2022年2022年解析几何中的定点和定值问题 .pdf

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1、. . 解析几何中的定点定值问题考纲解读： 定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。例 1、已知 A、B是抛物线y2=2px (p0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和 OB的倾斜角分别为和，当 、变化且 +=4时，证明直线AB恒过

2、定点，并求出该定点的坐标。解析 ： 设 A（121,2ypy） ，B （222,2ypy） ，则212tan,2tanypyp，代入1)tan(得221214)(2pyyyyp（ 1）又设直线AB的方程为bkxy，则022222pbpykypxybkxykpyykpbyy2,22121，代入（ 1）式得pkpb22直线 AB 的方程为)2(2pxkpy直线 AB 过定点（ -)2,2pp说明 ：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从 AB 直线系中看出定点。例 2已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半

3、轴长为半径的圆与直线20 xy相切求椭圆 C 的方程；设(4, 0)P，M、N是椭圆C上关于 x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线ME与 x 轴相交于定点A B y O x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 解析： 由题意知32cea，所以22222234cabeaa，即224ab ，又因为2111b，所以224,1ab，故椭圆C的方程为

4、C：2214xy由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为(4)yk x联立22(4)14yk xxy消去y得：2222(41)324(161)0kxk xk，由2222(32)4(41)(644)0kkk得21210k，又0k不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是306k或306k设点1122(,),(,)N xyE xy，则11(,)M xy，直线ME的方程为212221()yyyyxxxx，令0y，得221221()yxxxxyy，将1122(4),(4)yk xyk x代入整理，得12121224()8x xxxxxx 由得2212122232644,4141kkxxx xkk代

5、入整理，得1x，所以直线ME与 x 轴相交于定点(1, 0)【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点13 , 0F，23 , 0F的距离之和是4，点M的轨迹是C与 x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线:lykxb 与轨迹C交于不同的两点P和 Q 求轨迹C的方程；当0AP AQ时，求k与b的关系，并证明直线l过定点解：点M到3 , 0 ，3 , 0 的距离之和是4， M的轨迹C是长轴为4，焦点在 x 轴上焦中为2 3的椭圆，其方程为2214xyQPOyx将 ykxb，代入曲线C的方程，整理得22(14)8 240kxkx，因为直线l与曲线C交于不同的两点P和 Q ，所以22222264

6、4(14)(44)16(41)0k bkbkb设11,P xy，22,Q xy，则1228 214kxxk，122414x xk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 且2212121212()()()()yykxb kxbk x xkb xxb ，显然，曲线C与 x 轴的负半轴交于点2 , 0A，所以112 ,APxy，222 ,AQxy由0AP AQ，得1212(2)(2)0 xxy y将、 代入上式， 整

7、理得22121650kkbb所以 (2) (65 )0kbkb，即2bk或65bk 经检验，都符合条件，当2bk时，直线l的方程为2ykxk显然，此时直线l经过定点2 , 0 点即直线l经过点A，与题意不符当65bk 时，直线l的方程为6556ykxkkx显然，此时直线l经过定点6, 05点，且不过点A综上，k与b的关系是：65bk ，且直线l经过定点6, 05点【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为 F。设过点T（mt,）的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中 m0,0,021yy。（1）设动点

8、P 满足422PBPF,求点 P的轨迹；（2）设31,221xx，求点 T 的坐标；（3）设9t,求证：直线MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解： （1）设点 P（ x，y） ，则： F（2，0） 、B（3，0） 、A（-3，0） 。由422PBPF，得2222(2)(3)4,xyxy化简得92x。故所求点 P 的轨迹为直线92x。（2）将31,221xx分别代入椭圆方程，以及0, 021yy得： M（2，53） 、N（13，209）直线 MTA 方程为：0352303y

9、x，即113yx，直线 NTB 方程为：032010393yx，即5562yx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 联立方程组，解得：7103xy，所以点 T 的坐标为10(7,)3。（3）点 T 的坐标为(9,)m直线 MTA 方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线 NTB 方程为：03093yxm，即(3)6myx。分别与椭圆15922yx联立方程组，同时考虑到123,3xx，解得：2223

