2022年参数方程与极坐标.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载参数方程与极坐标参数方程学问回忆：一、定义：在取定的坐标系中,假如曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个参数 t 的函数,x f t 即 y f t ,其中, t 为参数,并且对于 t 每一个答应值,由方程组所确定的点 M（x,y）都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x、y 之间关系的变数 t叫做参变数,简称参数二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（ x0,y 0）,半径等于r 的圆：xx0rcos为参数,的几何意义为圆心角） ,yy0rsin（特别地,当圆心是原点时,xrcosyrsin留意：

2、参数方程没有直接表达曲线上点的横纵坐标之间的关系,而是分别表达了点的横纵坐标与参数间的关系；Eg1：已知点 P（x,y）是圆 x 2+y 2-6x-4y+12=0 上的动点,求：（1）x 2+y 2的最值；（2）x+y 的最值；（3）点 P 到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值；Eg2：将以下参数方程化为一般方程（1） x=2+3cos（2） x=sin（3） x=t+1t y=3sin y=cos y=t2+1t2总结：参数方程化为一般方程步骤：2、椭圆的参数方程：（1）消参（ 2）求定义域名师归纳总结 中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆：M点第 1 页,共 10 页xacos（为参数,

3、的几何意义是离心角,如图角AON是离心角）ybsin留意：离心率和离心角没关系,如图,分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,的轨迹是椭圆,中心在（x 0,y 0）椭圆的参数方程：xx 0acosyy0bsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Eg：求椭圆x2y2=1 上的点到精品资料欢迎下载M（2,0 ）的最小值；36203、双曲线的参数方程：中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线：xxasec（为参数,代表离心角） ,中心在ybtan（x 0,y 0）,焦点在 x 轴上的双曲线：x 0asecyy 0btan4、抛物线的参数方程：顶点在原点,焦点在

4、x 轴正半轴上的抛物线：2x 2 pty 2 pt（t 为参数, p0,t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立刻可得到；三、一次曲线（直线）的参数方程过定点 P0（x0,y0）,倾角为 的直线, P 是直线上任意一点,设 P0P=t,P0P 叫点 P到定点x x 0 t cosP0 的有向距离, 在 P0两侧 t 的符号相反, 直线的参数方程 y y 0 t sin（t 为参数,t 的几何意义为有向距离）说明： t 的符号相对于点P0,正负在P0 点两侧 P0P=t 名师归纳总结 直线参数方程的变式：xx0at,但此时 t 的几何意义不是有向距离,只有当t 前面系第

5、 2 页,共 10 页yy0bt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载数的平方和是 1 时,几何意义才是有向距离,所以,将上式进行整理,得xx0ab2a2b2t,让a2b2t作为 t ,就此时 t 的几何意义是有向距a2yy0bb2a2b2ta2离；Eg：求直线 x=-1+3t y=2-4t,求其倾斜角 . 极坐标学问回忆：一、定义：在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）；对于平面内的任意一点 M,用 表示线段 OM的长度, 表示从 Ox 到 OM的角, 叫做点 M

6、的极径, 叫做点 M的极角, 有序数对 , 就叫做点 M的极坐标；这样建立的坐标系叫做极坐标系；MO图1x练习 : 在同始终角坐标系中,画出以下四个点A（1,4）B（2,3）C（3,-4）2摸索：上述点关于极轴以及极点的对称点说明：（1）极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位 方向,即极角, 即极径；角度单位及它的（2）在极坐标系下,一对有序实数、对应唯独点P, ,但平面内任一个点P 的极坐标不唯独,由于具有周期 . ,）（3）如无特别要求,就极径取正值. 直角坐标与极坐标的互化：直角坐标（ x,y）极坐标（名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - -

7、- - - - - - - 精品资料=x2欢迎下载y2 x=tan=y x直角坐标（ x,y）极坐标（,）y=cossin练习 1：将以下直角坐标化为极坐标 A（ 1,-1 ） B （1, ）练习 2：将以下极坐标化为直角坐标A（ 2,2） B （1, 2）2）3练习 3：分别求以下条件中AB中点的极坐标（1）（4,3）（ 6,-2）；（2）（4,3）（ 6,33二、直线的极坐标方程0或0+aaa OcoscosOM（,）OMM0ax图3图1图2a0acoscosaasinsinMMOaaO图4图5 aasinsin三、圆的极坐标方程名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10

8、 页精选学习资料 - - - - - - - - - aaM2a精品资料欢迎下载M2acoscosMOxOaxaOxx图3图1图22acosa2 acos2asin2asinMOaMaOx图4图52asin2asin四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）设 OA =P MO MN 其中,当e,pcose1epe cos0e1 为双曲线考点一：直线参数方程中参数的意义1已知直线 l 经过点P1,1 , 倾斜角6,y24相交与两点A B ,求点 P 到A B 两（1）写出直线 l 的参数方程；（ 2）设 l 与圆x2点的距离之积；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10

9、页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）直线的参数方程为x1精品资料6,即欢迎下载3ttcosx12y1tsin6y11 2t（2）把直线x13t代入x2y24得y21交于点M N ,求 PMPN2y11 2t13t211t24,t2 31 t2022t t 1 22,就点 P 到A B 两点的距离之积为22过点P10,0作倾斜角为的直线与曲线x2122的值及相应的的值；,代入曲线并整理得解：设直线为x10tcost 为参数2ytsin1 sin2 t2 10cos t3023名师归纳总结 就PMPNt t 1 22 1 sin2所以当sin21时,即2, PMPN 的最

