2022年图形的旋转变换在中考数学试题中的应用.docx

《2022年图形的旋转变换在中考数学试题中的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年图形的旋转变换在中考数学试题中的应用.docx（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 图 形 的 旋 转 变 换 在 解 题 中 的 应 用 內容摘 要 ：平面图形的变换主要有平移 , 轴对轴 ,变换是一种重要的几何变换 , 一些久思不得其解的试题旋转,相像等几种 , 旋转 , 如能正确运用 旋转变换, 就能开拓同学解题思路 , 提高学习爱好 , 使问题迎刃而解 , 关键词 ：旋转变换 , 解题应用前言随着新课程标准实施 ,其基本理念对近几年中考数学命题改革产生了重大影响,新课程标准下中学数学教材增加了图形变化问题 ,使数学更贴近生活,更有利于培育同学实践与操作才能 , 形成空间观念和运动变化意识；因此几何变换这一重要数学思想

2、,在近几年中考、竞赛试题中频频显现,这使得数学试题解题方法和技巧更加敏捷多变； 旋转变换是几何变换中基本变换,由于旋转变换只转变图形的位置 ,而不转变其外形大小 , 这使得原先分散的已知条件和结论, 通过旋转变换几何图形重新组合 ,产生新图形 , 进而揭示条件与结论之间内在的联系 ,找出解题的途径；下面结合例题谈谈旋转变换在平面几何解题中应用；一, 有关旋转变换的学问1, 旋转变换的定义 ：由一个图形转变为另一个图形,在转变过程中 ,原图形上的全部点都绕一个固定的点按同一个方向 ,转动同一个角度 , 这样的图形转变叫做 旋转变换 ,简称旋转 , 这个固定的点叫做旋转中心 , 这个转动的角度叫做

3、 旋转角 ；例如 , 如图 1 将 ABC 绕点 O 按逆时方向旋转 80 0 得 A1B1C1, 在这里点0O 叫做旋转中心 , 旋转方向旋转是逆时针 , 旋转角是 802, 旋转变换 的性质： 1 旋转变换不转变图形的图状和大小 , 2 对应点到 旋转中心的距离都相等, 3 对应点与 旋转 中心连线所成的角度等于 旋转的角3, 补充学问 , 三角形 旋转变换的定理 1：如将三角形以一顶点为中心 , 旋转某一角度 , 就笫三边的新旧位置亦夹成此角度的交角下面先来证明这个定理如图 2, 设 ABC 以点 A 为中心 ,逆时针旋转一个 角度后处于 A 1B 1C 1 的位 置,AD 为 ABC

4、的 BC 上的高 ,AD 1 为新位置 A 1B 1C 1 的 B 1C1 上的高 , 如图 BC 与 B 1C1 交于点 P,求证 , BC 与 B 1C1 交角为证明： , 由 AB旋转 角后 , 到达 AB 1 的的 , 而今 AD 1BC,AD B 1 C 1而 AD也转到 AD 1,的的位 置, DA D 1, ,在四边形 DA D 1, P 中 ADP A D 1, P B 180 0, 圆 A,D,P, D 1,四点共圆 , BPBDAD三角形 旋转变换的定理 2 ：如相像三角形中的一个三角形的两边分别垂直于另一个三角形的两边 , 就笫三边也相互垂直；名师归纳总结 如图 3. 在

5、 ABC 和 DEF 中,DEAB,DFAC , 就 EFBC AE 1F 1, 第 1 页,共 5 页证明 ：将 DEF 作平移变换 , 便 D 与 A 重合, 设其位罝为如右图 DE AB, 而 DE AE 1,AE AB, 同样 1AF 1AC, 对 ABC 及 AE 1F 1来说 , 它们围着 A点逆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时针 旋转 900, 由定理 1 可知,E1F 1BC, E 1F 1 EF, EFBC ,二, 怎样进行 旋转变换我们在解题时 , 经常会遇到题设和结论中的某些元素, 它们之间的关系 , 在原位罝上不易发觉 ,

6、使我们很难摸索 , 特殊是初学的同学更感到束手无策 , 这时 , 如实行适当的变换 这里只谈一种旋转变换 , 将它们从原先的位罝变到一种新的位罝 , 使元素间的关系显示得特别清晰 , 这样变换后 , 就有利于我们利用某一定理完成解题工作 , 特殊是题设中有相等的线段, 如等腰三角形 , 等边三角形 ,正方形 , 一条线段被中点分成两个相等部分 , 等等 , 这时 , 我们更可尝试运用 , 现举数例加以说明；1, 以正三角形为基础的图形的旋转变换例 1,p 为正 ABC内一点 ,PC3,PA4,PB 5,求正三角形的边长,分析：此题中线段 PA,PB,PC 如能设法使之成为同一三角形的三边 ,

