2022年导数知识点归纳及其应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 导数学问点归纳及其应用 学问点归纳一、相关概念1导数的概念函数 y=fx, 假如自变量 x 在 x 0 处有增量 x ,那么函数 y 相应地有增量 y =f （x 0 + x ） f （ x 0 ）, 比 值 y 叫 做 函 数x y=f （ x ） 在 x 0 到 x 0 + x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即y = f x 0 x f x 0 ；假如当 x 0 时,y 有极限, 我们就说函数 y=fx 在点 x 0x x x处可导,并把这个极限叫做 f （x）在点 x 0 处的导数,记作 f （ x 0 ）或 y| x x 0；即

2、f （x 0 ）= lim x 0 y =x lim x 0 f x 0 xx f x 0 ；说明：（1）函数f （x）在点x 0 处可导,是指x0时,y 有极限；假如 xy 不存在极限,x就说函数在点x 0 处不行导,或说无导数；x0时,而y 是函数值的转变量,可以是零；（2）x 是自变量 x 在 x 0 处的转变量,由导数的定义可知,求函数y=f （x）在点 x 0 处的导数的步骤：求函数的增量fy =f （x 0 +x ） f （x 0 ）；lim x0|x|xlim x 0|x|0f 0=0 求平均变化率y = xfx0xfx 0；x取极限,得导数f x0=lim x0y；x例： 设

3、fx= x|x|, 就 f 0= . 解析 ：lim x00x f0lim x0fxxxx2导数的几何意义函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（x 0 ,f （x 0 ）处的切线名师归纳总结 的斜率；也就是说,曲线y=f （x）在点 p（x 0 , f （x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）；第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 相应地,切线方程为y y 0 =f/（ x 0 ）（ xx 0 ）；例： 在函数yx38 x的图象上,其切线的倾斜角小于4的点中,坐标为整数的点的个数是 A

4、3 B 2 C1 D0 解析 ：切线的斜率为ky/3 x28又切线的倾斜角小于4,即0k1故03 x281解得：3x8 或38x33故没有坐标为整数的点3. 导数的物理意义假如物体运动的规律是 s=s（t）,那么该物体在时刻 t 的瞬时速度 v= s （t）；假如物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v（t）,就该物体在时刻 t 的加速度 a=v （t ）；例； 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,如把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是（t ）t s s s s O t O t O O A BCD答： A；练习： 已知质点 M按规律s22t3做直

5、线运动（位移单位：cm,时间单位： s）；（1）当 t=2 ,t0. 01时,求s ；t（2）当 t=2 ,t0. 001时,求s ；t（3）求质点 M在 t=2 时的瞬时速度；答案：（1）8.02cms（2）8.002cms；（ 3）8cms二、导数的运算名师归纳总结 1基本函数的导数公式: 第 2 页,共 8 页C0;（C为常数）xnn nx1;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sinx cosx; cos sin x ; e x e x ;x x a a ln a ; ln x 1; x1 l o g a x log a e . x例 1：以下求

6、导运算正确选项 Ax+ 1 1 12 Blog 2x = 1x x x ln 2C3 x =3 xlog 3e D x 2cosx =-2xsinx 1 1 解析 ：A 错, x+ 1 2x x1 B 正确, log 2x =x ln 2C错, 3 x =3 xln3 D错, x 2cosx =2xcosx+ x 2-sinx 例 2：设 f0 x sinx ,f1 x f0 x ,f2 x f1 x , ,fn1 x fn x ,n N,就 f 2005 x Asinx B sinx Ccos x D cosx 解析 ：f0 x sinx ,f1 x f0 x= cosx,f2 x f1x=

7、 - sinx ,f3 x f2 x= - cosx, f 4 x f 3 x= sinx ,循环了就 f 2005 x f 1 x cosx2导数的运算法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 或差 ,即： u v u v .法就 2：两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘以其次个函数 , 加上第一个函数乘以其次个函数的导数,即： uv u v uv .如 C 为常数 , 就 Cu C u Cu 0 Cu Cu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： Cu Cu .法就 3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的

8、积,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 再除以分母的平方：uuv2uv（v0）；vv例：设 fx、gx 分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 当 x0 时,fxgxfx gx0. 且 g3=0. 就不等式 fxgx0 的解集是 0A -3,03,+ B -3,00, 3 C -,- 33,+ D -,- 30, 3 解析 ：当 x0 时,fxgxfxgx0,即fxgx /当 x0 时, fxgx为增函数,又 gx 是偶函数且g3=0 ,g-3=0 ,f-3g-3=0 故当x3时, fxgx0,又 fxgx是奇函数,当 x

