2022年2022年量子力学复习题--大题 .pdf

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1、12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2cEe动） ，那么epE22如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV， 远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV61051.0， 因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便有phnmmmEchcEhee71.01071.031051.021024.1229662在这里，利用了meVhc61024.1以及eVce621051. 0最后，对Echce22作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的

2、质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强， 由于宏观世界的物体质量普遍很大， 因而波动性极弱， 显现出来的都是粒子性， 这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 13 氦原子的动能是kTE23（k 为玻耳兹曼常数），求 T=1K 时，氦原子的

3、德布罗意波长。解根据eVKk3101，知本题的氦原子的动能为,105.123233eVKkkTE显然远远小于2c核这样，便有Echc22核nmmm37. 01037. 0105. 1107.321024.19396这里，利用了eVeVc962107.3109314核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为TkchcEchc2222据此可知， 当体系的温度越低， 相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显， 特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显， 因

4、此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。p.52 2.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。证：对于定态，可令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - )()()()(2)()()()(2)(2)()()()(*rrrriererereriiJertfrtrEtiEtiEtiEtiEti）（）（，可见tJ与 无关。2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度：i

5、 k ri k rerer1)2(1)1(21从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。解：分量只有和rJJ21在球坐标中s i nr1er1err0rrkrrkrrikrrrikrrirerrererreriiJikrikrikrikr30202201*1*111)11(1)11(12)1(1)1(12)(2) 1(rJ1与 同向。表示向外传播的球面波。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - -

6、 - - - rrkrrkrrikrrrikrrirerrererreriiJikrikrikrikr3020220*2*222)11(1)11(12)1(1)1(12)(2)2(可见，rJ 与2反向。表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。补充：设ikxex)(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？dxdx*波函数不能按1)(2dxx方式归一化。其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。# 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数)()(xaAxx描写， A 为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：由波函数)(x

7、的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为22222 anEn)321(，n能量的几率分布函数为2)(nCEandxxxanadxxxC0*)(sin2)()(axxaxxanax,0,00,sin2)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 先把)(x归一化，由归一化条件，aadxxaxaxAdxxaxAdxx022220222)2()()(1adxxaxxaA043222)2(30)523(

8、525552aAaaaA530aAandxxaxxanaaC05)(sin302s i ns i n1520203xxdanxxxdanxaaaaaxannaxanxnaxanxnaxannaxanxnaa0333222222323c o s2s i n2cossincos152)1(115433nn2662)1(1240)(nnnCE,6,4,2053196066nnn，adxxpxdxxHxE02)(2?)()(?)(adxaxxdxdaxxa02225)(2)(30)32(30)(303352052aaadxaxxaa225a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

9、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3.10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为ararrU,0;,)(求粒子的能级和定态波函数。解：据题意，在ar的区域，)(rU，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数0(ar) 由于在ar的区域内，0)(rU。只求角动量为零的情况，即0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r 有关，而与、无关。设为)(r，则粒子的能量的本征方程为Edrdrdrdr)(122

10、2令222,)(EkrErU，得0222ukdrud其通解为krrBkrrArkrBkrArusincos)(sincos)(波函数的有限性条件知，)0(有限，则A = 0 krrBrsin)(由波函数的连续性条件，有0s i n0)(kaaBa0B),2,1(nnka名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - ank22222 anEnranrBrs i n)(其中 B 为归一化，由归一化条件得2022022002sin

11、4sin)(1aBrdranBdrrrddaaaB21归一化的波函数rranarsi n21)(4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为),(),(2),(2122222tpECtpCptpCdpd即0),()2(),(2122222tpCpEtpCdpd两边乘以2，得0),()2(),(11222tpCpEtpCdpd令1,1ppE2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 0),()(),

12、(222tpCtpCdd跟课本 P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为tEinpnnnepHeNtpCnE)(),()(222121式中nN 为归一化因子，即2/12/1)!2(nNnn# 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：2222222221221?21?xxxpHdxxHxHpppp)(?)(*dxexxexpipxi)212(2122222dxexdxepixppixppi)(22)(22212121)(2dxepipppxppi)(22222)(2121)(2dxepipppxppi)(2222221)(21)(2)(21)(22222

13、2pppppp)(21)(222222pppppp5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201EE 及， 现在受到微扰H?的作用，微扰矩阵元为bHHaHH22112112，；ba、 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得nnnHE)1(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - mmnmnnEEHE)0()0(2)2(得bHEbHE22)1(0211)1(010201200121)2(01EEaEEH

14、Emmm0102200222)2(02EEaEEmHEmm 能量的二级修正值为02012011EEabEE01022022EEabEE5.7 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度。解：2112212sppspANJ2463107828332sspeceN3814265232ceNspeV2.102120431065232aceNspWNp92101. 3若9210pN，则WJ1 .321# 7.1. 证明：izyx?证：由对易关系zxyyxi?2?及反对易关系0?xyyx，得zyxi ?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

15、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 上式两边乘z? ，得2?zzyxi1?2zizyx?7.5设氢的状态是),()(23),()(2110211121YrRYrR求轨道角动量 z 分量zL?和自旋角动量 z 分量的平均值；求总磁矩SeLeM?2?的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：可改写成10),()(2301),()(2110211121YrRYrRzzSYrRSYrR(),()(23)(),()(21211021211121从的表达式中可看出zL?的可能值为0 相应的几率为41434zL的可能值为22相应的几率2iC为414344324122ziizSCS)4(422eeSeLeMzzzzS?zS?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - BMe4142名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -