2022年千题百炼第炼-函数零点的性质问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数零点的性质一、基础学问：1、函数零点,方程,图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转 化,且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“ 零点存在性定理” 作为理论基础,可通过区间端点值的符号和函数 的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行敏捷的变形,从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数,为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观看到交点的个数,并能初步判定交点所在区间；三者转化：函数fx 的零点方程fx0的根方程变形方程 g xh x的根函数 g x 与 h x 的交

2、点2、此类问题的处理步骤：（1）作图： 可将零点问题转化成方程,并作出函数图像进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,（2）确定变量范畴：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范畴（3）观看交点的特点（比如对称性等）并挑选合适的方法处理表达式的值,3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t ,从而用 t 可表示出x x2,将关于x x2,的表达式转化为关于 t 的一元表达式,进而可求出范畴或最值（2）利用对称性解决对称点求和：假如x1x x 关于 xa 轴对称,就x 1x22 a ；同理,如x x 关于a ,0中心对称,就也有x 22a ；将对称的点归为一组,在求和时可与对称轴

3、（或对称中心）找到联系 二、典型例题：名师归纳总结 例 1：已知函数fxlgx ,如 0ab,且f af b ,就a2 b的取值范畴是第 1 页,共 11 页（）B. 22,C. 3,D. 3,A. 22,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 思路：先做出fx精品资料欢迎下载fb ,就 0a1b ,设的图像,通过图像可知,假如f af af bt ,即lgatt0t,由a b 范畴lgbt可得： lga0,lgb0,从而lgataet,lgbbt e所以1a2 b1t 2 e,而te0,所以e tt 2 e3 ,t e答案： C 小炼有话说： （1）此类问

4、题假如 f x 图像易于作出,可先作图以便于观看函数特点（2）此题有两个关键点,一个是引入帮助变量 t ,从而用 t 表示出 a b,达到消元成效,但是要留意 t 是有范畴的（通过数形结合 y t 需与 y f x 有两交点）；一个是通过图像判断出 ,a b的范畴,从而去掉肯定值；cos x , x 0,例 2 ：已知函数 f x 2,如有三个不同的实数 a b c ,使得log 2022 x x ,f a f b f c,就 a b c 的取值范畴是_ 名师归纳总结 思路： fx的图像可作, 所以考虑作出fx的图像,再观看 c,且第 2 页,共 11 页不妨设 abc,由图像可得：f af

5、b0,1a b0,且关于x2轴对称,所以有abcab220,1, 所 以0, 从 而log 2022cf cf a1c2022log 2022abcc2, 2 0 1 6ab,使得所答案：2 ,2022小炼有话说：此题抓住a b关于x2对称是关键,从而可由对称求得求式子只需考虑c 的范畴即可- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：定义在 R上的奇函数f精品资料0时,欢迎下载log x1,x0,1,就关于 xx ,当xfx2的函数F xfxa0a1的全部零点之和为（1x3 ,x1,2a2a程a1）D. 1A. 2a1B. 12aC. 2x30且满足方思

6、路： fx 为奇函数,所以考虑先做出正半轴的图像,再利用对称作出负半轴图像,当x0时,函数图象由两部分构成,分别作出各部分图像；F x 的零点, 即为方程fxa0的根, 即 fx 图像与直线 ya 的交点；观看图像可得有5 个交点：x x 2关于x3对称,x 1x26,fx 3afx 3afx 3a 即log1x 31a ,解得：x31,2x 4,x 关于x33轴对称,1x 4ax 56x 1x 2xx 4x52答案： B 例4 ： 已 知1 3k1, 函 数fxx 21k 的 零 点 分 别 为x x 2x 1x 2, 函 数g xx 21k1的零点分别为x x 3 4x 3x 4,就x 4

