2022年北师大版中考数学二次函数知识点总结及相关题型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数学问点总结及相关典型题目第一部分基础学问k；1. 定义：一般地,假如yax2bxc a,b,c是常数,a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 . 2. 二次函数yax2的性质（ 1）抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. （ 2）函数yax2的图像与 a 的符号关系 . 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （ 3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）. 3. 二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 . 4. 二次函数yax2

2、bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式,其中hb,k4acab2. 2 a45. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh2；yaxh2yax2bxc. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0时,开口向上；当a0时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同. 平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh. 特殊地, y 轴记作直线x0 . 7. 顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）

3、公式法：y2 axbxcaxb24 acb2,顶点是（kb4,acab2）,对称轴是直线xb. 2 a4 ay2a42aaxh2的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为xh. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对名师归纳总结 称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 第 1 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失 . 9. 抛物线yax2bxc中,a,b,c的作

4、用b0（即 a 、（1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：b0时,对称轴为 y 轴；b0（即 a 、b 同号）时,对称轴在y 轴左侧；2 aaab 异号）时,对称轴在y 轴右侧 . （3） c 的大小打算抛物线yax2bxc与 y 轴交点的位置 . 当x0时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：c0,抛物线经过原点; c0, 与 y 轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对

5、称轴在y 轴右侧,就b0. a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式kk开口方向时对称轴顶点坐标b2 yax2x0（ y 轴）（0,0 ）0, k x0（ y 轴）yax2当a0xh h ,0 yaxh2xh h , k yaxh2开口向上yax2bxc当a0时xb 2 ab4,ac开口向下2a4 a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式. x2. （2）顶点式：yaxxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 、x ,通常选用交点式：yaxx

6、 112. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线yax2hbxc得交点为 0, c . c有且只有一个交点 h ,ah2bhc. 第 2 页,共 14 页x与抛物线yax2bx（2）与 y 轴平行的直线名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）抛物线与 x 轴的交点二次函数yax2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标1x 、x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）0 抛物线与 x 轴

7、相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 . （ 5 ） 一 次 函 数 y kx n k 0 的 图 像 l 与 二 次 函 数 y ax 2bx c a 0 的 图 像 G 的 交 点 , 由 方 程 组y kx n2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时y ax bx cl 与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G

8、没有交点 . （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x 1,B x 2,由于 1x 、x 是方程 ax 2bx c 0 的两个根,故 x 1 x 2 b , x 1 x 2 ca a其次部分 典型习题 . 抛物线 y x 22x2 的顶点坐标是（）A.（2, 2） B.（1, 2） C.（1, 3） D.（ 1, 3） . 已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象如下列图,就以下结论正确选项（） ab0,c0 ab0,c 0 ab0, c0 ab0,c0 AEF/ /）,交 AB于点 E,交 AC于点 F（EF 不过 A、BDC第

9、 , 题图第 4 题图 . 二次函数yax2bxc的图象如下列图,就以下结论正确选项（BCAa0,b 0,c0 Ba0,b 0,c0 Ca0,b 0,c0 Da0,b 0,c0 . 如图,已知ABC中,BC=8,BC上的高h4,D为 BC上一点,EF名师归纳总结 第 3 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B）,设 E 到 BC的距离为 x ,就DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为（）4 y4 4 4O 2 4 x O 2 4 O 2 4 O 2 4A B C D . 抛物线 y x 2 2 x 3 与 x 轴分别交于 A、B

10、两点,就 AB的长为6. 已知二次函数 ykx 22k1 x1 与 x 轴交点的横坐标为 1x 、x （xx 2）,就对于以下结论：当 x 2 时, y1；当 xx 2 时, y0；方程 kx 22 k1 x 10 有两个不相等的实数根 1x 、2x ； x 11,x 21；x 2 x 1 14k 2,其中全部正确的结论是（只需填写序号） k7. 已知直线 y 2 x b b 0 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为 y x 2 b 10 x c . （1）如该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线 y 2 x b 上,试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B 作直线

11、 BCAB交 x 轴交于点 C,如抛物线的对称轴恰好过 C点,试确定直线 y 2 x b 的解析式 . 8. 有一个运算装置,当输入值为 x 时,其输出值为 y ,且 y 是 x 的二次函数, 已知输入值为 2,0, 1 时, 相应的输出值分别为 5,3 ,4 （ 1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象, 并依据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范畴 . 名师归纳总结 第 4 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 某生物爱好小组在四天的试验争论中发觉：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在

