2022年微分几何试题库.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何一、判定题1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ ）2 22、二阶微分方程 A , u v du 2 B , u v dudv B , u v dv 0 总表示曲面上两族曲线. （）uuur uuur3、如 r t 和 均在 a,b连续,就他们的和也在该区间连续（ ）uuur4、向量函数 s t 具有固定长的充要条件是对于 t 的每一个值,uuur uuurs t 的微商与 s t 平行（ ）5、等距变换肯定是保角变换 .（）6、连接曲面上两点的全部曲线段中,测地线肯定是最短的 .（）7、常向量的微商不等于零（）8、螺旋线 x=co

2、st,y=sint,z=t 在点（ 1,0,0）的切线为 X=Y=Z （ ）uuur9、对于曲线 s= 上一点（ t=t 0）,如其微商是零,就这一点为曲线的正常点（ ）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（ ）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（ ）12、单位切向量的模是 1（ ）13、每一个保角变换肯定是等距变换（ ）14、空间曲线的外形由曲率与挠率唯独确定 .（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0,这里 F 是第一基本量 .（）二、 填空题16、曲面上的一个坐标网,其中一族是测地线17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（ 1,0,0）的法平面是 _ y+z

3、=0, . 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18.设给出1 c 类曲线 :rrt,at.b就其弧长可表示为brtdta19、已知 r rcos 3x ,sin 3x ,cos 2 ,0 x,就r 1 3cos x ,3sin x , 4,r2 5sin x ,cos x ,0,r 14cos x , 4sin x , 3,6,8；5 25sin 2x 25sin 2x20、曲面的在曲线, 假如它上面每一点的切点方向都是渐近方向,就称为渐进曲线；21、旋转面 r= cos, sin, t , 他的坐标网是否为正

4、交的._是_填“ 是” 或“ 不是” . 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_法线 _线. 23.任何两个向量p, 的数量积pqpqcospq24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为_等距 保长 变换 _. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_常数_数填“ 常数” 或“ 特别数”.26.如曲线 c用自然参数表示rrt,就曲线 c在P0s点的亲密平面的方程是Rrs0,rs 0,rs 0027.曲线的基本三棱形由三个基本向量和亲密平面、法平面、从切平面2 228.杜邦指标线的方程为 Lx 2 Mxy Ny 129、已知曲面 r r u cos , sin ,6 ,u 0, 0 v,就它的第

5、一基本形式2为 du 2 u 236 dv 2,其次基本形式为 2 12du dv,高斯曲率u 36K 2 362,平均曲率 H 0 ,点 1,0,0 处沿方向 du dv 2 的法曲 u 36率 2437,点 1,0,0 处的两个主曲率分别为 6, 6；1517 37 372 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 30、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间假如存在一个保长映射,就这个映射肯定是 R 3中的合同或对称；31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零；32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平

6、面族的包络三、综合题33求曲线xtsint,ytcost,ztet在原点的亲密平面,法平面,切线方程；解：rtsint,tcost,tet,t,ettet,rtsinttcost,costtsinrt2costtsint,2sinttcost,t 2 etet在原点处t0r00 1, 1, ,r0 ,20 ,2 .r000,0, ,在原点处切平面的方程为 : 即XYZ0Rr0 ,r0,r0 0法平面的方程为 : 即YZ0Rr0r0 0切线方程为即zx3Rr0 r0XYZ01134、求曲面3 y 的渐近曲线；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - -

7、 - - - - - - - 解 设r r , , u v u3v3 就r ur1,0,3u2,r vr0,1,3 v2,r n|r rurr ur rvrr v|9u411 3 u2,3v2,19v4r r uu0,0,6u,r r uvr 0,r r vv0,0,6 0,Nr rn r vv9u46 vr r n r uu9 u46 u41,Mr r n r uvL94 v19 v因渐近曲线的微分方程为Ldu22Mdu dvNdv20v3 2C 2即udu22 vdv 或uduvdv0u3 2渐近曲线为u3 2v3 2C 或35.求双曲抛物面rauv,buv ,2uv 的第一基本形式解:r