7、x 3x 2x 1的最小值为2 k（）D. 3A. 1B. log 3C. log 6思路：从fx,g x 解析式中发觉x x 可看做yx 21与 yk 的交点,x 3,x 可看做yx 21与yk1的2 k交点,且x 10x2,x 30x ,从而x x2,x x 均可由 k进行表示,所以x4x 3x 2x 1可转化为关于k 的函数,再求最小值即可名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由图像可得：x 10x2,x 3精品资料欢迎下载0x412x 1k12x 3k1x4 ,kl o g1 kk 2112 3 l o g

8、 kk 21114k2 k1,2x 21kx 41k22 k1x 1log21k,x 2log 21kx 3l o g 212kl o gk1k12x4x 3x2x 1log23k1log21log23klog23k11k1kk1 ,1 3x 2314k3 ,x 4x 1x 3log 3, 2答案： B 名师归纳总结 例 5：已知函数fxlog3x11x1有两个不同的零点x x ,就（）第 4 页,共 11 页3A. x x21B. x 1x2x 1x2C. x 1x2x 1x 2D. x 1x2x 1x2思路： 可将零点化为方程log3x11x1的根, 进而转化为g xlog3x1与3h x

9、1x1的 交 点 , 作 出 图 像 可 得31x12x ,进而可将log 3x11x1中3的绝对值去掉得：log3x 1111x 11,观看选项涉及x1x2,x 1x 2,故将3log3x21可得：1x 23x 1, 从 而log3x 21x 111x 21x 1, 而y1x为 减 函 数 , 且x 2333- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - log3x 21x 110x 2精品资料1欢迎下载x 1x 20,即1x 11x x 2x x 2x 1x2答案： D 名师归纳总结 例 6：已知函数fx|lnx|,0xe3,存在x 1x2x 3,fx 1fx

10、2fx3,第 5 页,共 11 页e33x ,xe3就fx3的最大值为x 2思路：先作出fx 的图像,观看可得：0x 11x23 ex ,所求fx3可先削减变x2量个数,利用fx 3fx 2可得：f x 3fx 2lnx 2, 从 而 只 需 求 出yln x在x 2x 2x 2x3 1,e的最小值即可：y1ln x,所以函数y1ln xx2xy maxlne在 1,e 单增,在3 ,e e单减；从而ee答案：1 e例7 ： 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 fx满 足 ：fxx22,x0,1, 且2x2,x1,0fx2fx,g x2x5,就方程fxg x 在区间5,1 上的全部实根之x

11、2和为（）A. 5B. 6C. 7D. 8思路：先做图观看实根的特点,在1,1 中,通过作图可发 现fx在1,1关 于0 , 2 中 心 对 称 , 由fx2fx可得 fx 是周期为2 的周期函数,就在下一个周期3, 1 中, fx 关于2,2 中心对称,以此类推；从而做出fx 的图像（此处要留意区间端点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 值在何处取到） ,再看 g x 图像,精品资料2x欢迎下载x12,可视为将y1的图像向g x5 22xx左平移 2 个单位后再向上平移2 个单位,所以对称中心移至22,2 ,刚好与 fx 对称中心重合, 如下列图： 可

12、得共有 3 个交点x 1x 2x ,其中x3,1x 与3x关于2,2 中心对称,所以有x 1x34；所以x 1x2x37答案： C 例 8：函数fxx2ln2xx3,x0,直线 ym 与函数 fx 的图像相交于四个不同2x,0的点,从小到大,交点横坐标依次记为a b c d ,有以下四个结论名师归纳总结 m3,4abcd0,e 4abcd5 e12,6 e12第 6 页,共 11 页e2 e 如关于 x 的方程 fxxm 恰有三个不同实根,就m 的取值唯独就其中正确的结论是（）A. B. C. D. 思路：此题涉及到m 的取值,及4 个交点的性质,所以先作出 fx 的图像,从而从图上确定存在4