12、这四天中每昼夜的体温变化情形相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情形绘制成下图请依据图象回答：第一天中,在什么时间范畴内这头骆驼的体温是上升的.它的体温从最低上升到最高需要多少时间. 第三天 12 时这头骆驼的体温是多少. 爱好小组又在争论中发觉,图中10 时到 22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式第 9 题10. 已知抛物线y2 ax43 ax4与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点 C是否存在实数a,使得3 ABC为直角三角形如存在,恳求出11. 已知抛物线y x2mxm2. a 的值；如不存在,请说明理由（1）如抛物线与x 轴的两个交点A、 B 分别在原点的两侧,并且AB5

13、 ,试求 m的值；27,试求 m的值 .（2）设 C为抛物线与y 轴的交点, 如抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 MNC的面积等于名师归纳总结 第 5 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 已知：抛物线yax24axt与 x 轴的一个交点为A（ 1,0）（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D是抛物线与 y 轴的交点, C是抛物线上的一点,且以 AB为一底的梯形 ABCD的面积为 9,求此抛物线的解析式；（3）E 是其次象限内到 x 轴、 y 轴的距离的比为 52 的点,假如点 E 在（ 2）中的抛物线上

14、,且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧,问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使 APE的周长最小 .如存在,求出点 P的坐标；如不存在,请说明理由13. 已知二次函数的图象如下列图（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M的坐标（2）如点 N为线段 BM上的一点,过点 N作 x 轴的垂线,垂足为点 Q当点 N在线段 BM上运动时（点 N不与点 B,点 M重合）,设 NQ的长为 l ,四边形 NQAC的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范畴；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使 PAC为直角三角形 .如存在,求出全部符合条件的点 P 的坐标；如不存在,请说

15、明理由；（4）将OAC补成矩形,使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直第 6 页,共 14 页接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要运算过程）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14. 已知二次函数yax22的图象经过点（ 1, 1）求这个二次函数的解析式,并判定该函数图象与x 轴交点的个数15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000 的比例图上,跨度AB5 cm,拱高 OC0.9 cm ,线段 DE表示大桥拱内桥长,DE AB,如图（ 1）在比例图上,以直线AB为 x 轴,抛物

16、线的对称轴为y 轴,以 1 cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图（2）（1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域；（2）假如 DE与 AB的距离 OM0.45 cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21 .4,运算结果精确到1 米）16. 如图,抛物线的顶点为A（2,1）,且经过原点O,与 x 轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M,使 MOB的面积是AOB面积的 3 倍；N 点的坐标；如不（3）连结 OA, AB,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 存在,说明理由N,使 OBN与 OAB相像？如存在,求出 y A O B

17、 x 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17. 如图,直线y3 x 33分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B, E 经过原点 O及 A、B 两点（1）C是 E上一点,连结 BC交 OA于点 D,如 COD CBO,求点 A、B、C的坐标；（2）求经过 O、C、 A三点的抛物线的解析式：（3）如延长 BC到 P,使 DP 2,连结 AP,试判定直线PA与 E 的位置关系,并说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： 1-4DCDD

18、 EF 4 x EF 8 2 , y x 24 x8 42 25. 4 6. 7. 解 ：（ 1）y x 10 或 y x 4 x 6 , 将 0（ ,b 代 入 ,得 c b . 顶 点坐 标为2 2b 10 b 16 b 100 b 10 b 16 b 100 , ,由题意得 2 b,解得 b 1 10, b 2 6 . （2）y 2x 22 4 2 48. 解：（1）设所求二次函数的解析式为 y ax 2bx c , 2a 2 b 2 c 5 c 3 a 1就 a 0 2b 0 c 3 , 即 2 a b 4 , 解得 b 2a b c 4 a b 1 c 3故所求的解析式为 : y x

19、 2 2 x 3 . （2 函数图象如下列图 . 由图象可得,当输出值 y 为正数时,输入值 x 的取值范畴是 x 1 或 x 39. 解：第一天中,从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要 12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是 39 y 1 x 22 x 24 10 x 221610. 解：依题意,得点 C的坐标为（0,4）设点 A、B 的坐标分别为 （1x ,0）,x ,0）,由 ax 2 4 3 a x 4 0,3解得 1x 3,x 2 4点 A、B 的坐标分别为（-3 ,0）,（4,0）3 a 3 aAB | 4 3 |,AC AO 2OC 25,

