2022年广工概率论第四章习题.docx

《2022年广工概率论第四章习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年广工概率论第四章习题.docx（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 试依据习题3 第 1 题随机变量优秀学习资料欢迎下载的分布函数,并的概率分布列写出画出分布函数的图形；解：概率分布列为x001x020 .3. 0270. 189. 44134300其分布函数为F0 .0270xx10 .2161x20 .6572x313（图形略）；2 . 已 知 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是名师归纳总结 Fx0,1,10 5,10 1x104第 1 页,共 13 页0x21xx112试 求的 概 率 分 布 列 ；0 101解：P0 F0 F01010P1F1F10 5 1012221010P1F

2、1F 10 1551010011.2 415101010- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 已 知的 分 布 函 数 为优秀学习资料欢迎下载名师归纳总结 试 求0,1x01第 2 页,共 13 页Fx1,x3 1,0x12 2,1x23 12x2的 分 布 函 数 ；解：P1F1F1010133P0 F0 F00111236P1 F1 F10211326P2 F2 F2012133而1 10 11 12 1.0y01.36632,从而0 11 14 16230 1y的分布函数为Fy 6 21y43 1y4- - - - - - -精选学习资料 -

3、- - - - - - - - 4. 已知离散型随机变量优秀学习资料欢迎下载以写出的分布列和分布函数可0 1115.2 1301 .2 ,P0.05 ,再求常数a,b ,abc360 ,x1r,1x0Fxs ,1 ,2t ,0x11x22x3u ,3x其中a,b ,c ,r,s ,t,u是常数,试先求概率Pc ,r,s ,t ,u 的值；解：P1 .2 F1 2.F12.01122112P0 .51P0.51P0330P1F1 F10 r0rr1P0F0F00 srss1 303aP1 F1 F101s1a1 6261P2F2F20t1t2 362又x3 时,Fx1,u1c1 3cP3 F3

4、F30 12133而ip i1,从而1ab1c1,b36因此,a1,b0,c1,r0,s1,t2,u1.63335. 设连续型随机变量的分布函数是名师归纳总结 求系数AFxABex2,x0第 3 页,共 13 页2和B.0,x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料x欢迎下载2解：由x limFx1,得x limABe2A,1.以A1xlim x 0Fx又由于连续型随机变量的分布函数也连续,所limx 0Fx2从而0lim x 0ABe2AB,B6.设随机变量的密度函数为fx1A2,x1xx11.0x ,x1试求：（1）系数A；2dx1（2）概

5、率P1；2（3）分布函数Fx.解： 1 fxdx1,11Ax1解得A11x2dx12P1P1112 12221323Fxx0 1x2dxx111101xarcsin1x11 12x11x17.设随机变量听从拉普拉斯分布,其密度函数为名师归纳总结 fxAex,x第 4 页,共 13 页试求：（1）系数A；（2）概率P01;（3）分布函数Fx.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：1f x dx1,优秀学习资料欢迎下载1Aexdx解得A1xx0.22P0111exdx11exdx11e10202223F x 01x1x e dxexdx0xx011exx0

6、22e dxx11 2e2028.设随机变量听从瑞利Rayleigh分布,其密度函数为fxxex22,x0220,x0试求：E,D,PE.解：Exfxdx0xxex22dx222E2x2fxdx0x2xex22dx2222DE2E2222PEP22xex22dxe4.229 . 在每次试验中,大事A 发生的概率为0 . 5,试用切比雪夫不等式估量,在名师归纳总结 1000 次独立重复试验中,事件A 发生450 到 550 次之间的概率；np500,第 5 页,共 13 页解：设在1000次试验中A 发生次,就B10000,.5,从而EDnpq250,由切比雪夫不等式得到：P450550P500

7、501D20 .9 .50- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10. 一个供电网内共有优秀学习资料欢迎下载灯开着1 万盏功率相同的灯,在夜晚的某段时间内每盏的概率是0 .7,设各盏灯的开或关彼此独立,求该时段内同时开着的灯数在6800到 7200之间的概率；使用切比雪夫不等式估算此概率的值；解：设代表同时开着得灯数,从而B100000,7.Enp7000,Dnpq2100由切比雪夫不等式可得P68007200P70002001D20.9475.率达20011. 设一条自动生产线生产的产品之合格率为0 .8,要使一批产品的合格到0.76 与 0. 84之间