13、 个交点时, m 的范畴是 3,4 ,所以正确； 从图像上可看出a b 在同一曲线, ,c d在同一曲线上,所以在处理时将a b 放在一组,c d放在一组；涉及到根的乘积,一方面a b 为方程x22x3m 的两根,所以由韦达定理,可得abm3, 而,c d为 方 程2ln xm 的 两 根 , 且0c2 ed, 从 而2lnclnd2,即lncd4cd4 e ,所以有abcdm34 e0,4 e,正确由中的过程可得：ab2, 2lnclnd2m,所以ce2m,d2 em,从而abcd22 em2 em2e2m e1,而m3,4,m e3 4e e设m efm22 em e1,就 f m 为增函

14、数,所以fm5 e12,6 e12emee2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载正确可将问题转化为yfx与 yxm的交点个数问题,通过作图可得m 的值不唯独综上所述：正确答案： A l o g ax 1 , 1 x 1例 9 ： 已 知 函 数 f x a 0 , a 1, 如 x 1 x 2, 且f 2 x a 1, 1 x 3f x 1 f x 2,就 x 1 x 的值（）A. 恒小于 2 B. 恒大于 2 C. 恒等于 2 D. 与 a 相关思路：观看到当 1 x 1 时, f x 为单调函数,且 1 x 3 时, f x 的图像

15、相当于作x 1,1 时关于 x 1 对称的图像再进行上下平移,所以也为单调函数；由此可得f x 1 f x 2 时,x x 必在两段上；设 x 1 x 2,可得 1 x 1 1 x 2 3,考虑使用代换法设 f x 1 f x 2 t ,从而将 x x 均用 ,a t 表示,再判定 x 1 x 与 2 的大小即可；解：设 f x 1 f x 2 t ,不妨设 1 x 1 1 x 2 3,就 1 2 x 2 1tlog ax 1 1 t x 1 a 1t 1 alog a 3 x 2 a 1 t x 2 3 at t 1 ax 1 x 2 2 a a如 0 a 1,就 y a 为减函数,且 xt

16、 t 1 a a ta t 1 ax 1 x 2 2如 a 1,就 y a 为增函数,且 xt t 1 a a ta t 1 ax 1 x 2 2x 1 x 的值恒大于 2 答案： B 名师归纳总结 4f8x3,1xx2,就函数g x xf x 6在区间 1,2 n （nN*）第 7 页,共 11 页2例 10：定义函数f x 1 , x22.2内的全部零点的和为（）C3 2 4n1D3 2 2n1A nB 2n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 思路：从f x 1fx可得：函数精品资料欢迎下载n区间为fx 是以n 21,222一段,其图像为将前一段图像

17、在水平方向上拉伸为原先的 2 倍,同时竖直方向上缩为原先的 1,从而先作出 x 1,2 时的图像,2再依以上规律作出 2,4 , 4,8 , , 2 n 1,2 n 的图像, g x 的零点 无 法 直 接 求 出 , 所 以 将 g x 0 转 化 为 f x 6, 即xy f x 与 h x 6的交点；通过作图可得,其交点刚好位于每一段中的极大值点位置,xn 1 n可 归 纳 出 2 n 1 , 2 n 中 极 大 值 点 为 x n 2 2 3 2 n, 所 以 所 有 零 点 之 和 为2 4nS 3 2 2 1 3 2 n14 2 1 2答案： D 小炼有话说： （1）此题考查了合理

18、将 x 轴划分成一个个区间,其入手点在于 f x的显现,2表达了横坐标之间 2 倍的关系,从而所划分的区间长度成等比数列；（2）此题有一个易错点,即在作图的过程中,没有发觉 h x 6 恰好与 f x 相交在极大x值点处,这一点需要通过运算得到：当 x 3时,f 34 h 3, f 3 2 h 3,2 2 2从而归纳出规律； 所以处理图像交点问题时,假如在某些细节很难通过作图直接确定,要通过函数值的运算来确定两图像的位置三、近年模拟题题目精选名师归纳总结 1、（ 2022 四川高三第一次联考）已知函数fxfxx11 2,x10,1,如存在x x ,当第 8 页,共 11 页20x 1x 22时

