2022年向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 2.2.2 向量减法运算及其几何意义一学问点梳理1用“ 相反向量” 定义向量的减法：1 “ 相反向量 ” 的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量 记作 a2 规定：零向量的相反向量仍是零向量,且 a = a；任一向量与它的相反向量的和是零向量 即 a + a = 0；假如 a、b 互为相反向量,就 a = b, b = a, a + b = 03 向量减法的定义：向量 a 加上 b 的相反向量,叫做 a 与 b 的差即： a b = a + b 求两个向量差的运算叫做 向量的减法2用加法的逆运算定义向量的减法：如 b +

2、x = a,就 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a b 3 减法的三角形法就 ：在平面内取一点 O,作 OA = a, OB = b, 那么连接两个向量的终点并指向被减向量方向的向量就是两个向量的差向量 . 即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量留意： 1 AB 表示 a b 强调：差向量“ 箭头” 指向被减数 . 4. 向量减法运算的记忆口决：共起点,连终点,方向指向被减数（方向由后指前）5. 向量减法与向量加法的比较：（1）加法：首尾相连,从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点,连终点,方向指向被减数6. 向量减法的字母公式：ABACCB二例题

3、讲解例 1. 已知向量 a、b、c、d,求作向量 a b、c d解：在平面上取一点O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载作 BA , DC , 就 BA = a b, DC = c d例 2. 已知,在平行四边形ABCD 中,ABa,ADb,用 a , b 表示向量 AC 、DB 解：由平行四边形法就得： D C AC = a + b,DB = ABAD = a b b a B A 例 3.如| AB |=8,| AC |=5,就

4、 |BC |的取值范畴是 D.3,13 B.3,8 C.3,13 A.3,8 解析 : BC = AC - AB . 1 当 AB 、 AC 同向时 ,| BC |=8-5=3; 2 当 AB 、 AC 反向时 ,| BC |=8+5=13; 3 当 AB 、 AC 不共线时 ,3| BC | a- b|, 异向就有 | a+b|0时, a 的方向与 a 的方向相同；当 0时, a 的方向与 a 的方向相反；特殊地,当 =0或a =0时,a =0. 2. 运算律：设 a 、 b 为任意向量, 、 为任意实数,就有：名师归纳总结 （1）+ a=a+a；（2） a= a ；（3） a+b=a+b.

5、 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载通常将（ 2）称为结合律,（1）（3）称为安排律；3. 共线向量定理向量aa0 与 共线 当且仅当有唯独一个实数,使ba.二例题讲解1 34 ;2ab a ;c.例 1,运算23 ab 32a3 bc 3 a2 b解：1 3 4a =-12 ac23ab 2aba=3 a+3 -2a+2b a=（3 2 1） （3 2）b=5 b32a3 bc3a2 b=（ 2 3）a+（3 2）b c c=- +5b-2c例 2 如图 3, 已知任意两个非零向量a、b, 试作 OA =a+

6、b, OB =a+2b, OC =a+3b. 你能判定 A、B、C 三点之间的位置关系吗 .为什么 . 图 3 解: 如图 3 分别作向量OA、OB、OC过点 A、C作直线 AC.观看发觉 , 不论向量 a、b 怎样变化 , 点 B始终在直线 AC 上, 猜想 A、B、C 三点共线 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载事实上 , 由于 AB =OB - OA =a+2b- a+b=b, 而 AC =OC - OA =a+3b- a+b=2b, 于是 AC =2 AB . 所以 A、B、C三点共线

7、 . 点评 : 关于三点共线问题 , 同学接触较多 , 这里是用向量证明三点共线 , 方法是必需先证明两个向量共线 , 并且有公共点 . 例 3 如图 4, ABCD的两条对角线相交于点 M,且 AB =a, AD =b, 你能用 a、b 表示 MA、MB、MC、和 MD 吗. 图 4 解: 在 ABCD中, AC = AB + AD =a+b, DB = AB - AD =a- b, 又平行四边形的两条对角线相互平分 , MA = 1 AC = 1 a+b= 1 a-1 b, 2 2 2 2MB = 1 DB = 1 a- b= 1 a-1 b, 2 2 2 2MC = 1 AC = 1 a

