2022年华杯赛初二第一讲因式分解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载因式分解华杯赛辅导初二第一讲多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决很多数学问题的有力工具因式分解方法敏捷,技巧性强,学习这些方法与技巧, 不仅是把握因式分解内容所必需的,而且对于培育同学的解题技能,进展同学的思维才能,都有着非常特殊的作用中学数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲在数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、添项拆项是为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例 1 因式分解： x 4+x 2+1；a 3+b

2、3+c 33abc分析： x 4+1 如添上 2x 2 可配成完全平方公式（留意解： x 4+x 2+1 x 4+2x 2+1x 2=x 2+1 2x 2=x分析： a 3+b 3 要配成（ a+b）3 应添上两项2+1+xx2+1 x 3a 2b+3ab 2 解： a 3+b3+c33abca 3+3a2b+3ab2b3+c33abc3a2b 3ab 2（ a+b）3+c33aba+b+c =a+b+c a+b2a+bc+c2 3 aba+b+c =a+b+ca2+b2+c 2abacbc 例 2 因式分解： x 3 11x+20； a 5+a+1分析：把中项11x 拆成 16x+5x 分别

3、与 x5,20 组成两组,就有公因式可提；这里 16 是完全平方数）解： x 311x+20x 3 16x+5x+20 x（x 216）+5x+4 =xx+4x 4+5x+4 =x+4x 2 4x+5 分析：添上a 2 和 a 2两项,分别与 a 5 和 a+1 组成两组,正好可以用立方差公式解： a 5+a+1a 5a 2+a 2+a+1=a 2a 31+ a 2+a+1 =a 2a 1 a 2+a+1+ a 2+a+1= a 2+a+1a 3a 2+1 一、双十字相乘法分解二次三项式时,我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f ,我们也可以用十字相乘法

4、分解因式x 降幂排列, 并把 y 当作常数,例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 我们将上式按于是上式可变形为可以看作是关于2x2-5+7yx-22y2-35y+3 ,x 的二次三项式对于常数项而言,它是关于y 的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即： -22y2+35y-3=2y-3-11y+1学习必备欢迎下载再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解所以,原式 =x+2y-3 2x+-11y+1 =x+2y-32x-11y+1上述因式分解的过程,实施了两

5、次十字相乘法假如把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图：它表示的是下面三个关系式：x+2y2x-11y=2x2-7xy-22y2； x-32x+1=2x2-5x-3 ；2y-3-11y+1=-22y2+35y-3 这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式 ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是： 1 用十字相乘法分解 ax 2+bxy+cy 2,得到一个十字相乘图 有两列 ； 2 把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上,要求其次、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx例 1 分解因式：1x

6、2-3xy-10y2+x+9y-2 ； 2x2-y2+5x+3y+4；23xy+y2+x-y-2 ； 46x2- 7xy-3y2-xz+7yz-2z解 1 原式 =x-5y+2x+2y-12 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 原式 =x+y+1x-y+4学习必备欢迎下载3 原式中缺 x 2 项,可把这一项的系数看成 0 来分解原式 =y+1x+y-24 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 原式 =2x-3y+z3x+y-2z学习必备欢迎下

7、载说明 4 中有三个字母,解法仍与前面的类似二、运用因式定理我们把形如 anx n+an-1 x n-1+ +a1x+a0n 为非负整数 的代数式称为关于 x 的一元多项式,并用 fx ,gx , 等记号表示,如 fx=x 2-3x+2 ,gx=x 5+x 2+6, ,当 x=a 时,多项式 fx 的值用 fa 表示如对上面的多项式 fx f1=1 2-3 1+2=0；f-2=-2 2-3 -2+2=12 如 fa=0 ,就称 a 为多项式 fx 的一个根定理 1 因式定理 如 a 是一元多项式 fx 的根,即 fa=0 成立,就多项式 fx 有一个因式 x-a. 即如 x=a 时, fx=0

