2022年反三角函数求导公式的证明.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载反三角函数求导公式的证明 2.3 反函数的导数,复合函数的求导法就一、反函数的导数设x y是直接函数,yf x 是它的反函数,假定xyy在I y内单调、可导,而且 y0,就反函数yf x 在间Ixx|xy,Iy内也是单调、 可导的,而且证明：fx1y 1 xI x ,给 x 以增量xx,0xxxI由yfx在I x上的单调性可知yfxxfx0y1于是xx因直接函数xy在I y上单调、可导,故它是连续的,y且反函数yfx在I x上也是连续的,当x0时,必有y0lim x0ylim y011y即：fx 1yxxy【例 1】试证明以下

2、基本导数公式名师归纳总结 . arcsinx11x2第 1 页,共 6 页12.arctgx1x2 . logax1xlna- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证 1、设xsiny为直接函数,y精品资料x欢迎下载arcsin是它的反函数函数xsiny在Iy2,2上单调、可导,且xcosy0因此,在Ix,11上, 有0,cosy1sin2y1x2arcsinx 1cosy留意到,当y2,2时,cos y因此,arcsinx11x2,x02证 2 设xtgy ,Iy2,2就yarctgx , I x1 cos 2 yxtgy在I y上单调、可导且证 3 lo

3、g故arctgx1cos2y111tgytg2y1xax1ay1ax1aaylnln类似地,我们可以证明以下导数公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - arccosx11x2精品资料欢迎下载arcctgx11x2 lnx1x二、复合函数的求导法就名师归纳总结 假如ux在点x0可导,而yfu在点u0x0可导,就复合函数第 3 页,共 6 页yfx 在点x0 可导,且导数为dyxx 0fu 0x 0dx证明： 因lim u0yfu0,由极限与无穷小的关系,有xyfu0uu 当u0 时,0用x0去除上式两边得：yf u0u

4、uxxx由ux在x0 的可导性有：x0u0,lim x 0lim u00lim x 0ylim x 0 fu0uuxxxfu0lim x 0ulim x0lim x0uxxfu0x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即dyxx0f u0x0精品资料欢迎下载dx上述复合函数的求导法就可作更一般的表达：如u 在开区间 I x 可导, yxf u 在开区间 Iu 可导,且xI x 时,对应的uIu ,就复合函数yf在I x内可导,且dydydu 2 dxdudx复合函数求导法就是一个特别重要的法就,特给出如下注记：弄懂了锁链规章的实质之后,不难给出复合更多层

5、函数的求导公式；dy名师归纳总结 【例 2】yfx ,求dxyf 第 4 页,共 6 页引入中间变量,设v , u ,于是变量关系是yuvx ,由锁链规章有：dydydudvdxdudvdx2 、用锁链规章求导的关键- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载引入中间变量,将复合函数分解成基本初等函数；引入的中间变量代换成原自变量；【例 3】求ysin 2x的导数dydx ；仍应留意 ：求导完成后,应将解：设 u2x,就ysinu, u2x,由锁链规章有：2xdydydusin 2xcos 22cosdxdudx【例 4】 设ylntg x 2

6、 ,求dy11 cos 2 v1 2 基本初等函数求dx ；dydydudv由锁链规章有dxdudvdxu导111心中有tgx2x cos 22 消中间变量 1x2sin由上例,不难发觉复合函数求导窍门中间变量在求导过程中,只是起过渡作用,娴熟之后,可不必引入,仅需“链” ；然后,对函数全部中间变量求导,直至求到自变量为止,最终诸导数相乘；请看下面的演示过程：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - dylntgx1xtgx精品资料欢迎下载x11xdx2tg2tgx 2cos2222名师归纳总结 1x1x1xtg12x2x1x为实数 ；第 6 页,共 6 页tgcos22x 2cossin22121,x【例 5】证明幂函数的导数公式证明：设yxelnxyelnxlnx elnxx1x- - - - - - -