10、(80)40(,)8080mmMmm、2223(20)20(,)2020mmNmm。（方法一）当12xx时，直线MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm令0y，解得：1x。此时必过点D（1，0） ；当12xx时，直线MN 方程为：1x，与 x 轴交点为D（1，0） 。所以直线MN 必过 x 轴上的一定点D（1，0） 。（方法二）若12xx，则由222224033608020mmmm及0m，得2 10m，此时直线MN 的方程为1x，过点 D（1，0） 。若12xx，则2 10m，直线 MD 的斜率2222401

11、080240340180MDmmmkmmm，直线 ND 的斜率222220102036040120NDmmmkmmm，得MDNDkk，所以直线MN 过 D 点。因此，直线MN 必过x轴上的点（ 1，0） 。【针对性练习3】 已知椭圆 C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2 3 （）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：0ykxm k与椭圆交于不同的两点MN、（MN、不是椭圆的左、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - -

12、 - . . 右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A求证：直线l过定点，并求出定点的坐标解: （）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则22222,22 3,cbabc解得2,3,ab 椭圆 C的标准方程为22143xy 4 分（）由方程组22143xyykxm消去y，得2223484120kxkmxm 6 分由题意22284 344120kmkm，整理得：22340km 7 分设1122,Mx yN xy、，则122834kmxxk，212241234mx xk 8 分由已知，AMAN， 且椭圆的右顶点为A(2,0)，1212220 xxy y 10 分即221212124

13、0kx xkmxxm，也即22222412812403434mkmkkmmkk，整理得2271640mmkk解得2mk或27km，均满足 11 分当2mk时，直线l的方程为2ykxk，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27km时，直线l的方程为27ykx，过定点2(,0)7，故直线l过定点，且定点的坐标为2(,0)7 13 分例 3、 已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页

14、 - - - - - - - - - . . 椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。（I）求椭圆的标准方程；（）设点(,0)M m是线段OF上的一个动点，且()MAMBAB，求m的取值范围；（）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（I）设椭圆方程为22221(0)xyabab，由题意知1b2222255abaa故椭圆方程为2215xy（）由（ I）得(2,0)F，所以02m，设l的方程为(2)yk x（0k）代入2215xy，得2222(51)202050kxk xk设1

15、122(,),(,),A xyB xy则2212122220205,5151kkxxx xkk,12121212(4),()yyk xxyyk xx112212122121(,)(,)(2 ,),(,)MAMBxm yxm yxxm yyABxx yy12212112(),()0,(2)()()()0MAMBABMAMBABxxm xxyyyy2222220420,(85)05151kkmm kmkk由280,0855mkmm，当805m时，有()MAMBAB成立。（）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。依题意知11(,)C xy，直线 BC 的方程为211121()yyy

16、yxxxx， 令0y，则121122112121()y xxy xy xxxyyyyl的方程为(2),yk xA、B在直线l上，1221121211221212(1)(1)22 ()(2),(2)()4()4k xxk xxkx xk xxyk xyk xxk xxkk xxk222222205202255151202451kkkkkkkkkk在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C B N三点共线。解法二：（）由（ I）得(2,0)F，所以02m。设l的方程为(2) (0),yk xk代入2215xy，得2222(51)202050kxkk设1122(,),(,),A x yB xy则2212

17、122220205,5151kkxxx xkk1212121224(4),()51kyyk xxyyk xxk2211221212121222212(), | |,()(),(2 )()()()0,(1)()240,(85 )0MAMBABMAMBxmyxmyxxm xxyyyykxxmkm km2222888)0,05155(51kmkkkk805m当805m时，有()MAMBAB成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - -

