2022年实际问题与二元一次方程组题型归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载实际问题与二元一次方程组题型归纳学问点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“ 未知” 转化为“ 已知” 的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必需满意：1 方程两边表示的是同类量；2 同类量的单位要统一；3 方程两边的数值要相等. 学问点 二：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤：1审题 : 弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数 : 可直接设元,也可间接设元；3找出题目中的等量关

2、系；4列出方程组 : 依据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组；5解所列的方程组,并检验解的正确性；6写出答案 . 要点诠释：1 解实际应用问题必需写“ 答”,而且在写答案前要依据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应当舍去；2 “ 设” 、“ 答” 两步,都要写清单位名称；3 一般来说,设几个未知数就应当列出几个方程并组成方程组 . 4 列方程组解应用题应留意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时,留意从文字,图表中获得有关信息；注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时,不要带单位；正确书写速度单位,

3、防止与路程单位混淆；的条件；列方程组解应用题肯定要留意检验；学问点 三：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 类型一：列二元一次方程组解决行程问题在查找等量关系时,应留意挖掘隐含1 追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行；这类问题比较直观,画线段 , 用图便于懂得与分析；其等量关系式是；: 两者的行程差开头时两者相距的路程；2 相遇问题 : 相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行；这类问题也比较直 观,因而也画线段图帮忙懂得与分析；这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程；3 航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水

4、速度；顺水速度逆水速度2 水速；留意： 飞机航行问题同样会显现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1甲、乙两地相距精品资料欢迎下载1 小时 20 分160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,相遇 . 相遇后,拖拉机连续前进,汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回,在汽车再次动身半小时后追上了拖拉机 . 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨： 画直线型示意图懂得题意：1 这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程 . 2 有

5、两个等量关系：相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 160 千米 ; 同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 . 解： 设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米 . 依据题意,列方程组解这个方程组,得:. 答：汽车行驶了165 千米,拖拉机行驶了85 千米 . 总结升华： 依据题意画出示意图,再依据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略；【变式 1】甲、乙两人相距36 千米, 相向而行, 假如甲比乙先走2 小时, 那么他们在乙动身2.5小时后相遇；假如乙比甲先走2 小时,那么他们在甲动身3 小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米？【变

6、式 2】两地相距280 千米,一艘船在其间航行,顺流用14 小时,逆流用20 小时,求船在静水中的速度和水流速度；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载类型二：列二元一次方程组解决工程问题工程问题： 工作效率 工作时间 =工作量 . 例 2一家商店要进行装修,如请甲、乙两个装修组同时施工,8 天可以完成,需付两组费用共3520 元；如先请甲组单独做 6 天,再请乙组单独做 12 天可完成,需付两组费用共 3480 元,问： 1甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元？2 已知甲组单独做需 12 天完成,乙

7、组单独做需 24 天完成,单独请哪组,商店所付费用最少？思路点拨： 此题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义：如请甲、乙两个装修组同时施工, 8 天可以完成,需付两组费用共 3520 元；其次层含义：如先请甲组单独做 6 天,再请乙组单独做 12 天可完成,需付两组费用共 3480 元；设甲组单独做一天商店应对 x 元,乙组单独做一天商店应对 y 元,由第一层含义可得方程 8（x+y）=3520, 由其次层含义可得方程 6x+12y=3480. 解 ：1 设甲组单独做一天商店应对 x 元,乙组单独做一天商店应对 y 元,依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应对 300 元,乙组单独做一天商

8、店应对 140 元；2 单独请甲组做,需付款 300 123600 元,单独请乙组做,需付款 24 1403360 元,故请乙组单独做费用最少；答：请乙组单独做费用最少；总结升华： 工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必需统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需依据题目的特点合理选用；工程问题也常常利用线段图或列表法进行分析；【变式】 小明家预备装修一套新住房,如甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；如甲公司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,仍需 9 周完成,需工钱 4.8 万元 . 如只选一个公司单独完成,从节省开支的角度考虑,小明家应选甲公司仍是