8、, 即 fa=0 ,就多项式 fx 有一次因式 xa依据因式定理,找出一元多项式 fx 的一次因式的关键是求多项式 fx 的根对于任意多项式 fx,要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式 fx 的系数都是整数时,即整系数多项式时,常常用下面的定理来判定它是否有有理根定理 2如既约分数q 是整系数多项式 pa0=1 时,整系数多项式fx的整fx a0xna 1xn1a2xn2a n1xan的根,就必有p 是 a0 的约数, q 是 an 的约数特殊地,当数根均为 an的约数我们依据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解定理 3 如两个多项式相等,就它们同类项

9、的系数相等例 2 因式分解：x35x2+9x6；2x313x 2+30,就可找到一次因分析：以x= 1, 2, 3, 6（常数 6 的约数）分别代入原式,如值为式,然后用除法或待定系数法,求另一个因式；解：x=2 时, x 35x 2+9x 60,原式有一次因式 x 2,x 3 5x 2+9x6（ x 2）（x 23x+3, ）分析：用最高次项的系数 2 的约数1, 2 分别去除常数项 3 的约数1, 3 得商 1, 2,1 ,3 ,再分别以这些商代入原式求值,可知只有当 x= 1 时,原式值为 0；故可2 2 2知有因式 2x-1 名师归纳总结 解： x=1 时, 2x 2313x2+30,

10、原式有一次因式2x1,第 4 页,共 10 页设 2x 313x 2+3（ 2x 1）（x比较右边和左边 x 2 的系数得2+ax3）,（a 是待定系数）2a1 13,a=6 2x313x+3 （ 2x1）（x26x 3）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析学习必备欢迎下载-4 的约数,逐个检验-4 的约数：例 3 分解因式： x3-4x2+6x-4 这是一个整系数一元多项式,原式如有整数根,必是 1, 2, 4,只有f2=2 3-4 2 2+6 2-4=0 ,即 x=2 是原式的一个根,所以依据定理 1,原式必有因式 x-2 解法 1 用分组分解

11、法,使每组都有因式 x-2 原式 =x 3-2x 2-2x 2-4x+2x-4 =x 2x-2-2xx-2+2x-2 =x-2x 2-2x+2 解法 2 用多项式除法,将原式除以 x-2 ,所以原式 =x-2x 2-2x+2 说明在上述解法中,特殊要留意的是多项式的有理根肯定是-4 的约数,反之不成立,即-4的约数不肯定是多项式的根因此,必需对-4 的约数逐个代入多项式进行验证例 4 分解因式： 9x4-3x3+7x2-3x-2 和分析 由于 9 的约数有1, 3, 9；-2 的约数有1, 2,所以原式的有理根只可能是,12 ,1,2,1,2,经检验,只有1和2 是原式的根,所以原式有因式 3

12、x1339933x2又由于：x1x213x1 3 x219x23x233399所以,原式有因式9x2-3x-2 解 9x4-3x3+7x2-3x-2 =9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2 =x29x3-3x-2+9x2-3x-2 =9x2-3x-2x2+1 =3x+13x-2x2+1 说明如整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载可以化为 9x 2-3x-2 ,这样可以简化分解过程总之,对一元高次多项式 fx ,假如能找

13、到一个一次因式 x-a,那么 fx 就可以分解为x-agx ,而 gx是比 fx 低一次的一元多项式,这样,我们就可以连续对 gx进行分解了三、待定系数法例 5 因式分解 2x 2+3xy 9y 2+14x3y+20 解： 2x 2+3xy9y 2（ 2x 3y）x+3y, 用待定系数法,可设2x 2+3xy 9y 2+14x 3y+20（ 2x3ya）（x+3y b）,a,b 是待定的系数,比较右边和左边的 x 和 y 两项 的系数,得a 2 b 14 a 4解得3 a 3 b 3 b 52x 2+3xy 9y 2+14x3y+20 （ 2x3y+4）x+3y+5 又解：原式 2x 2+3y