18、 - - . . （）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。设存在( ,0),N t使得C、B、N三点共线，则/CBCN，122111(,) ,(,)C BxxyyC Ntxy，211112()()()0 xx ytxyy即211112() (2)() (4)0 xx k xtx k xx12122(2)()40 x xtxxt2222205202(2)405151kkttkk，52t存在5(,0)2N，使得C B N三点共线。二、定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”

19、性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式

20、出现，特珠化方法往往比较奏效。例 4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 x 轴上，斜率为1 且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，)1, 3(aOBOA与共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设 M 为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值。解析： （1）设椭圆方程为12222byax（ab0） ，A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB 的中点为N(x0,y0)，11222222221221byaxbyax， 两式相减及11212xxyy得到0220 xaby， 所以直线 ON的方向向量为), 1(22abON，aON /，2231ab，即223ba，从而得36e（ 2）探

21、索定值因为 M 是椭圆上任意一点，若M 与 A 重合，则OAOM，此时0, 1，122证明223ba，椭圆方程为22233byx，又直线方程为cxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 22233byxcxy03364222bccxx222212183433,23cbcxxcxx又 设M （ x， y） ， 则 由OBOAOM得2121yyyxxx， 代入 椭 圆方 程整 理得2222122222212123

22、)3(2)3()3(byyxxyxyx又2212133byx，2222233byx，0329233)(343222221212121ccccxxcxxyyxx122例 5、已知，椭圆C 过点 A3(1, )2，两个焦点为（1，0） ， （1，0） 。（1）求椭圆 C 的方程；（2）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。解析：（1）由题意， c=1,可设椭圆方程为2219114bb，解得23b，234b（舍去）所以椭圆方程为22143xy。（2）设直线 AE 方程为：3(1)2yk x，代入22143xy得22

23、23(34)4 (32 )4()1202kxkk xk设(x , y )EEE,(x,y )FFF,因为点3(1, )2A在椭圆上，所以2234()122x34Fkk，32EEykxk又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以K 代 K，可得2234()122x34Fkk，32EEykxk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 所以直线 EF 的斜率()212FEFEEFFEFEyyk xxkK

24、xxxx即直线 EF 的斜率为定值，其值为12。将第二问的结论进行如下推广：结论1.过椭圆22221(0,0)xyabab+=上任一点00(,)A xy任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF 的斜率为定值2020b xa y（常数）。证明：直线AE 的方程为00()yyk xx-=-，则直线AF 的方程为00()yyk xx-= -，联立00()yyk xx-=-和22221xyab+=，消去 y 可得2222222220000()2()()0a kbxa k yk xayk xa b+-+-=200112210222222222220000001222222220122

25、22201210020022220122122()(,),(,),22,4,4()(),EFa k ykxE x yF xyxxa kba k xa kyb xa k xa kyb xxxa kba kba kyxxa kbb kxyyk xxyk xxya kbb xyyxxa-+= -+-+-?=+-=+-=-+-=+-=-设则同理，由则直线的斜率为0.y结论2.过双曲线22221(0,0)xyabab-=上任一点00(,)A xy任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于 E、F 两点，则直线EF 的斜率为定值2020b xa y-（常数）。结论 3.过抛物线22(0)ypx p=上任一点0

26、0(,)A xy任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F 两点，则直线EF 的斜率为定值0py-（常数）。例 6、已知椭圆的中心在原点，焦点F在 y 轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . ()求椭圆的标准方程和离心率e；()若 F 为焦点F关于直线32y的对称点， 动点M满足MFeMF，问是否存在一个定点A，使M到点A的距离为

27、定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 解析： ()设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，由已知得44,26aacac，解得，. 所以椭圆的标准方程为2211612yx. 离心率21.42e()(0,2),(0,1)FF,设( , ),M x y由MFeMF得2222(2)12(1)xyxy化简得223314150 xyy，即22272)( )33xy（故存在一个定点7(0, )3A，使M到A点的距离为定值，其定值为2.3例 7、 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上， P(2，0)为定点()若点 P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；()若动圆 M 过点 P，且