9、乙公司？请你说明理由 . 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题1 利润售价成本 进价 ；2；3 利润成本（进价） 利润率；定价成本 进价 1 利润率 ；5 实际售价标价 打折率；留意：“ 商品利润售价成本” 中的右边为正时,是盈利；为负时,就是亏损；打几折就是按名师归纳总结 标价的非常之几或百分之几十销售；（例如八折就是按标价的非常之八即五分之四或者百分之八十）第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载4%,共可获利46 元；价格调整例 3有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为后,甲商品的利润率

10、为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44 元,就两件商品的进价分别是多少元？思路点拨 ：做此题的关键要知道：利润进价 利润率解：甲商品的进价为 x 元,乙商品的进价为 y 元,由题意得：,解得：答：两件商品的进价分别为 600 元和 400 元；【变式 1】（2022 湖南衡阳）李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利 18000 元,其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元,乙种蔬菜每亩获利 1500 元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式 2】某商场用36 万元购进 A、B 两种商品,销售完后共获利6 万元,其进价和售价如下表：进价（元 / 件）A B 1200 10

11、00 售价（元 / 件）1380 1200 4 （注：获利 = 售价 进价）求该商场购进类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题 1 基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金；本息和：本金与利息的和叫做本息和；A、B 两种商品各多少件；利息：银行付给顾客的酬金叫做利息；期数：存入银行的时间叫做期数；利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率；利息税：利息的税款叫做利息税；2 基本关系式 利息本金 利率 期数本息和本金利息本金本金 利率 期数本金 1 利率 期数 利息税利息 利息税率本金 利率 期数 利息税率；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - -

12、 - - - - - - 税后利息利息精品资料欢迎下载12 ； 1 利息税率 年利率月利率留意： 免税利息 =利息例 4小明的妈妈为了预备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱,一种是年利率为 2.25 的训练储蓄,另一种是年利率为 2.25 的一年定期存款,一年后可取出2042.75 元,问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额税）20%,训练储蓄没有利息所得思路点拨：设训练储蓄存了 x 元,一年定期存了 y 元,我们可以依据题意可列出表格：解：设存一年训练储蓄的钱为 x 元,存一年定期存款的钱为 y 元,就列方程：,解得：答：存训练储蓄的钱为1500 元,

13、存一年定期的钱为500 元. 总结升华 : 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不简单找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析详细问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之出现出来 . 【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 得利息 43.92 元. 已知两种储蓄年利率的和为公民应缴利息所得税=利息金额20%）2000 元和 1000 元,一年后全部取出,扣除利息所得税可 3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱 . 第一种,一年期整存整取,共反复存了 3 次,每

14、次存款数都相同,这种存款银行利率为年息 2.25%；其次种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为 2.70%. 三年后同时取出共得利息 303.75 元 不计利息税 ,问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例；例 5某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5只. 现方案用 132 米这种布料生产这批秋装 不考

15、虑布料的损耗 ,应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨： 此题的第一个相等关系比较简单得出：衣身、衣袖所用布料的和为 132 米；其次个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的 2 倍 留意： 别把 2 倍的关系写反了 . 解： 设用 米布料做衣身,用 米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,依据题意,得：答：用 60 米布料做衣身,用 72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套 . 总结升华： 生产中的配套问题许多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等 . 各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可

16、把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键 . 【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子？【变式 2】某工厂有工人 60 人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓 14 个或螺母 20 个,应安排多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套；【变式 3】一张方桌由1 个桌面、 4 条桌腿组成,假如1 立方米木料可以做桌面50 个,或做桌腿300 条；现有 5 立方米的木料,

17、那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌？能配多少张方桌？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载类型六：列二元一次方程组解决增长率问题解这类问题的基本等量关系式是：原量1 增长率 增长后的量；原量 1 削减率 削减后的量 . 例 6. 某工厂去年的利润（总产值总支出）为 200 万元,今年总产值比去年增加了 20%,总支出比去年削减了 10%,今年的利润为 780 万元,去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨 ：设去年的总产值为 x 万元,总支出为 y 万