14、+14x 9y 2+3y20 这是关于 x 的二次三项式常数项可分解为（3y4）（3y+5）,用待定系数法,可设2x 2+3y+14x 9y 2+3y 20 mx（ 3y 4）nx+（3y+5）比较左、右两边的 x 2 和 x 项的系数,得 m=2, n=1 2x 2+3xy 9y 2+14x 3y+20（ 2x3y+4）x+3y+5 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛, 这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时, 一些多项式经过分析,可以肯定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积,依据多项式恒

15、等的性质,两边对应项系数应当相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程 这种因式分解的方法叫作待定系数法例 6 分解因式： x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于x2+3xy+2y2=x+2yx+y,如原式可以分解因式,那么它的两个一次项肯定是 定系数法即可求出 m和 n,使问题得到解决解 设x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =x+2y+mx+y+n =x2+3xy+2y2+m+nx+m+2ny+mn ,比较两边对应项的系数,就有 或方程组 ,解出待定字母系数的值,x+2y+m和 xyn 的形式,应用待名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10

16、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解之得 m=3,n=1所以原式 =x+2y+3x+y+1说明 此题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下例 7 分解因式： x4-2x3-27x2-44x+7 分析 此题所给的是一元整系数多项式,依据前面讲过的求根法,如原式有有理根,就只可能是1, 77 的约数 ,经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式假如原式能分解,只能分解为 x 2+ax+bx 2+cx+d 的形式解 设原式 =x 2+ax+bx 2+cx+d =x 4+a+cx 3+b+d+acx 2+ad+bcx+bd ,所以有由 bd=

17、7,先考虑 b=1,d=7 有所以,原式 =x2-7x+1x2+5x+7 说明 由于因式分解的唯独性,所以对 b=-1 ,d=-7 等可以不加以考虑此题假如 b=1,d=7 代入方程组后,无法确定 a,c 的值,就必需将 bd=7 的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止此题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法,使我们找到了二次因式由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地三、巩固练习名师归纳总结 1分解因式：x4+x2y2+y4 ；x4+4；x423x2y2+y4第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2分解因

18、式： x 3+4x29；学习必备欢迎下载x341x+30 ； x 3+5x218；x339x703分解因式：x3+3x2y+3xy2+2y3；x33x2+3x+7 ；2+bx39ax2+27a2x 26a 3；x3+6x2+11x+6 ；a 3+b3+3a2+3a+b+2 4分解因式：3x3 7x+10 ；x311x2+31x 21；x44x+3；2x35x2+15分解因式：2x2 xy3y26x+14y 8； （ x 23x3）（ x 2+3x+4 ） 8；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载299

19、1（ x+1）x+2x+3x+4 48；（ 2x7）2x+5x6分解因式： x 2y2+1x2y2+4xy；x2y2+2x4y3；x4+x22ax a+1；（ x+y）4+x4+y4 ；（ a+b+c）3（ a 3+b3+c3）7己知： n 是大于 1 的自然数求证：4n2+1 是合数8己知： fx=x2+bx+c ,gx=x4+6x2+25, px=3x4+4x2+28x+5 ,且知fx 是 gx的因式,名师归纳总结 也是 px的因式求：当x=1 时, fx 的值第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载练习参考答案

20、1添项,配成完全平方式仿例 3 2拆中项,仿例1 3拆项,配成两数和的立方名师归纳总结 原式 =x+y3+y3 原式 =x-3a3+a 3 原式 =a+13+b+13 第 10 页,共 10 页4 用因式定理,待定系数法,仿例5, 6 x=1 时,原式 =0,有因式 2x1 25看着是某代数式的二次三项式,仿例7 原式 =（2x-7）x+32x-5x-3-91=2x2-x-82x2-x-28= 6分组配方原式 =x2+12-x+a2 把原式用乘法绽开,合并,再分解以 a=b 代入原式 0,故有因式a+b 7可分解为两个非1 的正整数的积8提示 gx,px 的和,差,倍仍有fx 的因式,3gx-px=14x2-2x-5 与 fx 比较系数 ,f1=4 - - - - - - -