8、的概率不小于0 .9,试用切比雪夫不等式估量这批产品至少应生产多少件；解：设至少生产n件,其中合格品件数为Bn,0 .8 ,的值,从而Enp08.n,Dnpq0.16n又P0. 76n0.84P0 .76n0. 84n P0 .8 n0 .04n10Dn21100. 04n由题意P0 .76n0 .840 .9所以11000.9,从而n1000n故,至少应生产1000件产品；12 . 设随机变量在0, 上听从匀称分布,试求一常数a,使任取4 次名师归纳总结 至少有1 个大于a 的概率为.0 9；1B 4 ,p 第 6 页,共 13 页解：的密度函数fx 1x 0 1, 0其他令A“ 取1 次的

9、值大于a” ,就pPA afx dx11 dx1aa令代表4 次取值中,大事A发生的次数,就P1 1P0 1C0p01p 4a40 . 94从而a4.0 1a40 1.0 . 562 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13. 设随机变量在1 ,6优秀学习资料欢迎下载x2x10 有实根的概率；上听从匀称分布,求方程解：的密度函数为fx1x1 6, dx5 0其他方程x2x10 有实根,就2402 或2px240fx dx20 dx61dx4.25514 . 客车到达某一站的时刻为每个整点的第5 分、25 分、55 分钟；设一乘客在早8 点到9 点间随时

10、到达该站,求候车时间的数学期望；解：设乘客到站时刻为8 点分,就U0, 60,令候车时间为,就505255255525556055560E55x1dx2525x1dx55 25 55x1dx60 55 65x1060560606011.（分）715.假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量U2000, 4000单名师归纳总结 位：t,设每售出此商品1t,可得外汇3 万元,如因售不出而囤积,仓库就需第 7 页,共 13 页花保养费1 万元/t,问组织多少货源可使收益最大；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：U2000, 4000,就优秀学习资料欢

11、迎下载的密度函数为fx12000x4000是0 ,1 上的匀称分布；2000 0其他组织货源x0,再令收益为,就3x0x03x0x0E40003x01dxx03xx0x1dxx020002000200013x04000x019x28000x02020008要使E最大,就dE0,从而x03500（t）d16. 设随机变量具有连续的分布函数Fx,试证F解：由于Fx 单调连续,且0Fx1,从而FF1y y当y0 时,Py0当y1 时,Py1在y01, 时,PyPFy PF1yFy 00yy01从而fy 10y1y0其他1y1因此,F是01, 上的匀称分布；17. 设N1 ,22,试查表求出以下概率：

12、名师归纳总结 1 P2.2 ；2P1.64 .565 .8；第 8 页,共 13 页3P3.5；4P.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由于N,12 2优秀学习资料欢迎下载,所以有：名师归纳总结 1 P2 .2 P21.221 P21.06 .0 6 0 . 7257,第 9 页,共 13 页22P1 6.5 . 8 P1 . 61215 . 81P1 . 3212 4. 222 . 4 1 3.2 4. 1 . 3 1.0 89503P3 5.P .3 53 5. P.351213 . 5122.1 25 2 . 2510 . 88224 P4

13、. 56 1P4 . 56.456 1P4 . 561214 . 561221 1 . 78 2 . 78 1 .0 0402 .18. 设N60 , 9 ,试求出分点x 1,x2,x3,x4使落在区间,x 1,x1,x2x2,x3,x3,x4,x4, 内的概率值之比为7：24：38：24：.解：由N60,9,令360N0 1, 由正态分布密度函数的对称性,可见x460x160,x360x260由x33600 .69,得到x33600.496,从而x361.488,x258.512由x43600 . 93,得到x43601.474,从而x464.422,x 155. 578.19. 设N2,2

14、,如P120. 6826,求.解：由N2,2,令2N01, P12P12222P3211 31 310 .682630. 8413,从而31,因此3.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20. 测量到某一目标的距离优秀学习资料欢迎下载时发生的随机误差（米）具有概率密度fx401ex2021032002求在3 次独立的测量中至少有1 次误差的肯定值不超过30 米的概率；解：由题意,N220 , 40令A“1 次误差的肯定值不超过30 米” ,就P A P30 P3030 P30202030 20404040P.125200 . 25 .025 1 . 25

15、 10 . 493140以代表3 次独立重复测量中,时间A 发生的次数,就B 3 , 0 . 4931 P1 1P1 1P0 1 10 . 4931 30 . 8698 .21. 试用棣莫弗拉普拉斯定理重新估算前面第10 题的概率,并说明与第题的结果相比较孰优、孰劣,为什么？0 .9解：由题意,B10000,0 .7,由棣莫弗拉普拉斯定理,P68007200P6800700010700072007000102121102124 .3610 .999这个结果当然比用切比雪夫不等式估算得好,那时只用的数学期望及方差的信息,现在用了是二项分布这个信息；22.试用棣莫弗拉普拉斯定理重解前面第11 题,