7、就找到明白题途征 考虑到 ABC 是正三角形 , 为此把 BCP绕 C点逆时针方向旋转 60得 ACP解：以 C为中心 , 将 BCP逆时针方向旋转 60 , 那么 B落在 A点,P 落在 P 点 ,连接 P P 由旋转变换的性质可知 , BCP ACP, CPC P, PCP BCA60 , PCP 是正三角形 ,PP PC3,PAPB5, PA4, 由于3 24 25 2, 即 PP 2 PA 2PA 2, 所以 AP P 是直角三角形AP P 90 ,作 AR垂直于 PC于 R, 那么 , APR180 60 90 30 , AR2,PR2 22 3 ,RC32 3 在直角三角形 ARC

8、中,ACAR CR 25 12 3这个例子可推广为 , 如,p为正 ABC内一点 , PAl,PBm,PC n,求 ABC的边2长, 其结果为 m nl 32, 以正方形为基础的图形的旋转变换例 2, 已知：在正方形 ABCD内有 AEF,EAF45 ,E,F 分别在 BC,CD上任意滑动 , 如图 , 求证：1 AEF 的高为定值 , 2 EFBEFD 证明：把 ABE绕点 A按逆时针方向旋转 90 , 在正方形外得ADG, 就 AEAG, BEDG, FAG EAF 45 , AEF AGF, 故 AHAD 定长, 且 EFFGBEFG 3. 以等腰三角形为基础的图形的旋转变换例3,已知：

9、 ABC 中,AB AC,在 AB C 内有一点 P,使 APB APC,求证： PC PB证明： 将 APC 绕点 A 旋转至 AP B,如图 , 连结PP,由旋转变换的性质可知 , APC APB,就 AP AP,PCPB,APC APB,由于 APB APC,所以 AP B APB,由于 APP APP ,所以 BPC BP P,于是有 BP BP,而PB P C ,所以 PC PB 4, 旋转 180 中心对称 条件中有中点戓中线名师归纳总结 例4, 在 ABC中, 点D是AB边上的中点 ,E 丶F分别是 AC丶BC上的点 ,试证明 , 第 2 页,共 5 页- - - - - - -

10、精选学习资料 - - - - - - - - - DEF的面积不超过ADE和 BDF的面积之和分析：考虑如何把ADE和 BDF拼成一块图形 , 然后和 DEF的面积比较 , 证明：以 D为对称中心 , 把 ADE旋转180 变换成 BDE 1, 就四边形 BFDE 1是凸四边形 , S ADE S BDF S BDE 1S BDFS四边形 BFDE1S DE1FS DEF 当 E和A重合或 F和B重合时 , 上式取等号小结：从以上数例可知 , 以正三角形 , 正方形 , 等腰三角形 , 线段的中点 或中线 为基础的图形的旋转变换 , 一般步骤是： 1 确定旋转中心： , 正三角形 , 正方形一

11、般以顶点为旋转中心 , 等腰三角形一般绕顶角的顶点旋转 , 中线一般绕中点旋转 1确定旋转对象 即被变换的图形, 一般把某一个三角形旋转到新的位罝, 例 1, 例 2, 例 3, 例 4 都是如此 , 2确定旋转的方向和角度, 旋转的方向 只有顺时针或逆时针 , 旋转的角度60 0, 正方形旋转角一般为 90 0, 等腰三角形旋转角正三角形旋转角一般一般为顶角的度数三, 旋转变换的应用1. 直接运用性质解题 1 如右图所示 , 把 ABC 绕点 C 顺时针旋转 35 0 后, 得到 A 1B 1C, A 1B 1 交 AC 于点 D, 如A 1DC90 0, 就 A的度数是 , A 35 0,

12、. B 50 0,. C 55 0, . D 60 0, 2 如图 , COD 是 AOB 绕点 O 旋转 40 0 后所得的图形 ,点 C 恰好在 AB 上, AOD90 0,就 B 的度数是 度 3 如下图1 所示 , 已知在 AOB 与 DEF 中,ABEF B E,ECBD, 明显有 ABC FED, 如图形经过平移和 旋转得到图 2且有 EDB25 0, A66 0,就 AMD 的度数是 度 , 如将图形连续 旋转后得到图 3 , 此时 D,.F,B三点在同一条直线上 , 且有 DE2DF, 连结 EB, 已知 EFB 的面积为 5cm 2, 就四边形 ABED 的面积为多少？答案

13、1 迭 B, 0 2 B的度数是 60 0 3 AMD 的度数是 89四边形 ABED 的面积为 15 cm22 解决实际问题 , 例 5,有甲乙丙三个村庄 , 要在中间建一供水站向三村送水位置 , 使所需管道总长最小 , , 现要确定供水站的解： 第一实际问题数学化 ,在 ABC 内求一点 O, 使 OAOBOC最小, 由此可 见, 所找的位置点 O 实际上就是ABC 的费马点 证明费马点 , a 当 ABC 全部内角 120时如图 ,O 是锐角 ABC 内一点 , 且AOB BOC COA 120 ,P 是 ABC 内异于 O 的仼意一点 , 求证： PAPBPCOAOBOC 分析：这里的

