2022年同济大学高数上册知识点4.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点 高等数学上册学问点 一、 函数与极限（一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数fx 在x 连续lim x x 0fxfx 0间断点第一类：左右极限均存在. . 可去间断点、跳动间断点其次类：左右极限、至少有一个不存在无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论 . （二） 极限

2、1、定义A0,N,0nxN,xnax 0时,fxA数列极限1）lim nx na2）函数极限,0,当0xlim x x 0fx第 1 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点左极限：f x 0 lim f x 右极限：f x 0 lim f x x x 0 x x 0lim f x A 存在 f x 0 f x 0 x x 02、极限存在准就1）夹逼准就：1）y n x n z n n n 0 2）limn y n limn z n a nlim xn a2）单调有界准就：单调有界数列

3、必有极限 . 3、无穷小（大）量1）定义：如 lim 0 就称为无穷小量；如lim 就称为无穷大量 . 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1 o ; Th2 , , lim 存在,就 lim lim（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准就；2）夹逼准就；3）极限运算准就及函数连续性；4）两个重要极限：1a limx 0 sinx x1 b limx 0 1 x xx lim 1 1x x e5）无穷小代换：（x 0）a x sin x tan x arcsin x arctan x第 2 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页

4、,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点b1cosx1x2ax1xlna）x）2cex1x（dln1x xx（loga1xlna 1x1e二、 导数与微分（一） 导数1、定义：fx 0lim x x0fx fx 0fx 0,fx 0处的切线的斜率 . xx 0fx 0左导数：fx0lim x x 0fx xx 0右导数：fx 0lim x x 0fxfx 0xx0函数fx在0x点可导fx 02、几何意义：fx 0为曲线yfx在点x 0可导与连续的关系：3、求导的方法4、1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四就运算；4） 复合函数求导（链式法就） ；

5、5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；第 3 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点7） 对数求导法 . 5、高阶导数d2yddykn0k C nukvnk1）定义：dx2dxdx2）Leibniz公式：uvn（二） 微分1） 定义：yfx0xfx0Axox,其中 A 与x 无关. 2） 可微与可导的关系：可微可导,且dyfx 0xfx 0dx三、 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 罗尔定理：如函数fx满意：afb；a,b1）fxC a,b； 2 ）fxDa

6、,b； 3 ）f就a ,b,使f0. x 0,x2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：如函数fx满意：1）fxC a,b； 2 ）fxDa,b；就a,b,使fbfafba. 3、 Cauchy柯西中值定理：如函数fx ,Fx满意：1）fx ,Fx C a,b； 2 ）fx ,FxDa,b；3）F就a,b,使fbfafFbFaF第 4 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点（二） 洛必达法就（三） Taylor 公式（四） 单调性及极值1、单调性判别法：f x C a , b ,f

7、 x D a , b ,就如 f x 0,就f x 单调增加；就如 f x 0,就 f x 单调削减 . 2、极值及其判定定理：a 必要条件：f x 在 0x可导,如 0x为 f x 的极值点,就 f 0x 0 . b 第一充分条件：f x 在 x 的邻域内可导, 且 f 0x 0,就如当 x x 0时,f x 0,当 x x 0 时,f x 0,就 0x 为极大值点； 如当 x x 0时,f x 0,当 x 0x 时,f x 0,就 0x 为微小值点；如在 0x 的两侧 f x 不变号,就 x 不是极值点 . c 其次充分条件：f x 在 0x处二阶可导,且 f 0x 0,f x 0 0,就

8、如 f 0x 0,就 x 为极大值点；如 f 0x 0,就 0x为微小值点 . 3、凹凸性及其判定,拐点1）fx在区间 I 上连续,如x 1,x 22I,fx 1x2fx 1fx2,就称fx 在22区间 I 上的图形是凹的；如x 1,xIfx 1x2fx 1fx 2,就称fx 在22区间 I 上的图形是凸的 . 2）判定定理：fx在a,b 上连续,在a,b上有一阶、二阶导数,就yfx经a,b ,fx0, 就fx在a,b 上的图形是凹的； a 如x在a,b 上的图形是凸的 . b 如xa,b ,fx0, 就fx3）拐点：设yfx在区间 I 上连续,0x是fx 的内点,假如曲线第 5 页 共 12