20、3 aBC BO 2OC 2| 4| 24 23 aAB 2| 4 3 | 2 162 2 3 4 9 162 8 9,3 a 9 a 3 a 9 a aAC 225,BC 2 162 169 a2 2 2 2 2 2当 AB AC BC 时, ACB 90 由 AB AC BC,得 162 8 9 25 162 16 解得 a 19 a a 9 a 4当 a 1时,点 B的坐标为（16 ,0）,AB 2 625,AC 225,BC 2 4004 3 9 9于是 AB 2AC 2BC 2 当 a 1时, ABC为直角三角形4名师归纳总结 第 9 页,共 14 页- - - - - - -精选学

21、习资料 - - - - - - - - - 当AC2AB2BC2时, ABC 90 由AC2AB2BC2,得251689 1616 1689 解9 a2a9 a2解a4当a4时,43443,点 B（-3 ,0）与点 A重合,不合题意993 a9得当BC2AC2AB2时,BAC90 由BC2AC 2AB 2,得 162 169 a1时, ABC为直角三角形4259 a2aa4不合题意综合、,当a9m 24m 3=0 解得：0）第 10 页,共 14 页11. 解: 1（ x1,0） ,Bx2,0 . 就 x1,x2是方程 x2mxm20 的两根 . x 1 x 2 m , x1 x 2 =m2

22、0 即 m2 ; 又 AB x 1 x2 （x 12 + ）24x x 25 ,m=1或 m=3舍去 , m的值为 1 . （2）Ma,b ,就 Na, b . M、 N是抛物线上的两点, y C a2mam2b,2 m2 . M x 2amam2b .得： 2a22m40 . a当 m 2 时,才存在满意条件中的两点M、N. O N a2m . 这时 M、N到 y 轴的距离均为2m , 又点 C坐标为（ 0,2m） , 而 S M N C = 27 ,21 2 （ 2m）2m =27解得 m=7 . 12. 解法一：（ 1）依题意,抛物线的对称轴为x 2抛物线与 x 轴的一个交点为A（ 1,

23、0）,由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（ 3,（2）抛物线yax24axt与 x 轴的一个交点为A（ 1, 0 ）,a 124 a1 t0 t3ayax24 ax3 a D （0,3a）梯形 ABCD中, AB CD,且点 C在抛物线yax24ax3 a上,C（ 4 , 3a ） AB 2, CD 4 梯 形ABCD 的 面 积 为9 , 1ABCDOD9124 3 a9 a 1所求抛物线的解析式为22yx24x3或yx24ax3（3）设点 E 坐标为（0x ,0y ）. 依题意,x 00,y 00,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - -

24、- - - - - - 且y 0 x 05y 5 x 20设点 E 在抛物线yx24x3上,2y 0x 0 24 x 03解方程组 y 052 x 0 ,得 x 06,x 012,y 0x 0 24 x 03 y 015；y 054点 E 与点 A 在对称轴 x 2 的同侧,点 E 坐标为（1,5 ）2 4设在抛物线的对称轴 x 2 上存在一点 P,使 APE的周长最小 AE 长为定值,要使 APE的周长最小,只须 PAPE最小点 A 关于对称轴 x 2 的对称点是 B（ 3,0）,由几何学问可知,P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为 ymxn,12 mn5

25、4 , 解得 m12 ,直线 BE 的解析式为 y1 x3把 x 2 代入上式,得3 mn.0 n3.2 22y1点 P 坐标为（ 2,1 ）设点 E 在抛物线 yx 2 4 x 3 上,y 0 x 0 24 x 0 32 2解方程组 y 052 x 0 ,消去 0y ,得 x 20 3 x 030y 0x 0 24 x 0 3 . 2 0 . 此方程无实数根综上,在抛物线的对称轴上存在点 P（ 2,1 ）,使 APE的周长最小解2法二：（1）抛物线 yax 24 axt 与 x 轴的一个交点为 A（ 1,0）,a 1 24 a 1 t0 t 3ayax 24 ax3 a令 y 0,即 ax

26、24 ax3 a0解得 x 11,x 23抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（ 3,0）（2）由 yax 24 ax3 a,得 D（ 0,3a）梯形 ABCD中, AB CD,且点 C在抛物线 yax 24 ax3 a 上, C （ 4,3a） AB 2,CD4梯形 ABCD的面积为 9,1ABCDOD9解得 OD323 3 a 1所求抛物线的解析式为yx24x3或yx24x3第 11 页,共 14 页（3）同解法一得,P是直线 BE与对称轴 x 2 的交点名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,过点E 作 EQx 轴于点 Q设对

