2022年微分几何第四版习题答案梅向明.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答13 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答14 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答15 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答16 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - -

2、 - - 微分几何主要习题解答17 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答18 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答19 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答20 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答21 名师

3、归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答22 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答 1 曲面的概念1. 求正螺面 r = ucos ,u sinv, bv 的坐标曲线 . sin v ,0 ,解 u- 曲线为 r =ucosv ,u sin v ,bv0 =0,0 ,bv0u cosv ,为曲线的直母线； v- 曲线为 r =u 0cos ,u 0sinv,bv 为圆柱螺线证明双曲抛物面 母线；r au+v

4、, b u-v ,2uv 的坐标曲线就是它的直证 u- 曲线为 r = au+ v , bu-v ,2u v = a v , b v ,0+ ua,b,2 v 表示过点 a 0v , b v ,0 以a,b,2 0v 为方向向量的直线 ; v- 曲线为 r =au +v, bu 0-v ,2 u 0 v=a u , b u 0 ,0 +va,-b,2 u 0 表示过点 a u , b u 0 ,0 以a,-b,2 u 0 为方向向量的直线；3求球面 r = a cos sin , a cos sin , a sin 上任意点的切平面和法线方程；解 r = a sin cos , a sin s

5、in , a cos ,r = a cos sin , a cos cos 0, x a cos cos y a cos sin z a sin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos 0a cos sin a cos cos 0即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ；23 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答法线方程为 x a cos cos y a cos sin z a sin；cos cos cos sin sin2 2

6、4求椭圆柱面 x2 y2 1 在任意点的切平面方程, 并证明沿每一条直母线, 此a b曲面只有一个切平面；2 2解 椭圆柱面 x2 y2 1 的参数方程为 x = cos , y = asin , z = t , a br a sin , b cos 0, , tr 0 0, 1,；所以切平面方程为：x a cos y b sin z ta sin b cos 0 0,即 x bcos + y asin a b = 0 0 0 1此方程与 t 无关,对于 的每一确定的值,确定唯独一个切平面,而 的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面；35证明曲面 r u , v ,

7、 a 的切平面和三个坐标平面所构成的四周体的体积是常uv数；3 3证 ru ,1 0 ,u a2v ,rv 0 1, ,uv a2 ；切平面方程为：u xv y uva 3z 3；2与三坐标轴的交点分别为 3u,0,0,0,3v,0,0,0, 3 a ；于是,四周体的体积为：uv3V 1 3 | u | 3 | v | 3 a 9 a 3 是常数；6 | uv | 2 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面 r au+v, b u-v ,2uv 的第一基本形式 . 解r ua ,b ,2 v ,rva,b ,2 u ,Er2a22 b4 v2,u24 名师归纳总结 - - - - - - -第

8、12 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答Frurva2b24 uv ,Gr v2a2b24 u2, I = a2b24 v2du22a2b24 uv dudva2b24 u2dv2；求正螺面 r = ucos ,u sinv, bv 的第一基本形式,并证明坐标曲线互相垂直；G解rucosv ,sinv 0, ,r vusinv ,ucos v ,b ,E2 ur1,Fr ur v0,2 r vu2b2,I =du2 u2b2 dv2,坐标曲线相互垂直；在第一基本形式为I =du2sinh2udv2的曲面上,求方程为u = v 的曲线的弧长；解

9、 由条件2 dsdu2sinh2udv2, 沿曲线 u = v有 du=dv ,将其代入2 ds 得ds2du2sinh2udv2=2 2cosh vdv ,ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上,从v 到v 的弧长为|v2coshvdv|sinhv2sinhv 1|；dv2,求它上面两条曲线u + v v 14设曲面的第一基本形式为I = du2 u2a2= 0 ,u v = 0 的交角；分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量,即等距不变量,而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式,不需知道曲线的方程；解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E 1,F v 0,G u

10、2a 2,曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0, v = 0, 交点处的第一类基本量为 E 1,2F v 0,G a；曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , u v = 0 的方向为 u= v , 设两曲线的夹角为,就有2cos =Edu 2 EduGdv u2 GdvE u 2 uG v 2 11 aa 2；5求曲面 z = axy 上坐标曲线 x = x 0 ,y = y 的交角 . 解 曲 面 的 向 量 表 示 为 r =x,y,axy, 坐 标 曲 线 x = x 0 的 向 量 表 示 为25 名师归纳总结 - - - - - - -