18、元,就有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年 x y 200 今年 120%x 90%y 780 依据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润 =总产值总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出两个等式；解： 设去年的总产值为x 万元,总支出为y 万元,依据题意得：,解之得：答：去年的总产值为2000 万元,总支出为1800 万元总结升华： 当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析；【变式 1】如条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式 2】某城市现有人口42 万,估量一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加 1%,求这个城市的城镇人口与农村人口；

19、类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量余外量,总量倍数 倍量 . 例 7. “ 爱心” 帐篷厂和“ 暖和” 帐篷厂原方案每周生产帐篷共 14 千顶,两厂打算在一周内赶制出这批帐篷为此,全体职工加班加点,9 千顶,现某地震灾区急需帐篷“ 爱心” 帐篷厂和“ 暖和”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原先的 1.6 倍、 1.5 倍,恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内,“ 爱心” 帐篷厂和“ 暖和” 帐篷厂各生产帐篷多少千顶？名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢

20、迎下载思路点拨： 找出已知量和未知量,依据题意知未知量有两个,所以列两个方程,依据方案前后,倍数关系由已知量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组；解：设原方案“ 爱心” 帐篷厂生产帐篷x 千顶 , “ 暖和” 帐篷厂生产帐篷y 千顶,由题意得：, 解得：所以： 1.6x=1.6 5=8, 1.5y=1.5 4=6 答：“ 爱心” 帐篷厂生产帐篷 8 千顶 , “ 暖和” 帐篷厂生产帐篷 6 千顶 . 【变式 1】 “ 地球一小时” 是世界自然基金会在20XX 年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年 3 月最终一个星期六 20 时 30 分 21 时 30 分熄灯一小时,旨在

21、通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,提倡低碳生活中国内地去年和今年共有 119 个城市参与了此项活动,且今年参与活动的城市个数比去年的 有多少个城市参与了此项活动3 倍少 13 个,问中国内地去年、今年分别【变式 2】 游泳池中有一群小伴侣,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽；假如每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 各有多少人吗？类型八：列二元一次方程组解决数字问题1 倍,你知道男孩与女孩解决这类问题,第一要正确把握自然数、奇数、偶数等有关概念、特点及其表示；如当 n 为整数时,奇数可表示为 2n+1 或 2n-1 ,偶数可表示为 2

22、n 等有关两位数的基本等量关系式为：两位数 =十位数字 10+个位数字例 8. 两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位数；思路点拨 ：设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y；问题 1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为：100xy 问题 2：在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为： 100y x 解：设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y；依题意可得：,解得：名师归纳总结 答：这两个两位数分别为45,23. 3

23、倍,结果是23；这个两位数除以它的各位第 8 页,共 11 页【变式 1】一个两位数,减去它的各位数字之和的数字之和,商是5,余数是 1,这个两位数是多少？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载【变式 2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大 字交换位置,那么得到的新两位数比原先的两位数的一半仍少5,假如把十位上的数字与个位上的数 9,求这个两位数？【变式 3】某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,假如百位数字减1,个位数字加 1,就所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数；类型九：列二元一次方程组解决浓

24、度问题浓度问题： 溶液质量 浓度 =溶质质量 . 例 9现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是37,乙种酒精溶液的酒精与水的比是 4 1,今要得到酒精与水的比为32 的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨： 此题欲求两个未知量,可直接设出两个未知数,然后列出二元一次方程组解决,题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50；（ 2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比混合后溶液所含纯酒精与水的比；解：法一：设甲

25、、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得：,答：甲取 20kg,乙取 30kg 法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取 10x kg 和 5y kg ,就甲种酒精溶液含水 7x kg ,乙种酒精溶液含水 y kg ,依据题意得：,所以 10x=20,5y=30. 答：甲取 20kg,乙取 30kg 总结升华 ：此题的第（ 1）个相等关系比较明显,关键是正确找到另外一个相等关系,解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等；用它们来联系各量之间的关系,列方程组时就显得简单多了；列方程组解应用题,第一要设未知数,多数题目可以直接设未知数,但并不是千篇一律的,问什么