27、称轴与x 轴的交点为 F由 PF EQ,可得BF BQPF1PFPF1点 P 坐标为（ 2,1 ）23 t 23,EQ5522413. 解：（1）设抛物线的解析式ya x1 x2 ,2a12 a1yx2x2其顶点 M的坐标是1,294（2）设线段 BM所在的直线的解析式为ykxb,点 N的坐标为 N（t ,h）,092 kb,解得k3,b3线段 BM所在的直线的解析式为y3 x 231kb .h2421 2t其中1t2s112122t3 t3t21t1 s与 t 间的函数关系式是S3t21,自变2223424量 t 的取值范畴是1t22（3）存在符合条件的点P,且坐标是P 15,72 4,P

28、23,5245分以设点 P 的坐标为 Pm,n,就nm2m2PA2m1 2n2,PC2m2n22,AC2下几种情形争论：2i ）如 PAC90 ,就 PC 2PA 2AC 2nm 2 m n m2 2 2, m 1 2n 25 .解得：m 1 52,m 2 1（ 舍 去 ）点 P 1 5,7ii） 如 PCA 90 , 就 PA 2PC 2AC 22 42n m m1 2 mn 2 2,m 2 n 2 25 .解得：m 3 32,m 4 0（舍去）点 P 2 32,54 iii）由图象观看得,当点 P 在对称轴右侧时,PA AC,所以边 AC的对角 APC不行能是直角（4）以点 O,点 A（或

29、点 O,点 C）为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边 OA（或边 OC）的对边上,如图 a,此时未知顶点坐标是点 D（ 1, 2）,以点 A,点 C为矩形的两个顶点, 第三个顶点落在矩形这一边 AC的对边上,如图 b,此时未知顶点坐标是 E 1,2,5 5F 4,85 5名师归纳总结 第 12 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14. 解：依据题意,得 a2 1. a 1 这个二次函数解析式是 yx 2 2由于这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是（0, 2）,所以该函数图象与 x 轴有两个交点15. 解：（1）由于顶点 C在 y

30、轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为yax 2910由于点 A（5,0）（或 B（5 ,0）在抛物线上,所以 0a 5 29,得 a182 2 2 10 125因此所求函数解析式为 y18 x 29 5 x 5 125 10 2 2（2）由于点 D、E 的纵坐标为 9 , 所以 918 x 29,得 x5 220 20 125 10 4所以点 D的坐标为（5 2,9 ）,点 E的坐标为（5 2,9 ）4 20 4 20所以 DE52 52 5 24 4 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为 5 2 11000 0 . 01275 2 385（米）2216. 答案：（1）由题意,可设抛物线的解

31、析式为 y a x 2 1,抛物线过原点,（2）a02210,a1,4抛物线的解析式为y1 4x2 211x2x 4AOB和所求MOB同底不等高,且SMOB3 SAOBMOB的高是AOB高的 3 倍,即 M点的纵坐标是3312 xx ,即x24x1204解之,得x 16,x 22满意条件的点有两个：M16,3,M2 2,3（3）不存在名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由抛物线的对称性,知AOAB,AOBABO如图,如OBN与OAB相像,必有BONBOABNOx 设 ON 交抛物线的对称轴于A 点,明显A2,1BE

32、y O A B E 直线 ON 的解析式为y1x62A A由1x12 xx ,得x 10,x2N 24N6,3BEN中,2,NE3,过 N 作 NEx轴,垂足为 E 在 RtNB223 213又 OB=4, NB OB ,BON BNO ,OBN 与OAB 不相像同理,在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 N 点所以在该抛物线上不存在点 N,使OBN 与OAB 相像17. 解：（1）连结 EC 交 x 轴于点 N（如图） A 、B 是直线y3 x 33分别与 x 轴、 y 轴的交点 A （3,0）,B 0,3）又 COD CBO CBO ABC C 是的中点 ECOAON1OA3,ENOB322223 2,3连结 OEECOE3NCECEN3 C 点的坐标为（22（2）设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为yaxx3 C（3,3）3a333a23222229y293x2283x为所求（3）tanBAO3, BAO30 , ABO50 3由（ 1）知 OBD ABDOBD1ABO1603022 ODOBtan30 1 DA2 ADC BDO60 , PDAD 2 ADP是等边三角形DAP60 BAP BAO DAP 30 60 90 即 PAAB即直线 PA是 E 的切线名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页