28、圆心 M 在抛物线C 上运动，点A、B 是圆 M 与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使 |AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由解析： () 设抛物线方程为22(0)ypx p，则抛物线的焦点坐标为(,0)2p.由已知，22p，即4p，故抛物线C 的方程是28yx()设圆心( , )M a b(0a)，点 A1(0,)y， B2(0,)y. 因为圆M过点 P(2，0)，则可设圆M 的方程为2222()()(2)xaybab. 令0 x， 得2244 0yb ya.则122yyb，1244yya. 所以222121212|()()441616AByyyyyyba. ，设抛

29、物线C 的方程为2(0)ymx m，因为圆心M 在抛物线C 上，则2bma. 所以|416164 (4) 16ABmaaa m. 由此可得， 当4m时，| 4AB为定值 故存在一条抛物线24yx，使 |AB| 为定值 4. 例 8、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为2e2（）求椭圆E的方程；（）过点 1, 0 作直线交E于P、Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点M，MP MQ 为定值？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

30、- 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由解析：（I）设椭圆 E 的方程为2222xy1ab,由已知得：ac21c2a2。 。 。 。 。2 分a2c1222bac1椭圆 E 的方程为22xy12。 。 。 。3 分（） 法一： 假设存在符合条件的点M(m,0) ，又设1122P(x ,y ),Q(x,y ) ，则：11221212MP(xm, y ),MQ(xm, y ),MPMQ(xm) (xm)y y2121212x xm(xx )my y 。 。 。 。 。 5 分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为

31、：yk(x1)，则由22xy12yk(x1)得222x2k (x1)202222(2k1)x4k x(2k2)0221212224k2k2xx, xx2k12k17 分222121212122ky yk (x1)(x1)k x x(xx )12k1所以22222222k24kkMP MQmm2k12k12k12222(2m4m1)k(m2)2k19 分对于任意的k值， MP MQ 为定值，所以222m4m12(m2) ，得5m4，所以57M(,0),MPMQ416；11 分当直线l的斜率不存在时，直线1212121l: x1,xx2,x x1,y y2由5m4得7MP MQ16综上述知，符合条

32、件的点M存在，起坐标为5(,0)413 分法二： 假设存在点M(m,0) ，又设1122P(x ,y ),Q(x,y ), 则：1122MP(xm, y ),MQ(xm, y )1212MP MQ(xm) (xm)y y =2121212x xm(xx )my y . 5 分当直线l的斜率不为0 时，设直线l的方程为 xty1，由22xy12xty1得22(t2)y2ty101212222t1yy,yyt2t27 分222212122121222t2tt22t2x x(ty1) (ty1)t y yt(yy )1t2t2221212222t2t44xxt(yy )2t2t2222222t24m

33、1MP MQmt2t2t22222(m2)t2m4m1t29 分设 MP MQ则2222(m2)t2m4m1t22222222(m2)t2m4m1(t2)(m2)t2m4m12022m202m4m1205m47165M(,0)411 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 当直线l的斜率为0 时，直线 l: y0，由5M(,0)4得：55257MP MQ(2) (2)2441616综上述知，符合条件的点M存

34、在，其坐标为5(,0)4。 。 。 。13 分三、定直线问题例 9、设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且焦点为1(2,0)F（）求椭圆C的方程；（ ） 当过 点(4,1)P的 动直 线l与 椭圆C相 交 与两 不同 点,A B时 ，在 线段AB上 取 点Q， 满足AP QBAQPB，证明：点Q总在某定直线上解析：(1)由题意：2222222211cabcab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy(2)设点1122( ,),(,),(,)Q x yA xyB xy，由题设，,PAPBAQQB均不为零。且PAPBAQQB又,P A Q B四点共线，可设,(0,1)

