解决方法,对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励同学设计应用的程序,得到在实际中可以直接应用的算法；2适当支配一些实习作业,目的是让同学进一步巩固所学的学问,提高学 生分析问题的解决实际问题的才能、 动手操作的才能以及用数学语言表达实习过 程和实习结果才能, 增强同学应用数学的意识和数学实践才能；老师要留意对于 同学实习作业的指导, 包括对于实际测量问题的挑选, 准时订正实际

9、操作中的错 误,解决测量中显现的一些问题；11 正弦定理（一）教学目标 1学问与技能 : 通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形的两类基本问题；2. 过程与方法 : 让同学从已有的几何学问动身, 共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系, 引导同学通过观看, 推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作；3情态与价值： 培育同学在方程思想指导下处懂得三角形问题的运算才能；培名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 养同学合情推

10、理探究数学规律的数学思思想才能,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一；教学重点 ：正弦定理的探究和证明及其基本应用；教学难点 ：已知两边和其中一边的对角解三角形时判定解的个数；学法： 引导同学第一从直角三角形中揭示边角关系：aAbBcC,接着sinsinsin就一般斜三角形进行探究, 发觉也有这一关系； 分别利用传统证法和向量证法对 正弦定理进行推导,让同学发觉向量学问的简捷,新奇；教学设想 创设情形 如图 11-1 ,固定ABC的边 CB 及B,使边AC 围着顶点C 转动；A 摸索：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？明显,边

11、AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大；能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C 图 11-1 探究争论 在中学,我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,角与边的等式关系；如图 11-2 ,在 Rt ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 依据锐角三角函数中正弦函数的定义,有c a sin A,bc sin B,又 sin C 1 cc, A a 就 sinAbccbBc b c sinBsinC从而在直角三角形a ABC中, sinAC C a B sinsin 图 11-2 摸索：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍旧成立？（由同学争论、分析）可分为锐角

12、三角形和钝角三角形两种情形：如图 11-3 ,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是 CD,依据任意角三角函数的定义,有CD= sinBbsinA, 就aAb sinB,sin C c b同理可得 sin C sin B, b a 从而 a b csin A sin B sin CA c B 图 11-3 摸索：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来争论这个问题；（证法二）：过点 A 作 j AC, C 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由向量的加法可得ABAC CB就jABjAC

13、 CB A B j ABcos 900 jABjAC jCBjA0j CBcos 900C sinAasina C ,即 sinAcsinC同理,过点 C作 j 从而 类似可推出,当BC ,可得bBcsinsinCabcsinAsinBsinCABC是钝角三角形时,以上关系式仍旧成立；（由同学课后自己推导）从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即aAbBcCsinsinsin 懂得定理 : （1）正弦定理 说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使aksinA,bksinB ,cksinC ；a（2） si

14、nAbBca C等价于sinAb sinc B,sinCb sina B,sinAcsinsinsinC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如absinA B；sin已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值；一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作 解三角形 ； 例题分析 : 例 1在 ABC 中,已知 A 32.0 0,B 81.8 0,a 42.9 cm,解三角形；解：依据三角形内角和定理,C 180 0 A B 180 032.0 081.8 0 66.2 ；0依据正弦定理,b asin sinA B 42.9sin81.

15、8sin32.0 0 80.1 cm ；0依据正弦定理,c asin sinA C 42.9sin66.2sin32.0 0 74.1 cm .评述：对于解三角形中的复杂运算可使用运算器；例 2在 ABC 中,已知 a 20 cm,b 28 cm,A 40 0,解三角形（角度精确到 1 ,边长精确到 1cm）；名师归纳总结 解：依据正弦定理,sinBbsinA28sin4000.8999.asinC20sin76 0 sin40030 cm .第 4 页,共 26 页a20由于0 B 180 ,所以B640,或B0 116 . 当B640时,C1800AB 18000 400 64 760,c

16、sinA 当B1160时,C1800AB 18004000 116 240,casinC013 cm .20sin24sinAsin400- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 评述：应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形； 随堂练习 第 47 页练习 1、2 题；例 3已知 ABC中,A 60 ,a 3 , 求 a b csin A sin B sin C分析：可通过设一参数 kk0 使 sin aA sin bB sin cC k , a b c a b c证明出 sin A sin B sin C sin A sin B sin C

17、解：设 sin aA sin bB sin cC k k o 就有 a k sin A,b k sin B ,c k sin C从而sin A asin bB csin C= k sinsin AA ksin sinB Bsin k sinC C =k又 sin aA sin60 30 2 k ,所以 sin A asin bB csin C=2 评述：ABC中,等式 sin aA sin bB sin cC sin A asin bB csin C k k 0 恒成立； 补充练习 已知 ABC中, sin A :sin B :sin C 1:2:3,求 a b c （答案： 1：2：3） 课