26、就设什么；有时候需要设间接未知数,有时候需要设帮助未知数；举一反三：名师归纳总结 【变式 】要配浓度是45%的盐水 12 千克, 现有 10%的盐水与 85%的盐水, 这两种盐水各需多少？第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载类型十：列二元一次方程组解决几何问题几何问题： 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积、体积等运算公式例 10如图,用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨 ：初看这道题目中没有供应任何相等关系,但是题目供应的图形隐含着矩形两条宽相等

27、,两条长相等,我们设每个小长方形的长为 x,宽为 y,就可以列出关于 x、y 的二元一次方程组；解 ：设长方形地砖的长 xcm, 宽 ycm,由题意得：,答：每块长方形地砖的长为 45cm、宽为 15cm；总结升华： 几何应用题的相等关系一般隐匿在某些图形的性质中,解答这类问题时应留意仔细分析图形特点,找出图形的位置关系和数量关系,再列出方程求解；举一反三：【变式 1】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形,如将此矩形的长边剪掉3 厘米, 补到较短边上去,就得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍多 10m,它的周长是132m,就长和宽分别为多少？类

28、型十一：列二元一次方程组解决年龄问题年龄问题： 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永久不会变的例 11今年父亲的年龄是儿子的5 倍, 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨： 解此题的关键是懂得“6 年后” 这几个字的含义,即 6 年后父子俩都长了 6 岁；今年父亲的年龄是儿子的 5 倍, 6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍,依据这两个相等关系列方程；解：设现在父亲 x 岁,儿子 y 岁,依据题意得：,名师归纳总结 答：父亲现在30 岁,儿子 6 岁；第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

29、 - - - - - 精品资料 欢迎下载总结升华： 解决年龄问题,要留意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了,其他人也一样增大或减小,并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）；【变式】 今年,小李的年龄是他爷爷的五分之一 三分之一 . 试求出今年小李的年龄 . . 小李发觉, 12 年之后,他的年龄变成爷爷的类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题：优化方案问题：在解决问题时,常常需合理支配；需要从几种方案中,挑选正确方案,如网络的 使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出正确方案；留意： 方案挑选题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点 , 比较几种方案得出正

30、确 方案例 12某地生产一种绿色蔬菜,如在市场上直接销售,每吨利润为1000 元；经粗加工后销售,每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售,每吨利润涨至 7500 元. 当地一家农工商公司收成这种蔬菜 140 吨,该公司加工厂的生产才能是：假如对蔬菜进行粗加工,每天可以加工 16 吨；假如进行细加工, 每天可加工 6 吨 . 但两种加工方式不能同时进行 . 受季节条件的限制,公司必需在 15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜

31、进行粗加工,并恰好在 15 天完成你认为挑选哪种方案获利最多？为什么？思路点拨： 如何对蔬菜进行加工,获利最大,是生产经营者始终摸索的问题 . 此题正是基于这一点,对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案,供同学们自助探究,相互沟通,尝试解决,并在探究和解决问题的过程中,体会应用数学学问解决实际问题的乐趣 . 解： 方案一获利为：4500 140=630000 元. 方案二获利为：7500 6 15+1000 140 6 15=675000+50000=725000 元. 方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工,吨蔬菜进行粗加工,就依据题意,得：,解得：所以方案三获利为：7500 60+4500

32、 80=810000 元. 由于 630000725000810000,所以挑选方案三获利最多答：方案三获利最多,最多为 810000 元；总结升华： 优化方案问题第一要列举出全部可能的方案,再按题的要求分别求出每个方案的详细结果,再进行比较从中挑选最优方案 . 举一反三：【变式 】某商场方案拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机,已知厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为：甲种每台 1500 元,乙种每台 2100 元,丙种每台 2500 元；1 如商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台,用去 9 万元,请你讨论一下商场的进货方案；2 如商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 中,为使获利最多,你挑选哪种进货方案？150 元、 200 元、 250 元,在以上的方案名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页