11、第 13 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答r = x 0,y,ax 0y ,其切向量 yr =0,1,ax0 ；坐标曲线 y = y 的向量表示为 r =x , y ,ax y ,其切向量 xr =1,0,a y ,设两曲线 x = x 0与 y = y 的夹角为,就有 cos = r x r y a 2x 0 y 0| r x | r y | 1 a 2x 0 21 a 2y 0 26. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的方程 . 解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 u: v , 就有Edu u + Fdu

12、v + dv u+ G d v v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的正交轨线的微分方程为 E u + F v = 0 . 同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为F u + G v = 0 . 7. 在曲面上一点 , 含 du ,dv 的二次方程 P du + 2Q dudv + R 2dv ,确定两 2个切方向 du ：dv和 u ： v,证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ + GP=0. 证明 由于 du,dv 不同时为零,假定 dv 0,就所给二次方程可写成为 P du 2 + dv2Q du + R=0 , 设其二根 du , u , 就 du

13、u = R ,du + u = 2 Q 又依据二方dv dv v dv v P dv v P向垂直的条件知 E du u + F du + u + G = 0 dv v dv v将代入就得 ER - 2FQ + GP = 0 . 2 28. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E du =G dv . 证 用分别用 、d 表示沿 u曲线,v曲线及其二等分角线的微分符号,即沿 u曲线 u , v,沿 v曲线 u,v 沿二等分角轨线方向为 du:dv , 依据题设条件 , 又交角公式得Eduvu2Fdvu2FduGvvGdvv2,即EduFdv2FduGdv2；Eds22ds2Eo u G

14、绽开并化简得EEG-F22 du =GEG-F22 dv , 而u=av EG-2 2F 0,消去 EG-F 得坐标曲线的二等分角线的V=1 v 26 u=-av 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答微分方程为 E2 2du =G dv . du2u2a2 dv2,求曲面上三条曲线u = 9设曲面的第一基本形式为I = a v, v =1相交所成的三角形的面积；解 三曲线在平面上的图形如图所示；曲线围城的三角形的面积是S=0u22a21aau2a2du1dv2dududv =2au0uaau a

15、aua 1u2a1=22dudv0u0aE =r=2u2a23uu2a2a2lnu,u2a2a | 0,acoscos0, 23 a=a2232ln12；asin的面积；10求球面 r =acossin,acossin解 r = asincos,asinsin,acos,r =acossin2=2 a ,F= r r = 0 , G = 2 r =a2 cos2 . 球面的面积为：2S = 2 d a 4cos 2d 2 a 2 2 cos d 2 a 2sin | 2 4 a 2 . 2 0 2 2 11. 证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v 和旋转曲面 r =tcos ,tsi

16、n , 2t 1 2t1, 0 2 之间可建立等距映射 =arctgu + v , t= u 1 . 分析 依据等距对应的充分条件 , 要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu 2+ v , t= u 1 , 可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点27 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答有相同的参数 , 然后证明在新的参数下 , 两曲面具有相同的第一基本形式 . 证明 螺面的第一基本形式为 I=2 du +2 dudv+ 2 u +1 2 dv , 旋转曲面的第一 22

17、基本形式为 I= 1 2 t dt 2 t 2 d , 在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t 1t = u 2 1 , 就其第一基本形式为 : u 2 1 u 22 2 1 2 1 2 2 du u 1 2 du dv u u 1 1 u2= u2 11 du 2 12 du 22 dudv u 21 dv 2 =2 du +2 dudv+ 2u +1 2dv = I . 2u 1 u所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t = u 2 1 . 3 曲面的其次基本形式1. 运算悬链面 r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式

18、 , 其次基本形式 . 解ur =sinhucosv,sinhusinv,1,vr =-coshusinv,coshucosv,0 2 vr=cosh2 u. ruu=coshucosv,coshusinv,0,r uv=-sinhusinv,sinhucosv,0, r =-coshucosv,-coshusinv,0,Eur2= cosh2 u,Fr ur v=0,G所以 I = cosh2 u2 du + cosh2 u2 dv . n =r ur v2=12ucoshucosv,coshusinv ,sinhusinv , EGFcoshL=cosh u11, M=0, N=coshu

19、1=1 . sinh2sinh2所以 II = -2 du +dv2；28 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答2. 运算抛物面在原点的 2 x 3 5 x 1 24 x 1 x 2 2 x 2 2第一基本形式 , 其次基本形式 . 解 曲面的向量表示为 r x 1 , x 2 , 5 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 , 2r x 1 ,1 0 5, x 1 2 x 2 0 , 0 0,1 , 0 , rx 2 2,1,0 x 1 2 x 2 0 , 0 ,1,0 0 , xr 1x