10、第 6 页,共 10 页小值为3 4,此时2；y29截得的弦长为 . 3直线x12 t tt为参数 被圆x2y2代入5 t2,把直线x12 t12 tx1【解析】：x y52ty1t5 t1y2tt21255x2y29得12 2229,5t28 t405t 1821612,弦长为t 1t2 t1t224 t t 1 25555- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4直线x11 2t3t t精品资料x2欢迎下载交于A B 两点,就 AB 的中点坐标y为参数 和圆y2163 32为_ 解：11 2t2 3 343t216,得t238 t80,t1t28,t 1

11、2t242中点为x11 234x3yy3 32考点二：用极坐标方程、参数方程讨论有关的位置关系的判定1直线xtcos与圆x42cos相切,就_ ；ytsiny2sin2在极坐标系中, 已知圆2cos与直线3cos4sina0相切, 求实数 a 的值；考点三：用极坐标方程、参数方程讨论有关的交点问题1在极坐标系,02中,曲线2sin与cos1的交点的极坐标为 _2. 已知两曲线参数方程分别为x5 cos0 和x5t2 tR,它们的交点4yysint极坐标为 . 考点四：用极坐标方程、参数方程讨论有关的距离问题一、名师归纳总结 1求直线l1:x1tt为参数和直线ll2:xyy2 30的交点 P 的

12、坐标, 及点 P第 7 页,共 10 页y53 t与Q1, 5的距离；1 3 t t 为参数与直线2: 2x45相交于点 B ,又点A1,2,就2已知直线l 1:xy24 tAB_；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3直线x211ttt为参数精品资料y2欢迎下载2被圆x24截得的弦长为 _；1y2二、距离最大最小问题名师归纳总结 4在椭圆x2y21上找一点,使这一点到直线x2y120的距离的最小值；第 8 页,共 10 页1612解：设椭圆的参数方程为x4cos,d4cos4 3 sin125y2 3 sin4 5cos3sin34 52cos3355

13、当 cos31时,dmin4 5,此时所求点为2, 3 ；55点 P在椭圆x2y21上,求点 P到直线 3x4y24的最大距离和最小距离；169解：设P4cos,3sin,就d12cos12sin24即d122 cos424,55dmin当cos41时,d max12 2 52；当cos41时,122 52；考点五：极坐标方程与参数方程混合1 在直角坐标系xoy中,直线 l 的参数方程为x352t,（t 为参数）；在极坐标系 （与2y2t2直角坐标系 xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,圆C的方程为2 5sin；（） 求圆 C的直角坐标方程； （） 设圆 C与直

14、线 l 交于点 A、B,如点 P 的坐标为 3,5 ,求|PA|+|PB|；【解析】（）由2 5 sin得x2y22 5y0,即x2y525.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）将 l 的参数方程代入圆精品资料欢迎下载2t22t25,C的直角坐标方程,得322名师归纳总结 即t23 2t40,由于3224420 ,故可设t1,t 是上述方程的两实根,第 9 页,共 10 页所 以t1t243 2 ,又直线l过点P3, 5,故 由 上 式 及t的 几 何 意 义 得 ：t t 1 2|PA|+|PB|=| t |+|t |=t +t = 3 2 ；2

15、在直角坐标系xoy中,曲线C 的参数方程为x2cos为参数）,M为C 上的y22sin动点, P点满意OP2 OM ,点 P 的轨迹为曲线C （I ）求C 的方程；（II ）在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3与C 的异于极点的交点为A,与C 的异于极点的交点为B,求 |AB| 解：（I ）设 Px ,y ,就由条件知MX,Y. 由于 M点在 C1上,所以22x2cos,即x4cossin2y22siny442从而C 的参数方程为x4cos（为参数）y44sin（）曲线C 的极坐标方程为4sin,曲线C 的极坐标方程为8sin；射线3与C 的交点 A 的极径为14sin

16、3,射线3与C 的交点 B 的极径为28sin3；所以|AB| |21|2 3. 3. 已知直线 C1：x1tcos ,t 为参数 ,圆 C2：xcos 为参数 ytsin ,ysin ,1 当 3时,求 C1与 C2的交点坐标；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 过坐标原点精品资料欢迎下载变化时,求P点轨迹O作 C1的垂线,垂足为A,P 为 OA的中点当的参数方程,并指出它是什么曲线名师归纳总结 解： 1 当 3时, C1的一般方程为y3x 1 ,C2的一般方程为x2y21. 第 10 页,共 10 页联立方程组y3x,解得 C1与 C2 的交点为 1,0 , 1 2,3 2 x2y2 1,2 C1的一般方程为xsin ycos sin 0.A 点坐标为 sin2 , cos sin ,故当 变化时, P 点轨迹的参数方程为x1 2sin2 , 为参数 y1 2sin cos ,P点轨迹的一般方程为x1 42y 21 16. 故 P 点轨迹是圆心为1 4,0 ,半径为1 4的圆- - - - - - -