8、auv,buv, 2uv ,Frua,b,2v ,rva,b,2u .2Erurua2b24 v2,rurva2b24uv, Grvrvra2b24 u2.2a2b24 uv dudva2b24u2dvIa2b24v2du236.运算球面Rcoscos,Rcossin,Rsin的其次基本形式 . 解: 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - rRcoscos,Rcossin,Rsin,rRcossin,Rcoscos, 0 ,cos,rRsincos,Rsinsin,R由此得到nEr2rR22 cos,Frr0,Gr

9、rR2,rrEGF=1e 1sin,sine 2cosRe 3RcosRcos0R2cosRsincosRsinsincoscoscos,cossin,又由于rRcoscos,Rcossin0, ,sin,rRsinsin,Rsincos,0 ,rRcoscos,Rcossin,R所以LrnR2 cos,Mrn0,NrnR ,因而得到R2 cosd22Rd237.假如曲面的第一基本形式du2dv22,2 ds运算其次类克力斯托费尔符u2vc 号. 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解:由于Eu21c2, F0,

10、 G u21c2v2v2所以Eu2 u22 vc 2 uu24 uc 3G u u2v2c 4v2E v2 u2v 2c2 vu24 vc 3G vu2v2c 4v2所以1E u22uc,22Evu22vc,112Eu2v2112Gv21 12Evu22 vc,2 12Guu22 uc, 2Ev22 Gv2,2 22Gv1Gu2 u2v222Euv2c2Gu2v2c38、已知曲面的第一基本形式为Iv du2dv,v0,求坐标曲线的测地曲率；解EGv,F0,G u0,E v1u-线的测地曲率g uEv012EG2v vv-线的测地曲率Gugv2GE6 名师归纳总结 - - - - - - -第

11、6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 39、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线 是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线 是测地线 . 1 2事实上,设 : u iu s i i 1,2,就 的切向量为 rr r1 dur r2 duds ds2记 a 1 du,a 2 du,Da 1da 1 1ij a du ,i jDa 2da 2 2ij a du i jds ds i j i j就曲线 的切向量r沿 平行移动 D r 0 rDa 10, Da 20i 2 k i jDa0 i 1

12、,2 d u2 kij du du 0 k 1,2ds ds i j ds ds为测地线40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线解:由于rucosv,usinv ,bv ,另一族是螺旋线 . 由于LNE,1F0 ,Gu2b2,L0,Mu2bb2,N0.0 ,所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,就一族渐近线是ru0cosv,u0sinv ,bv ,这是螺旋线 ,另一族渐近线是rucos v0,usinv 0,bv 0,这是直线 . 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 41、设空间两条曲线和 C 的曲率到处不为零,如曲线

13、和 C 可以建立一一对应,且在对应点的主法线相互平行, 求证曲线 角. 和 C 在对应点的切线夹固定证设:r rr r s ,:r rr r ,就由r/r知rrrr,ds0从而rr0,rr0,drrrrdsdsrrconstant,即cosr,rC这说明曲线和 C 在对应点的切线夹固定角 . 42、证明rt具有固定方向的充要条件是证明 :必要性 设rttrtrt0rt0te e为常单位向量 ,就rtte ,所以rt充分性 : rtte e t为单位向量函数 ,就, rtte ttet由于rt0,于是trtrt2te tet.0,当rtrt0,从而有e tet0,8 名师归纳总结 - - - -

14、 - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即e t/et,由于e tet依据e t1,因此et0即e t为常向量 ,所以rtte t有固定方向43、给出曲面上一条曲率线,设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角 . 求证是一条平面曲线 . . 证设:r rr u v r , ,:uu s vv s ,其中 s是的自然参数,记r r ,就r n r rcos,两边求导,得rr nr rdr nr 0,ds由为曲率线知 dn r/ dr r ,即 ddr n/dr rr , 因此rn rr rdr nnr rdr r0sdsdsds如0 ,就为平

15、面曲线；如n rr0,就因为曲面上的一条曲率线,故 dr nndr r . 而nr nrr nr0,所以 dr nr 0,即 nr为常向量 . 于是为平面曲线 . 44、求圆柱螺线R（t）acost,asint,bt在t3处的切线方程；解3rtacost,asint,bt,brtasint,acost,b ,2,3a,r323t时,有r33a,a,b .22所以切线的方程为9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - Pr3r3即p123ae 132ae23be 3假如用坐标表示,就得切线方程为X3aY3aZb3b,2a2