20、 1 ,0 ,0 5 , xr 1x 2 0 0, 2, , xr 2x 2 ,0 ,0 2 , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,2 2 2 2I= dx 1 dx 2 , II= 5 dx 1 4 dx 1 dx 2 2 dx 2 . 3. 证明对于正螺面 r =u cos ,u sin v ,bv,-u,v 到处有 EN-2FM+GL=0；解 r u cos v , sin v , 0 , r v u sin v , u cos v , b ,r uu =0,0,0, r uv =-uucosv,cosv,0, r vv =-ucos

21、v,-usinv,0, E ur 21,F r u r v 0,G r v 2u 2b 2, L= 0, M = 2 b2 , N = 0 . 所以有 EN - 2FM + GL= 0 . u b4. 求出抛物面 z 1 ax 2by 2 在0,0 点沿方向 dx:dy 的法曲率 . 2解 r x ,1 ,0 ax 0 , 0 0,1 , 0 , r y 0 ,1, by 0 , 0 0 0,1, , r xx 0 0, , a , r xy ,0 0 0,2 2r yy ,0 ,0 b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b, 沿方向 dx:dy 的法曲率 kn adx2 bdy2

22、 . dx dy 5. 已知平面 到单位球面 S 的中心距离为 d0d1, 求 与S 交线的曲率与法曲率 . 解 设平面 与S 的交线为 C, 就C 的半径为 1 d 2, 即C 的曲率为k 12 , 又C 的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于 1 d 2, 所以1 d2C 的法曲率为 k n k 1 d = 1 . 6. 利用法曲率公式 k n II , 证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、其次类基I29 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答本量成比例；证明 由于在球面上任一点处,沿任意方向

23、的法截线为球面的大圆,其曲率为球面半径 R的倒数 1/R；即在球面上,对于任何曲纹坐标u,v ,沿任意方向 du:dv k nIILdu22MdudvNdv21或-1 ,所以 RLMN1,即第一、其次IEdu22FdudvGdv2REFGR类基本量成比例；7求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线；ru证明对于正螺面 r =ucos ,usinv,bv ,cosv,sinv, 0,rvusinv,ucosv ,b,r =0,0,0 uu,r =-ucosv,-usinv,0 L=ru,r v,ruu=0, N=ru,rv,rvv=0 . 所以 u 族曲线和 v 族曲线都是渐近线；而uE

24、GF2EGF2族曲线是直线, v 族曲线是螺旋线；8. 求曲面zxy2的渐近线 . ry0 ,1, 2xy ,rxx0 0, 0, , 解 曲面的向量表示为rx ,y,xy2,rx,1 ,0y2,rxy,0 ,02y ,ryy0 , 0 2,x ,Er214y4,Frxry2 xy2,Gr214 x2y2. xyL,0M142y2y4,N142 x2y4. x2yx2y2xdy20 ,一族为 dy=0, 即渐近线的微分方程为Ldx22MdxdyNdy2, 即4ydxdyy1c,1c 为常数 . 另一族为 2ydx=-xdy, 即lnx2yc 2,或x2yc ,c 为常数. 9. 证明每一条曲线

25、在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线 C 的主法线曲面上 , 沿 C 的切平面是由 C 的切向量与 C的主法向量所确定的平面 法线曲面上是渐近线 . , 与曲线 C 的亲密平面重合 , 所以每一条曲线 C 在它的主s方法二：任取曲线:rr s ,它的主法线曲面为S:s , tr s t s , t t1tt,t,t1t30 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答在曲线上, t = 0 , st, 曲面的单位法向量nst2,即 n,EGF所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 10. 证明在

26、曲面 z=fx+gy上曲线族 x=常数 , y= 常数构成共轭网 . 证 曲面的向量表示为r =x,y, fx+gy,x=常数 ,y= 常数是两族坐标曲线；r x ,1 ,0f,r y,1,0g.r xx0,0,f,r xy0,0,0,r yy0,0,g ,由于Mr xyrxr y20, 所以坐标曲线构成共轭网,即曲线族 x= 常数 , y= 常数EGF构成共轭网；11. 确定螺旋面 r =u cos ,u sin v ,bv 上的曲率线 . 解 r u cos v , sin v , 0 , r v u sin v , u cos v , b ,r uu =0,0,0,r vv =-ucos