9、 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点过点x 0,fx 0时,曲线的凹凸性转变了, 就称点x 0,fx 0为曲线的拐点 . （五） 不等式证明 1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值） . （六） 方程根的争论 1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性 . （七） 渐近线1、 铅直渐近线：lim x afxk,就xa为一条铅直渐近线；kxb为一条斜2、 水平渐近线：lim xfxb,就yb为一条水平渐近线；3、 斜渐近线：l

10、im xfxlim xfx kx b存在,就yx渐近线 . （八） 图形描画四、 不定积分（一） 概念和性质1、原函数：在区间 I 上,如函数Fx 可导,且Fx fx ,就Fx 称为fx 的一个原函数 . 第 6 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点2、不定积分：在区间I 上,函数fx 的带有任意常数的原函数称为fx 在区间 I 上的不定积分 . 3、基本积分表（ P188,13 个公式）；4、性质（线性性） . （二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分） ：ffxxdxtf

11、uduuxxdxf td tt1x2、 其次类换元法（变量代换） ：（三） 分部积分法：udvuvvdu（四） 有理函数积分 1、“ 拆” ；. 、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等） 2五、 定积分（一） 概念与性质：1、定义：bfxdxlim 0infix ia,b上连续,就a,b,使a12、性质：（7 条）函数fx 在区间性质 7 （积分中值定理）（平均值：fbfxdx）bfxdxfbaabaa第 7 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点（二） 微积分基本公式（ NL 公

12、式）1、变上限积分：设xfxftdt,就xfxFbFaa推广：dxftdtxxfx xfxdx2、NL 公式：如Fx 为 x的一个原函数,就b afxdx（三） 换元法和分部积分1、换元法：bfxdxfttd ta2、分部积分法：budvuvbb avduaa（四） 反常积分1、f无穷积分：ftfxdxfxdxlim taabfxdxtlimbfxdxt2、xdx0fxdxfxdx0瑕积分：xdxlim t abfxdx（a 为瑕点）batbft afxdx（b 为瑕点）xdxlim t ba两个重要的反常积分：第 8 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 1

13、2 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点1 badxq,xp1b1,a1 q,q1a 1pp1xpp1d xdbq2axaa bx qq1六、 定积分的应用（一） 平面图形的面积1、 直角坐标：A1b a f2xf1xdx2、 极坐标：A2 22 1d2第 9 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点（二） 体积1、 旋转体体积：a 曲边梯形yfx,xa,xb,x轴,绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积：Vxbf2xdxb,x轴,绕 y 轴旋转而成的旋转

14、体的体积：a b 曲边梯形yfx,xa,xVyb2xfxdx（柱壳法）a2、 平行截面面积已知的立体：VbAxdxa（三） 弧长1、 直角坐标：sb1tfx2dx22dta2、 参数方程：s2td23、 极坐标：s七、 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. . 阶：微分方程中所显现的未知函数的最高阶导数的阶数. 2、 解：使微分方程成为恒等式的函数. 通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同特解：确定了通解中的任意常数后得到的解. 第 10 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12

15、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点（二） 变量可分别的方程gydyfx dx,两边积分gy dyfx dx（三） 齐次型方程或dyy,设uy,就dyuxdu；dxxxdxdxdxx,设vx,就dxvydvdyyydydy（四） 一阶线性微分方程dyP xyQxyePxdxQxePxdxdxCdx用常数变易法或用公式：（五） 可降阶的高阶微分方程1、ynffx,两边积分n 次；yp,就yp；yx ,y（不显含有y）,令2、,就dpypyfy,y（不显含有 x ）,令yp3、dy（六） 线性微分方程解的结构1、y 1, y 2 是齐次线性方程的解,就 C 1

16、 y 1 C 2 y 2 也是；2、y 1, y 2 是齐次线性方程的线性无关的特解,就 C 1 y 1 C 2 y 2 是方程的通解；3、y C 1 y 1 C 2 y 2 y *为非齐次方程的通解,其中 y 1, y 2 为对应齐次方程的线性无关的解,*y 非齐次方程的特解 . （七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：yp yqy0第 11 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上）学问点特点方程：r2prq0,特点根：r 1, r 2解2sinx特点根通实根r1r2yr C 1 e1xC2r e2xCpC1C2xre 1xr 1r2y2r ,2iyexC 1cosx（八） 常系数非齐次线性微分方程yp yqyfxk0 , 不是特点根,1、fxexP mx设特解y*xkexQmx,其中1 , 是一个单根2、fxexPxcosxP n2, 是重根xsinxxkex 1R mxx 2R mxsinx设特解y*cosk0,i不是特点根mmaxl,n ,其中,1i是特点根第 12 页 共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页