35、PAAQ PBBQ,于是1141,11xyxy（1）2241,11xyxy（2）由于1122(,),(,)A x yB xy在椭圆 C 上，将（ 1） ， （2）分别代入C 的方程2224,xy整理得222(24)4(22)140 xyxy（3）222(24)4(22)140 xyxy(4) (4)(3) 得8(22)0 xy0,220 xy，即点( , )Q x y总在定直线220 xy上例 10、 已知椭圆C 的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2 , 0 ，2A2 , 0 。 （）求椭圆C的方程； （） 设直线 xmy1与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线1A P与2A Q 交于点

36、S。试问： 当 m 变化时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 点 S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆C 的方程为2222xy1 ab0ab。1 分a2，c3ea2， c3 ，222bac1。4 分椭圆 C 的方程为222xy14。 5 分（）取 m0,得33P 1,Q 1,22，直线1A P 的方程是33yx,63直线2A Q 的方

37、程是3yx3,2交点为1S 4,3 . 7 分, 若33P 1,Q 1,22，由对称性可知交点为2S4,3 .若点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。8 分以下证明对于任意的m, 直线1A P 与直线2A Q 的交点 S均在直线: x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4, 即22m4 y2my30，记1122P x ,y,Q x ,y，则1212222m3yy,y ym4m4。9 分设1A P 与交于点00S (4,y ), 由011yy,42x2得1016yy.x2设2A Q 与交于点00S (4, y ), 由022yy,42x2得2022yy.x210 1200126

38、y2yyyx2x21221126ymy12ymy3x2x21212124my y6 yyx2x2221212m12mm4m40 x2x2， 12 分00yy，即0S 与0S 重合，这说明，当m 变化时，点S恒在定直线:x4上。13 分解法二： （）取m0, 得33P 1,Q 1,22，直线1A P 的方程是33yx,63直线2A Q 的方程是3yx3,2交点为1S4,3 . 7 分取 m1,得8 3P,Q 0, 15 5，直线1A P的方程是11yx,63直线2A Q 的方程是1yx1,2交点为2S4,1 .若交点S在同一条直线上，则直线只能为: x4。 8 分名师资料总结 - - -精品资料

39、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 以下证明对于任意的m, 直线1A P 与直线2A Q 的交点 S均在直线: x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4 y2my30，记1122Px,y,Qx，则1212222m3yy,y ym4m4。9 分1A P 的方程是11yyx2 ,x22A Q 的方程是22yyx2 ,x2消去y,得1212yyx2x2x2x2以下用分析法证明x4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证

40、明12126y2y,x2x2即证12213ymy1ymy3 , 即证12122my y3 yy.1212226m6m2my y3 yy0,m4m4式恒成立。 这说明，当 m 变化时， 点 S恒在定直线:x4上。解法三：（）由22xy14xmy1得22my14y4, 即22m4 y2my30。记1122P x ,y,Q x ,y，则1212222m3yy,y ym4m4。6 分1A P的方程是11yyx2 ,x22A Q 的方程是22yyx2 ,x27 分由1122yyx2 ,x2yyx2 ,x2得1212yyx2x2 ,x2x29 分即21122112yx2yx2x2yx2yx22112211

41、2ymy3ymy12ymy3ymy11221212my y3yy23yy112211232m2m3yym4m424.2m3yym412 分这说明，当m 变化时，点S恒在定直线: x4上。13 分四、其它定值问题例 11、 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x（）求双曲线C的方程；（） 设直线l是圆22:2O xy上动点0000(,)(0)P xyx y处的切线，l与双曲线C交于不同的两点,A B，证明AOB的大小为定值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

42、 - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 解析： 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得2333acca，解得1,3ac，2222bca，所求双曲线C的方程为2212yx.（）点0000,0P xyx y在圆222xy上，圆在点00,P xy处的切线方程为0000 xyyxxy，化简得002x xy y. 由2200122yxx xy y及22002xy得222000344820 xxx xx222000348820 xyy xx切线l与双曲线