27、v,-usinv,0,r uv =-sinv,cosv,0, E ur 21,F r u r v 0,G r v 2u 2b 2, L=0, M=2 b2 , N=0, 曲率线的微分方程为 : u b2 2dv dudv du1 0 u 2b 20 , 即 dv 1 du , 积分得两族曲率线方程 : 0 b 0 u 2b 22 2u bv ln u u 2b 2 c 1 和 v ln u 2b 2u c 2 . 12. 求双曲面 z=axy 上的曲率线 . 解 E 1 a 2y 2, F a 2x 2y 2, G 1 a 2x 2, L ,0 M 2 a2 2 2 , N=0 . 1 a x

28、 a y31 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答dy2dxdydx2由 1 a 2x 2a 2x 2y 21 a 2x 2 =0 得 1 a 2y 2 dx 2 1 a 2x 2 dy 2, 积分a0 2 2 2 2 01 a x a y得两族曲率线为 ln ax 1 a 2 x 2 ln ay 1 a 2 y 2 c . 13. 求曲面 r a u v , b u v , uv 上的曲率线的方程 . 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2解 E a b v, F a b uv, G a b

29、 u , L 0 ,4 4 4abM= 2 ,N=0. 代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是 : 2EG F2 2 2 2 2 2 2 2 a b u dv a b v du , 积分得 : ln u a 2b 2u 2 ln v a 2b 2v 2 c . 14. 给出曲面上一曲率线 L, 设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角 , 求证 L 是一平面曲线 . 证法一：因 L 是曲率线 , 所以沿 L 有 d n n d r , 又沿 L 有 .n =常数, 求微商得 n n 0 , 而 n / d n / d r 与 正交 , 所以 n 0 , 即-n =0, 就有 =0

30、, 或n =0 . 假设 =0, 就 L 是平面曲线；假设n =0 ,L 又是曲面的渐近线,就沿 L ,n=0 ,这时 d n = 0 ,n 为常向量,而当 L 是渐近线时,= n ,所以 为常向量,L 是一平面曲线 . 证法二：假设n ,就因 ndr ,所以 n ,所以 d n ,由伏雷32 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答内公式知 d n 而 L 是曲率线, 所以沿 L 有 d n ,所以有=0, 从而曲线为平面曲线；假设不垂直于 n , 就有.n =常数 , 求微商得nn0,由于 L

31、是曲率线,所以沿 L 有 dn dr,所以n0,所以n0,即-n =0 ,假设=0,就问题得证；否就n =0 ,就因n0,有 n -,dn d冲突；15假如一曲面的曲率线的亲密平面与切平面成定角,就它是平面曲线；证 曲线的亲密平面与曲面的切平面成定角, 即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角,由上题结论知正确； 16 求正螺面的主曲率；解 设正螺面的向量表示为 r =u cos ,u sin v ,bv. 解 r u cos v , sin v , 0 , r v u sin v , u cos v , b ,r =0,0,0 uu,2r vv =-ucosv,-usinv,0,r uv =-s

32、inv,cosv,0, E ur 1,F r u r v 0,G r v 2u 2b 2, L= 0, M = 2 b2 , N = 0, 代入主曲率公式u b2EG-F 2 2N- LG-2FM+ENN+ LN-M 2= 0 得 N= 22 a2 2； u a 所以主曲率为 1 2 a2 , 2 2 a2；u a u a17确定抛物面 z=a x 2y 2 在 0,0点的主曲率 . 解 曲面方程即 r yy 0,0,2 a ,r , , x y a x 2y 2,xr 1,0,2 ax yr 0,1,2 ay ,r xx 0,0,2 a ,r xy 0,0,0, r yy 0,0,2 ；在0

33、,0点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 , 33 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何主要习题解答N=2a . 所以 N-4a 2N+4 a =0 ,两主曲率分别为 21 = 2 a , 2= 2 a . 18. 证明在曲面上的给定点处 , 沿相互垂直的方向的法曲率之和为常数 . 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为 1、2,任给一方向 及与其正交的方向 + 2,就这两方向的法曲率分别为 n 1 cos 22 sin 2,n 2 1 cos 2 2 2 sin 2 2 1 sin 22 cos 2,即n n 2 1 2 为常数；19. 证明假设曲面两族渐近线交于定角, 就主曲率之比为常数 . 证 由n12 cos2sin2得tg21 , 即渐进方向为21arctg1,2=-arctg1. 又 -2+1=21为常数 , 所以为1为常数 , 即221 为常数 . 220. 求证 正螺面的平均曲率为零 . 证 由第 3 题或第 16 题可知 . 21. 求双曲面 z=axy 在点 x=y=0 的平均曲率和高斯曲率 . K =证 在点 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=LG2FMF2NE0, 2EGLNM2=-2 a