18、堂小结 （由同学归纳总结）（1）定理的表示形式：a b c a b c k k 0；sin A sin B sin C sin A sin B sin C或 a k sin A,b k sin B ,c k sin C k 0（2）正弦定理的应用范畴：已知两角和任一边,求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角,求另一边的对角；（五）: 课后摸索题： 在a ABC中,sinAbBcCk ko,这个 k 与ABCsinsin有什么关系？作业 ：第 52 页 习题 2.1A 组第 7、4 题；1.2 余弦定理教学目标1学问与技能 : 把握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定

19、懂得决两类基本的解三角形问题；2. 过程与方法 : 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算把握运用余弦定懂得决两类基本的解三角形问题,3情态与价值： 培育同学在方程思想指导下处懂得三角形问题的运算才能；通过三角函数、 余弦定理、 向量的数量积等学问间的关系,联系与辩证统一；教学重点 ：余弦定理的发觉和证明过程及其基本应用；来懂得事物之间的普遍教学难点 ：勾股定理在余弦定理的发觉和证明过程中的作用；学法 ：第一争论把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角运算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较简洁地证明白余弦定理；知三角

20、形的三边确定三角形的角从而利用余弦定理的其次种形式由已名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 教学设想 创设情形 C如图 11-4 ,在ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 C,求边 c b a A c B 探究争论 图 11-4 联系已经学过的学问和方法,可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发觉因A、B 均未知,所以较难求边c；由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来争论这个问题； A 如图 11-5 ,设 CBa ,CA b , AB c ,那么 cab ,就cbc2c cababC

21、a B cos B 图 11-5 a a 2 ab b 2 b2 a b2 a b从而c2a 2b22 ab cos Ca2c22 ac同理可证a2b2c22 bccosAb2余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍；即c22 a2 b2 ab cos Ccos B可以求出第四个a2b2c22 bccosAb2a2c22 ac摸索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量,量,能否由三边求出一角？（由同学推出）从余弦定理,又可得到以下推论：cosAb2c2a2cosBa2c2b2cosCb2a2c22 bc2 ac2 ba 懂得定理

22、 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角；摸索 ：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理就指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系？名师归纳总结 （由同学总结）如ABC中, C= 90 ,就 cos C0,这时2 ca22 b第 6 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例；例题 : 例 1在ABC中,已知a2 3,c62,B600,求 b 及 A 解：2 b2 a

23、c 2 2 cos B2 cos0 45=2 2 3 62 22 2 3 6=12 62 24 3 3 1 = 8 b2 2.求 A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理：2 2 2 2 2 2解法一： cos A b2 cbc a 2 22 2 2 6 6 2 2 2 3 1, 2A 60 . 0解法二： sin A ab sin B2 2 2 3 sin45 , 0又6 2 2.4 1.4 3.8,0 02 3 2 1.8 3.6, a c ,即 0 A90 ,A 60 .评述：解法二应留意确定 A 的取值范畴；例 2在 ABC中,已知 a 134.6 cm,b 87.8 cm ,c 161

24、.7 cm ,解三角形解：由余弦定理的推论得：cosAb22 ca22 87.82 161.7134.620.5543,A0 56 20；2bc2 87.8 161.7cosB2 ca2b2134.62161.722 87.80.8398,B0 32 53；2ca2 134.6 161.7C1800AB 18000 56 200 32 530 90 47. 随堂练习 第 51 页练习第 1、2、3 题； 补充练习 在ABC中,如2 ab2c2bc ,求角 A（答案： A=120 0 ） 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范

25、畴：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角, 求第三边；（五）：作业 ：第 52 页 习题 2.1A 组第 5 题；三角形中的几何运算教学目标1学问与技能 : 把握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；2. 过程与方法 : 通过引导同学分析, 解答三个典型例子, 使同学学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；3. 情态与价值： 通过正、余弦定理, 在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - -

26、- - - 和三角函数的关系,反映了事物之间的必定联系及肯定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系；教学重点 ：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或 无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；教学难点 ：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用；学法 ：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法；教学设想 : 创设情形 : 摸索：在ABC中,已知a22 cm,b25 cm,A0 133,解三角形；从今题的分析我们发觉, 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会显现无解的情形；的问题；下面进一步来争

27、论这种情形下解三角形 探究争论 : 例 1在 ABC中,已知 a b A ,争论三角形解的情形分析：先由 sin B b sina A 可进一步求出 B；就 C 180 0 A B 从而 c a sinA C1当 A 为钝角或直角时,必需 a b 才能有且只有一解；否就无解；2当 A 为锐角时,假如 a b ,那么只有一解；假如 a b ,那么可以分下面三种情形来争论： （1）如 a b sin A,就有两解；（2）如 a b sin A,就只有一解；（3）如 a b sin A,就无解；评述 ：留意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A为锐角且 b sin A a b 时,