19、,fx 1fx 2,就x f2,x,22x 2x 2的取值范畴为（）A. 0,23 2B. 9,23 2C. 9,1D. 23 2,14164162422、（ 2022,苏州高三调研）已知函数fxsinxkx x0,kR 有且只有三个零点,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设此三个零点中的最大值为x ,就精品资料欢迎下载x 0x 0_ 1x 0 2sin 2名师归纳总结 3、已知函数fxx2 , xg xxln , x h xxx1的零点分别为x 1,x 2,x ,就第 9 页,共 11 页x x2,x 的大小关系是 _ 4 、 已 知 函 数fx1x

20、log 3x的 零 点 为0x, 有 0abc使 得3f a f b f c0,就以下结论不行能成立的是（）A. 0xaB. x0bC. x0cD. x0c5、已知fxx1,xx00,如方程fxa 有四个不同的解x 1x2x 3x ,就log2x,x 1x211的取值范畴是（）x3x4A. 0,1B. 0,1C. 0,1D. 0,1222log2x,0x26 、 已 知 函 数fxsin4x,2x10, 如 存 在 实 数x 1,x 2,x3,x 4, 满 足x 1x 2x3x ,且fx 1fx 2fx 3fx 4,就x 32x 42的取值范畴x x 2是（）A. 4,16B. 0,12C.

21、9,21D. 15,25- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载习题答案：1、答案： C 解析：如图可知：1211x 11 1 ,2 2x 21fx 1x 11x 112x fx2fx 2x 11fx 2x 1129g xg2 x 11 2x 11x 1129241616222、答案：1 2名师归纳总结 解析：fxsinxkx0sinxkx ,即ysinx 与 ykx 恰有三个公共点,通,第 10 页,共 11 页过数形结合可得： 横坐标最大值x 为直线与曲线在,3相切的切点； 设改点A x y 0 02ysinx 的导数为ycosx ,所

22、以y 0sinx 0x 0x 0sinx 0,代入到所求表达式ky 0coscosx 0x 0sinx 0可得：12 x 0x 0x 01cosx 0sin 2x 01sin2sinx 022cosx 03、答案：x 1x2x 3解析：fx02xx g x0lnxx ,在同一 坐 标 系 下 作 出y2 ,yl nx yx如 图 所 示 可 得x 10x21；令h x0x2x10,解得x125,所以x 33251,从而x 1x2x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载4、答案： C 解 析 ： 可 判 断 出 f x 为 减 函 数 ,

23、 就 f a f b f c 0 包 含 两 种 情 况 , 一 个 是f a , f b , f c 均小于零； 可知当 x 0,1 时,f x 0；所以 f x 的零点必在 1,a中,即 x 0 a ,A 选项可能；另一种情形为 f a 0, f b 0, f c 0,就 x 0 b c ,即 B,D 选项可能； 当 x c 时,由 f c 0 和 f x 为减函数即可得到 f x 不再存在零点；5、答案： B 解析： 作出 fx 的图像可知如fxa 有四个不同的解,就a0,1,且在这四个根中,x x 关于直线x1对称,所以x 1x 22,x 31x ,所以alog2x3log2x ,即x

24、 31a, 所 以g ax 1x 2112a 21a, 由a0,1可 得2x 3x 420,1 2x 42ag a 的范畴是6、答案： B 名师归纳总结 解析：不妨设fx 1fx2fx 3fx 4a ,作出fx 的图像可知如ya 与第 11 页,共 11 页yfx有四个不同交点,就a0,1,且x 11x 2,x3,x 关于x6轴对称；所以有log2x 1log2x 2x x 1 21 即x 32x 42x x 3 42x 3x44x x 3 420x 3x 412x x2x x 2由于x 3x412x 312x ,所以x 32x 42x 412x 420,x 48,10,x x 2求出该表达式的范畴即为0,12- - - - - - -