43、C 交于不同的两点A、B，且2002x，20340 x，设 A、B 两点的坐标分别为1122,x yxy，则2200121222008228,3434xxx xy yxx，12120OA OBx xy y，AOB的大小为90. 例 12、 己知椭圆12222byax（ab0）,过其中心 O 的任意两条互相垂直的直径是P1P2、Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆 ：取椭圆长轴和短轴为两直径，则22BA的方程为1byax，原点 O到直线22BA的距离为22baabr，则与菱形2211BABA内切的圆方程为222222babayx。O x y P1

44、 Q1 P2Q2A1 A2 B1 B2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 证明： 设直径 P1P2的方程为,kxy则 Q1Q2的方程为xky112222byaxkxy解得2222222222222kabbakykabbax22222222)1(kabbakOP同理 OQ22=222222)1(kbabak，作 OHP2Q2则22222222baabOQOPOQOPOH又四边形P1Q1P2Q2是菱形，菱形

45、 P1Q1P2Q2必外切于圆222222babayx. 例 13、 已知 P),(00yx是双曲线)0(2aaxy上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P 点） ，求证：直线P1P2的方向不变。探索定值： 取 P),(020 xax，过 P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线与曲线的另一个交点),(0201xaxP，其斜率2021xakPP2202axkPPPP2的方程为)(02200 xxaxyy把xay2代入解得),(2303042axxaP22021axkPP（定值）证明 ：设 PP1的斜率为k，则 PP2的斜率为k1， PP1的方程为)(

46、00 xxkyyPP2的方程为)(100 xxkyy，与抛物2axy联立解得),(0201ykakyP、),(0202kyakyP，从而22020221axyakPP（定值）EX ：过抛物线y2=2px（P0）上一定点（x0,y0）作两条直线分别交抛物线于A，B 两点，满足直线PA 、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，三角形 ABM 的三个顶点都在椭圆上，其中M点为（ 1，1） ，且直线 MA 、MB的斜率之和为0。 （1）求椭圆的方程。（2）求证：直线 AB的斜率是定值。x PP1P2

47、y O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 分析： （1）x2+2y2=3 （2）122、 （2008 年西城一模）已知定点)01(，C及椭圆5322yx，过点C的动直线与椭圆相交于AB，两点. （）若线段AB中点的横坐标是12，求直线AB的方程；（） 在x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M的坐标； 若不存在， 请说明理由 . 分析： M （73，0）493、已知不垂直于x 轴的动直线l

48、 交抛物线y2=2mx（m0 ）于 A、B两点，若A 、B两点满足 AQP= BQP ，若其中 Q点坐标为（ -4 ，0） ，原点 O为 PQ中点。 （1）证明： A、P、B三点线；（2）当 m=2时，是否存在垂直于 x 轴的直线l ，使得 l 被以 PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l 的方程。分析：设点AB的坐标（2） l ：x=3. 4、已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。（1）求椭圆的方程。（2）若 C、D分别是椭圆长轴的左、右端点， 动点 M满足 MD CD,连结 CM交椭圆于点

49、P，证明：OM OP为值。（3）在（ 2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于C的定点 Q，使得以 MP为直径的圆过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q的坐标。分析：（1）22142xy（2）由 O 、 M 、P三点共线，得42pmpyyx，所以OM OP=4 （3）设 Q点（ a，0） ，由0QM DP，得 a=0. 5、设 P 为双曲线22221( ,0)xya bab上任意一点，F1，F2 是双曲线的左右焦点，若12PF PF的最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

50、- 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - . . 是-1 ，双曲线的离心率是2 33。（1） 求双曲线 C的方程；（2）过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点，过作右准线的垂线，垂足为C ，求证：直线 AC恒过定点。分析：（1）2213xy（2）先猜再证： （74，0）1217144yyx换掉 x1 代入韦达定理得证。方法二：设 AB ：代入方程得：（）故1221224313myymy ymAC ：12213()322yyyxyx=1212122113()21212yyyymy yyxmymy又 2my1y2=-12（y1+y2）然后代入韦达定理得。6、在平