16、a22即2xa2 Ya3atZ3b,at从 t=0 起运算的弧长；3abracosh,asinht45、求双曲螺线解：racosht,asinht,at,rasinht,acosht,a 从 t=0 起运算的弧长为=t 0|rt|dttx2y2z2dt0ta2sinh2ta22 coshta dttta2sinh2t1 a22 coshtdt0ta22 coshta22 coshtdt02 asinht.10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 46、求球面rRcoscos,Rcossin,Rsin的第一基本形式；

17、解： 由rRcoscos,Rcossin,Rsin,可得出rRcossin,Rcoscos0, ,rRsincos,Rsinsin,Rcos,由此得到曲面的第一类基本量ErrR2cos2,Frr0,2GrrR因而IR2cos2d2R2d247、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点全部方向在法曲率中的最大值和最小值；证明设k 1k nk2假如K1K2,可以交换坐标2u和v,由欧拉公式知2 1cos2kk 1cos2kk 1k2cos2,于是k2knk2k1cos20因此k2kn同样又可以得到knk 1k 2k 1sin20 ,由此11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共

18、16 页精选学习资料 - - - - - - - - - k2kn即k1knk2k 法曲率的最大值和最小值；这就是说,主曲率k2, k 1是48、曲面的第一基本形式为IEudu2Gudv2求证：（ 1）u-曲线是测地线；（2）v-曲线是测地线,当且仅当Guu0证明：u曲线的方程为dv0 . 由dv1sin0,dsG得到sin 0 所以0 代入刘维尔公式得k gd ds21lnEcos21ElnGsin0,0 ,Gvu因此得到2得d就有u曲线是测地线；（2）如 u曲线为测地线,由,ds0011lnGsin0Eu即Gu012 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学

19、习资料 - - - - - - - - - 49、R 中全体合同变换构成一个群,称为空间合同变换群；3证明： 由于（1）空间两个合同变换的组合仍是一个空间合同变换；（2）空间三个合同变换的组合满意合里律；IT（ 3 ） 恒 同 变 换I:x ixii,123, 与 空 间 任 何 合 同 变 换 T的 组 合TIT,因此 I 对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4）空间任何合同变换肯定有逆变换,而且这个逆变换仍是空间合同变换；50、沿曲线面上一条曲线平行移动时,保持向量的内积不变；证明： 沿曲线（ C）给出两个平行的向量场,在曲面上取正交坐标网（u1 u2,就）1u2e2,v1 ve 1v

20、2v2e 2,0,u1e 1udu2u1 w 20 ,1 dvw1 2dsdsdsdsdu2u12 w 10 ,dv2v12 w 10dsdsdsds所以duvdu1v1u2v2udu2.v2u2.dv20dsdsdu1.1 vu1.dv1dsdsdsdsu21 v1 v2u1v2u2v12 w 1ds13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 51、设曲线 C :rrt是具有周期的闭的正规平面曲线, 假如把参数换成自然参数,就它的周期是L=0r/tttdt,L 的闭曲线的周长 . 证明sttrr/dttr/tdt,

21、0/dt0由于rtrt,所以r/tr/t.我们得到stLtr/tdtLst, 0所以有r s L r s t L r s t r s t r s . 52、对于空间简洁的、正规闭曲线,至少存在一条切线与给定的方向 l 正交 . 证明 取 l 为坐标系的 z 轴方向 .设曲线 C 的自然参数表示是C : r s x s , y s , z s , s ,0 L .因而单位切向量为.,. L,使得asxs,yszs依据微积分中值定理,存在s 0,014 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - zLz0L0.zs 0,但是z

22、Lz0,所以.zs 00,即as 0.xs 0,.ys 0,0,这表示a s 0垂直于z 轴 ,即与方向 l 正交；53、单位球面上的曲线C ,如kg,0就其中.:1,rs. 由于kkkkgkk21. 证明设单位球面上的曲线Crr21,从而有r .a=0,所以a.ar.k0 ,即1+kr.0.由上式得15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - .kr.k. r.kr.0,利用伏雷内公式,化简后得如令nr- .kkknr.,=0. k, 由于k g.kr就有.kkkgn=0. 并且由于但是单位球面上曲线的法曲率k,1k2k2k2,ng所以因此当kgk gk2g1 ,k.11. 0 时,有.kkkkk216 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页