16、并对所得结果作一比较；解：设Bn ,0 .8 ,由棣莫弗拉普拉斯定理,P0. 76n0. 84P0 .76 n08.n.00 .8 n0. 84n.08n20 .1n10. 16n16 n.016n0 .1n.095,查表可得01.n1 . 64,所以n268 . 96因此,n至少为269 件；这个结果比用切比雪夫不等式估算得好,但是,当随机变量只有数学期望及方差,而无概率分布方面的信息时,切比雪夫不等式仍是特别有用的；23. 设电视机的使用寿命是听从参数值0.1 的指数分布,某人买了一台名师归纳总结 旧电视机,问尚能使用5 年以上的概率；如不听从指数分布,设其分布函第 10 页,共 13 页

17、数为Fx,且已知此电视机已用过s 年,就上述的概率将成什么？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：的密度函数为fx优秀学习资料欢迎下载0 1. e.01xx00其他P55.0 1 e0.1xdxe.050 . 606511Fs5 .1,0 上P s5s P s51Ps5 Ps 1Ps 1eFs 24 . 设随机变量听从参数为2 的指数分布,试证2在区间听从匀称分布；解 ：E2,的 密 度 函 数 为 fx2e2xx01y0其 他当0y1 时 ,PyP1e2yP1ln12FyP01ln1y2e2xdxfy为20y0y10yyy0y1,0其 他1y11e2

18、U0,1.分布,其概率密度函数25. 某厂产品的寿命T（单位：年）听从指数tf t 15 e 5 , t 00 , t 0工厂规定,售出的产品 如在 1 年内损坏可以调换；如 工厂售出 1 件产品可获利 100 元,调换 1 件产品工厂要缺失 300 元,试求工厂售出 1 件产品获利的数学期望值；名师归纳总结 解：由题意,1件产品获利p1000TT1127.49第 11 页,共 13 页300就Ep13001etdt11001etdt400e0.23005505526 . 设一个部件的失效时间T（单位：h）听从正态分布,TN 90 ,2 5,为了获得0 . 90,.095,. 99 的牢靠度,

19、应分别考虑让这个部件参与多少小时的运行；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由题意,TN90,52优秀学习资料欢迎下载性函数为,就正态失效率的牢靠T t tR t P T t 1 P T t 1 P 1 从而 1 t 90 90 t 0 . 9（或 0 . 95 或 0 . 99）5 5查表得 90 t1 . 28（或 1 . 64 或 2 . 33）5从而 t 83 . 55（或 81 . 77 或 78 . 35）小时；27 . 设一个装置的寿命长度 当 0 t t 0 时,具有常数失效率 C 0,而在 t t 0 时具有另一个常数失效率 C 1

20、,试求失效时间 T 的概率密度；解：由定理 4,如失效时间 T 是具有密度函数 f 的随机变量,且 F 0 0,就 f 用失效率 Z 可表成tZ t dsf t Z t e 0从而 t 0,f t 0t0 t t 0,f t C 0 e 0C 0 dsC 0 e C 0 tt 0 tt t 0,f t C 1 e 0C 0 dst 0 C 1 ds C 1 e C 0 t 0 C 1 t t 0 0 t 0C 0 tf t C 0 e 0 t t 0 .C 1 e C 0 t 0 C 1 t t 0 t t 028 . 设某个卫星的寿命长度 是听从指数分布的随机 变量,期望寿命是 2 年,如同

21、时发射 3 颗这样的卫星,问 3 年后,至少仍有 1 颗卫星仍在轨道上运行的概率；名师归纳总结 解：令代表某个卫星的寿命长度,由于E2,从而1,第 12 页,共 13 页2所以E1,其密度函数为2fx0 5.e0.5xx00其他B3 ,e15.令A“3 年后,此卫星仍正常运行” ,就PAP330 .5 e.05xdxe.15令代表“3 年后,仍在轨道运行的卫星数量” ,就P1 1P11P0 11e1.530.532- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 29 . 设有优秀学习资料欢迎下载行t3 个相互独立运行的部件联成如题图的1 个系统,如每个部件运小时的牢靠度是又设TR te.003t（以小时计）,试求T的概率密度及系统的是这个系统的失效时间牢靠度；解：先考虑并联组,并C1C3C2t 小时的牢靠度联组运行名师归纳总结 R1,2tPT1,2t1PT1,2t01PT1t,T2tt2第 13 页,共 13 页1 1R1t1R2t1 1e.003t2R3再考虑串联,该系统运行t 小时的牢靠度tR,12tR总tP T总tPT1,2tPT3. 03t.003t 1 1e0.03t2e.003tee0. 03t1e2e0. 06te0. 09tt0t0 0.ftRt0.12e0.06t00 . 09e.009 tt- - - - - - -