14、两组线段 PAPBPC和 OAOBOC 都不在同一条线段上 , 难以比较 , 我们设法通过名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 旋转变换 , 使 OA,OB,OC 接成一条线段 , 留意到AOB BOC COA 120 , 如旋转角等于60 , 可能胜利 ,证明：, 不仿认为 P在 ABC 内, 把 OAB 绕 B 点逆时针方向旋转到OAB, 点 P 转到 OAB 内的点 P, 连结 PA,PP,OO 就 OBO, PBP 都是正三角形 , O OOB, ,OAOA ,PA PA, PPPB. AOB AOB120 ,

15、BOC120 , 故有 C,O,O,A 共线 , 旦 ACOAOOOCOAOBOC,PA PPPCPAPBPC, 无论 P在 ABC 内的位罝如何 , 由干 P 与 O 不重合 , 知 APPC 是折线 , 其长度大于线段 AC 的长度 , ,PAPBPCOAOBOC b 假如三角形有一个内角大于或等于 略 ,120,这个内角的顶点就是费马点 证3, 用旋转变换的方法解作图题 我们在讨论作图题时, 一般都先进行分析 假定要求作的图形认为可以作出,可先画一个草图来表示 如作图的问题比较简洁, 已知的元素和求作的元素间关系明显,直接有定理可用,就可立刻进行作图但有不少题目,却不是这样往往图形中的各

16、种元素不是集中在一起,分散相离, 很难用定理把两者联系起来,这就会使我们产生无从落笔的困难,特殊是初学者更是如此 此时,不仿实行各种变换的方法, 如合同变换, 相像变换等等 这里只谈合同变换中一种旋转变换 通过图形中某些元素的旋转变换,使之相对集中, 显现出已知与求作中元素之间的关系 ,揭露出它们的内在联系 ,从而得到作图方法下面通过一-些实例,说明如何运用旋转变换来解作图例 6,求作一个正三角形,使它的三个顶点分别落在已知三条平行线上已知三条平行线 L 1,L2, 和 L3 如图求作一个正三角形 ABC, 使 A,B,C 三点分别落在, L1,L2, 和与 L3 上分析：假定已经作得正ABC

17、,如右图在 L1 上我们可以任取一点 A,作为正 ABC 的一个顶点；再在 L2 上取一点 B,连结 AB 作为正三角形的一边明显,其第三个顶点 C 不肯定刚落在L3 上我们为了从易到难,先舍弃这个第三顶点必需在 L3 上的条件这样,就有了很大的“ 自由度 ,在 L2 上可以任取一点又为了简洁 ,便利,我们可以过 A 作 AB L2,与 L2 相交于 B 也就是说,在 L2 上取一点 B ,使 ABL2,从而以 AB 为一边作出一个正AB C ,如上图这时一般说来, C 点不会恰巧落在 L3 上所以现在的问题是如何把 C移到 L3 上去, 很简洁想到 假定正 ABC 已经作得如图 只要将 AB

18、 B 围着A 点,以逆时针方向旋转 6 O O,即可到达 ACC 的位置作法：在 L1 上任取一点 A, 过 A 作 AB 1 L2 与 L2 交于 B 1,以 AB 1 为一边作正 AB 1C 1过 C 1 作 A C 1C90 0, C 1C与 L 3相交干 C 点, 连结 AC 作 CAB60 0与L2 相交干 B, 连结 BC, 即得 ABC,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证： B 1A C 1BAC60 0, B 1AB C 1AC, 又 AB 1AC 1, AB 1 B A C 1C90 0, AB

19、1B AC 1C, ABAC, 但 BAC60 0, ABC 为正三角形, 亦即为所求之三角形4, 用旋转变换的方法解中考题 例7, （07年临沂市）如图 61,已知 ABC中,ABBC1, ABC90 ,把一 块含 30 角的直角三角板 DEF的直角顶点 D放在 AC的中点上 直角三角板的短直角边为 DE,长直角边为 DF ,将直角三角板 DEF绕D点按逆时针方向旋转； 1 在图 61中, DE交AB于M,DF交BC于N；证明 DMDN；在这一旋转过程中,直角三 角板 DEF与 ABC的重叠部分为四边形 DMBN,请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？如发生变化,请说明是如何变化的？如

20、不发生变化,求出其面积；2 连续 旋转至如图 62的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DMDN是否仍旧成立？如成立,请给出证明；如不成立,请说明理由；3 连续旋转至如图 63 的位置,延长 FD交 BC于 N,延长 ED交 AB于 M,DMDN是否仍旧成立？请写出结论,不用证明；简解： 1 连结 证明 BMD CND即可 , 四边形 DMBN的面积不发生变化 ,四边形 DMBN的面积为1 4, 2 DMDN仍旧成立 , DMDN. 总结通过以上例题分析 , 可知旋转变换在平几解题中如能恰当而敏捷地应用 , 会使部分难题化难为易 , 迎刃而解 , 旋转变换是新教材增加内容 ,把握旋转变换的思想和方法 , 不但有助于同学开拓思路, 提高爱好 , 增强解题才能 , 更重要在今后学名师归纳总结 习解析几何、复数领域打下良好的基础, 更好地为祖囯建设服务；第 5 页,共 5 页- - - - - - -