8、+ 1 b, 2 2 2MD = MB =-1 DB =-1 a+ 1 b. 2 2 2点评 : 结合向量加法和减法的平行四边形法就和三角形法就 , 将两个向量的和或差表示出来 , 这是解决这类几何题的关键 . 例 4. 如下图所示, 凸四边形 ABCD的边 AD、 BC 的中点分别为 E、 F, 求证: EF = 1 AB +DC . 2分析 : 能否构造三角形 , 使 EF 作为三角形中位线 , 借助于三角形中位线定理解决 , 或制造相同起点 , 以建立向量间关系 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

9、 欢迎下载图 5 解: 方法一 : 过点 C在平面内作 CG = AB , 就四边形 ABGC是平行四边形 , 故 F 为 AG中点 . 如图 5 EF是 ADG的中位线 . EF 1 DG. 2 EF = 1 DG . 2 而 DG = DC +CG =DC + AB , EF =1 AB +DC . 2方法二 : 如图 6, 连接 EB、EC,就有 EB =EA + AB ,EC=ED +DC, 图 6 又 E是 AD之中点 , 有 EA +ED =0, 即有 EB +EC = AB +DC . 以 EB 与 EC 为邻边作EBGC,就由 F 是 BC之中点 , 可得 F 也是 EG之中点

10、 . EF =1 EG = 21 EB +EC = 21 AB +DC . 2点评 : 向量的运算主要从以下几个方面加强练习:1 加强数形结合思想的训练, 画出草图帮忙解决问题;2 加强三角形法就和平行四边形法就的运用练习,做到精确娴熟运用 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三课堂练习1. 在 ABC中,BC =a, CA =b,就 AB 等于 ）A. a+b B.-a+- b. C.a- b D.b- a2在ABC中,ABc , ACb ,如点 D 满意BD2DC ,就 AD =（A. 2

11、3b1c. B. 5c2b C. 2b1c D. 1b2c33333333、如图 ABCD是一个梯形 ,AB CD且 AB=2CD,M,N分别是 DC和 AB的中点 , 如= a , = b, 试用 a,b 表示和 . 四内容小结本节我们主要学习的内容是：1. 向量的数乘运算的定义2. 向量的数乘运算的运算法就（运算律）3. 两个向量共线的基本定理五课后作业名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【学问梳理、双基再现】1、相反向量：规定与 a _的向量, 叫做 a 的相反向量, 记作 _,向量 a 与

12、a 互为相反向量,于是 a + a =_；2、向量的减法我们定义,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,即a 与b 是互为相反的向量,那么 a=_, b =_, ab =_；3、向量减法的几何意义：已知 a ,b ,在平面内任取一点O,作OAa OBb ,就_= ab ,即 ab表示为从减向量_的终点指向被减向量_的终点的向量；【小试身手、轻松过关】名师归纳总结 1、在菱形 ABCD 中,以下各式中不成立的是（）第 9 页,共 11 页A ACABBCB ADBDABC BDACBCD BDCDBC2、以下各式中结果为O 的有（） ABBCCA OAOCBOCO ABACBDCD MNNQ

13、MPQPABCD3、以下四式中可以化简为AB的是（） ACCB ACCB OAOBOBOAABCD4、在下面各式中,不能化简为AD的是（）AABCD BCBADMB BCCM C MBADBMD OCOACD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【基础训练、锋芒初显】5、在 ABC 中,向量 BC可表示为（）a OBb OCc 就 EF = ABAC ACAB BAAC BACAABCD6、已知 ABCDEF 是一个正六边形, O 是它的中心, 其中OA（）A abB baC cbD bc7、当 C是线段 AB的中点,就ACBC =（）A

14、 AB B BA C AC D O8、在平行四边形ABCD中, BCCDAD 等于（）A BA B BD C AC D AB【举一反三、才能拓展】9、化简： AB DA BD BC CA =_；10、一架飞机向北飞行 300km后转变航向向西飞行 400km,就飞行的总路程为 _,两次位移和的和方向为 _,大小为 _；11. 已知 ABCD的两条对角线 AC与 BD交于 E,O是任意一点,求证： OA+OB +OC +OD =4OE12. 如图, OA, OB 不共线, AP =t AB t R 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 用 OA, OB 表示 OP . 2 设 OA、OB不共线,点 P在 O、A、B所在的平面内,且OP1t OAtOB tR .求证： A、B、P三点共线 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页