28、有两解；其它情形时就只有一解或无解； 随堂练习 10（1）在 ABC中,已知 a 80,b 100,A 45,试判定此三角形的解的情形；（2）在 ABC中,如 a 1,c 12,C 400,就符合题意的 b 的值有 _个；（3）在 ABC中, a xcm,b 2 cm,B 450,假如利用正弦定懂得三角形有两解,求 x 的取值范畴；（答案：（1）有两解；（2）0；（3） 2 x 2 2）例 2在 ABC中,已知 a 7,b 5,c 3,判定 ABC的类型；分析：由余弦定理可知a 2 b 2 c 2 A 是直角 ABC是直角三角形a 2 b 2 c 2 A 是钝角 ABC是钝角三角形a 2 b

29、2 c 2 A 是锐角 ABC是锐角三角形（留意： 是锐角 ABC是锐角三角形）解：7252 3 ,即 a 2 b 2 c ,ABC是钝角三角形； 随堂练习 2名师归纳总结 （1）在ABC中,已知 sinA :sinB:sinC1:2:3,判定ABC的类型；第 8 页,共 26 页（2）已知ABC满意条件acosA bcosB ,判定ABC的类型；（答案：（1）ABC是钝角三角形 ；（2）ABC是等腰或直角三角形）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3在ABC中,A600,b1,面积为3 2,求sinAabBcsinC的值sin分析 ：可利用三角形面

30、积定理S1absinC1acsinB1bcsinA以及正弦定理2222abcabcabcasinAsinBsinCsinAsinBsinC解：由S1bcsinA3得c2,22就a2b2c22 bccosA=3,即a3,从而 sinAsinBsinCsinA 随堂练习 3（1）在ABC中,如a55,b16,且此三角形的面积S220 3,求角 C （2）在ABC中,其三边分别为a、b、c,三角形的面积Sa2b2c2,求角 C 4（答案：（1）60 或120 ；（2）45 ） 课堂小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3

31、）三角形面积定理的应用；（五） 课时作业 :（1）在ABC中,已知b4,c10,B300,试判定此三角形的解的情形；（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数x 的取值范畴；（3）在ABC中,A600,a1,bc2,判定ABC的外形；27 x60的（4）三角形的两边分别为3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程5 x根,求这个三角形的面积；正弦定理、余弦定理的应用教学目的： 1 进一步熟识正、余弦定理内容；2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3 能够利用正、余弦定理判定三角形的外形；4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点： 利用正、余弦定理进行边角

32、互换时的转化方向 教学难点 : 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 教学方法 ：启示引导式1 启示同学在证明三角形问题或者三角恒等式时,要留意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系,并留意特殊正、 余弦关系的应用, 比如互补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等；2 引导同学总结三角恒等式的证明或者三角形外形的判定,重在发挥正、余 弦定理的边角互换作用名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 教学过程 ：一、复习引入：名师归纳总结 正弦定理：aAbBcC2RAsinB 第 10 页,共 26 页sinsinsi

33、n余弦定理：a2b2c22 bccosA ,cosAb2c2a22 bcb2c2a22cacosB ,cosBc2a2b22 cac2a2b22abcosC,cosCa2b2c22ab二、讲解范例：例1 在任一 ABC中求证：a sinBsinCbsinCsinA csinAsinB0证：左边 =2RsinA sinBsinC 2R sinB sinCsinA 2R sinCsin=2 R sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB =0=右边例 2 在 ABC中,已知a3,b2,B=45 求 A、C 及 c解一：由正弦定理得：sinAas

34、inB3sin453b22B=45 90即ba A=60 或 120当 A=60 时 C=75cbsinC2sin75622sinBsin45当 A=120 时 C=15cbsinC2sin15622sinBsin45解二：设 c=x 由余弦定理b2a2c22accosB将已知条件代入,整理：x26x10解之：x622当c622时cosAb2c2a2226262223213322bc221 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而 A=60 ,C=75当c622时同理可求得： A=120 ,C=15例 3 在 ABC中, BC=a, AC= b, a,

35、b是方程 x 2 2 3 x 2 0 的两个根,且2cosA+B=1 求（ 1）角 C的度数（2）AB的长度（3） ABC的面积解：（1）cosC=cos A+B= cosA+B= 1C=1202（2）由题设：a b 2 3a b 2AB 2=AC 2+BC 2 2AC.BC.osC a 2b 22 ab cos 120a 2b 2ab a b 2 ab 2 3 2 2 10 即 AB= 10（3）S ABC= 1ab sin C 1ab sin 120 12 3 32 2 2 2 2例 4 如图,在四边形 ABCD中,已知 AD CD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=1

36、35 求 BC的长解：在 ABD中,设 BD=x 名师归纳总结 就BA2BD2AD22BDADcosBDA2第 11 页,共 26 页即142x2102210xcos60整理得：x210x960解之：1x16x26（舍去）由余弦定理：sinBCsinBDBC16sin308CDBBCDsin135例 5 ABC中,如已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1 求最大角 ; 2求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4 的平行四边形的最大面积解： 1 设三边ak,1bk,ck1kN且k1C为钝角cos Ca2b22 ck40解得1k42 ac2 k1kNk2或 3 但k2时不能构成三角形应舍去当k3时a2,b3 ,c4 ,cosC1,C10942 设夹 C