9、0 时, fxgx为减函数,且f3g3=0 故当0x3时, fxgx 0 应选 D 3. 复合函数的导数形如 y=fx的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解 求导 回代；法就： y|X= y |Uu|X或者f f* x .练习： 求以下各函数的导数：名师归纳总结 （1）yxx5sinx;（2）yx1x2x3;第 4 页,共 8 页x2（3）ysinx122 x cos4;（4）y11x11.2x解： 1 yx1x5sinxx33 xsinx,22x2x2xx2cosx . yx3x3x2sinx 3x53 x22x3sin222（2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+

10、6, y=3x2+12x+11. （3） y=sinxcosx1sinx,222y1sinx1sinx 1cosx .222（4）y11x11x1x1x12x,1x 1xy12x2 1x x122.12x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）设函数yf x 在某个区间（ a,b）可导, 假如fx0 ,就fx在此区间上为增函数；假如fx0,就fx在此区间上为减函数； （2）假如在某区间内恒有f x 0,就f x为常数 ；例： 函数fx x33 x21 是减函数的区间为A2 ,B,2 C ,0 D（0,2） 解析 ：

11、由f/x 3 x26x0,得 0x0,当1x1时,f/ x 0,故f x 的微小值、极大值分别为f13、f1 1,3、-17 ；而f3 17、f0 1故函数fx x33 x1在 -3 ,0 上的最大值、最小值分别是 经典例题选讲例 1. 已知函数yfx x 的图象如下列图 （其中fx是函数fx 的导函数）,下面四个图象中yfx的图象大致是 a 的取值范畴,并求其单调区间；例 2. 设fx 3 axx恰有三个单调区间,试确定名师归纳总结 例 3.已知函数fx x3bx2axd的图象过点P（0,2 ）, 且在点 M ,1f1 处的第 6 页,共 8 页切线方程为6xy70. （）求函数yfx的解析

12、式；（）求函数yfx的单调区间 . 例 4.设函数fx3 x2 bxcx xR ,已知g x f x f x 是奇函数；（）求 b 、 c的值；（）求g x 的单调区间与极值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5.已知 f （x） =x3ax2bxc在 x=1, x=2时,都取得极值；3（1）求 a、b 的值；（2）如对x,12 ,都有fx1恒成立,求c 的取值范畴；c例6.已 知x1是 函 数f x 3 mx3m2 1 xnx1的 一 个 极 值 点 , 其 中m nR m0,（I ）求 m 与 n 的关系式；（II ）求f x 的单调区间；yf

13、 x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求 m 的（III）当x1,1时,函数取值范畴 . 例 7：（2022 天津理 20） 已知函数 f x x 2ax 2 a 23 a e x x R , 其中 a R（1）当 a 0 时,求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线的斜率；（2）当 a 2时,求函数 f x 的单调区间与极值；3本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、 利用导数争论函数的单调性与极值等基础知识,考查运算才能及分类争论的思想方法；满分 12 分；2 x 2 x解：（I）当 a 0 时,f x x e,f x x 2 x e,故 f 1 3 e .所以曲线 y f

14、 x 在点 ,1 f 1 处的切线的斜率为 3 e .（II ）f x x 2 a 2 x 2 a 2 4 a e x .2令 f x 0,解得 x 2 a,或 x a 2 . 由 a 知,2 a a 2 .3以下分两种情形争论；名师归纳总结 （1）如a2 ,就 32aa2. 当 x 变化时,fx,fx的变化情形如下表：.第 7 页,共 8 页x,2 a2a2 a,a2a2a2,+ 0 0 + 极大值微小值所以fx 在,2a ,a2, 内是增函数,在2 a,a2 内是减函数函数fx 在x2 a 处取得极大值f2 a,且f2 a 3 ae2a.函数fx 在xa2 处取得微小值f a2 ,且fa2 43 a a e2.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如a2 ,就 32aa2,当 x变化时,fx,fx 的变化情形如下表：名师归纳总结 xf,a2a2a2,2a2 a2 a,2 a 内是减函数；第 8 页,共 8 页所以+ ,0 0 + 极大值微小值x 在a2 ,2 a, 内是增函数,在a2,函数fx 在xa2 处取得极大值f a2 ,且fa2 43 a a e2.- - - - - - -