2022年《一次函数》典型例题解析与点评.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一次函数典型例题解析与点评一次函数是中学数学中应用广泛、内容丰富的课题之一,通过学习一次函数,可有助于构造方程、深化懂得函数的变化,使以后的学习、争论更加便利本专题的基本要求是会依据已知条件,利用待定系数法确定一次函数的解析式；能用一次函数解决实际问题；会画一次函数的图像,并把握其性质, 所以我们从一些基础问题、最值问题、一次函数的应用、动点问题和定点问题这几个方面来阐述例题已知直线 l 1：y 3x4 与直线 l2：y1 x4 相交于点 A ,其中直线 l1与 x 轴交于点3C,现沿着 x

2、 轴将直线 l1在 x 轴以下的部分向上翻折到 x 轴的上半部,翻折后与直线 l 2 交于点 B1求射线 lCB（不含端点）对应的函数解析式及定义域；2求点 B 的坐标；3求 ABC 的面积【解答】1由 y 3x 4 知, C（4 3,0）【技巧】题中所求交点坐标是利用两个函数的解析式联立方程组求解,这种情形在“ 正反比例”中已做强调而求面积的题目一般是通过构造特殊的图形,或者利用割补法来求解另外,以下学问点在一些教材需等高中才能讲授,作为本书阅读者可提前明白已知两直线 l1：yk1xb1,l2：yk2xb21如 l 1 l2,就 k1 k2,或 l1、l2两直线同时平行 y 轴；反之亦然2如

3、 l 1l2,就 k1 k2 1,或 l1、l2中一条直线斜率为 直线分别为平行于 x 轴, y 轴）；反之亦然0,一条直线斜率不存在（两细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载在此题中, l 1、l2为相互垂直例题 2 已知 abc 0,abc0,b0,c0 时, y1【解答】【技巧】此题考查的是一次函数的图像,依据图像所经过的象限判定出斜率和截距的情形,即 b a0,（ c） a0

4、；再结合不等式的性质,推出a、b、c 的大小,从而得证反过来依据x 的取值范畴,再利用函数图像也能求出 y 的取值范畴例题 3 如下列图,在直角坐标系内,一次函数 ykxbkb0 ,b0 ,m 是常数 的图像经过点 A1 ,4,Ba,b,其x中,过点 A 作 x 轴垂线,垂足为 C,过点 B 作 y 轴垂线,垂足为 D,连接 AD 、DC 、CB 1如 ABD 的面积为 4,求点 B 的坐标；2求证： DC 平行于 AB ；3当 AD BC 时,求直线AB 的函数解析式【解答】 1将点 A 代入 ym x得： m4,所以 y4 x由 ABD 的面积为 4,点 Ba, b代入函数解析式得方程组：

5、【技巧】留意斜率公式：k y 1 y 2；两点间距离公式：dx 1 x 2 2y 1 y 2 2此题第一x 1 x 2用待定系数法求出反比例函数关系式,然后通过已知条件的面积以及关于点 B 的函数关系式找到两个等量关系,再构造方程组从而解出点 B 的坐标, 求证 DC 与 AB 的平行, 由于在直角坐标系中此题完全可撇除通过平行的判定来证明,这里我们从直线的斜率上判定,缘由在题 1 的技巧贴士中已经给出第 3问求函数关系式,挑选待定系数法,通过 AD BC,在直角坐标系中构造直角三角形,通过求边的长度找到等量关系细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

6、 - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【点评】几何问题是一次函数中常见的题型,它常常以一次函数的翻折旋转、一次函数的性质定义、由面积求一次函数解析式等形式显现在解题之前要熟记一次函数的定义、性质、特点等基本学问,特殊是类似一次函数斜率 k 0 等问题对于翻折旋转问题,仍请明白以下内容正由于如此,题1 中 l 1：y 3x4 关于 x 轴对称可直接表达为y 3x4,当然也可以取 l1 上一点（ 2, 2）,就该点关于 x 轴的对称点为 2, 2,求出经点 C（4,0

7、）与32,2的解析式即 l BC这种“ 取点” 方法间接解决了函数 yfx 关于某点对称的函数 ygx的求法,即取 yfx 上的一些点, 这些点的对称点比较简单求出,并且这些点都在 ygx上,有了这些点,利用“ 待定系数法” 等技巧可以表达出 ygx对于面积问题,通过题1、题 3、题 4 的讲解我们知道,在一次函数中,要么用割补法,如题 1,要么数形结合,直接用公式,如题4,以 BD 为底,ABD 的高为 4b例题 5 已知 fx 是一次函数1如 ffx 14x7,求函数 fx 的表达式；2如 f1 1,且 f2 24kb,求函数 fx 的表达式【解答】【技巧】第一设一次函数表达式为fx kx

8、 bk 0,比较左右两边的系数构造方程组求解,先 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 设出一次函数的表达式,通过两次代换得到一个新的函数,再利用两边对应项系数相等构造出方程组,从而解出k 和 b 的值,如对于ffx ,现标记为f 1f 2x ,先运算出f 2x,再将细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -f 2x视为一个整体代入f1x学习必备欢迎下载例题在直角坐标系 xOy ,x 轴上的动点 Mx ,0到定点 P5,5,Q2,1的距离分别为

9、 MP和 MQ ,那么当 MPMQ 取最小值时,求点 M 的横坐标【解答】如下列图,作点 Q 关于 x 轴的对称点Q（2, 1）设直线 PQ的解析式为 ykxb,将点P5,5,Q（2, 1）代入解析式得55kbb,解得 k2,b 5,就直线12kPQ的解析式为y2x5令 y0,就 x2.5 即为所求下面证明点 M2.5 , 0使 MP MQ 取最小值在 x 轴上任取点 M ,连接 MP、MQ 、PQ因为点 Q 关于 x 轴的对称点为Q,所以 x 轴为线段 QQ的垂直平分线由此可得 MQ MQ ,由于 MP MQ PQ,两点间距离线段最短,所以 MPMQ 的最小值即 MPMQ 的最小值为 PQ就

10、 PQ与 x 轴的交点即为所求点 M 【技巧】此题关键在于将问题转换为求两定点距离之和的最小值,即利用“ 两点之间线段最短”,由于点 P、点 Q 分布在 x 轴的同侧,所以利用对称的学问第一将其中一点 Q 找到它的对称点 Q,由于 M 点在 x 轴上,那么我们可以懂得其为直线PQ与 x 轴的交点仍请留意,找到了 M 点,仍需证明 M 使 MP MQ 取最小值,因此此题分两步：第一找出 M ,接着证明 M 即为所求例题设 fx mx1 m（1x）,其中m0,记 fx 在 0 x1 的最小值为gm ,求 gm 及其最大值,并作ygm 的图像【解答】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

11、 - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载所以 gm在 00,所以 y 随 x 的增大而增大,所以当 x44 时,y max3820,即生产 M 型号的时装 44 套时,该厂利润最大,最大利润是 3820 元【技巧】1求解自变量的取值范畴的时候,我们要运用到题设中所给的条件“ 两种型号的时装共用 A 种布料 70 米, B 种布料 52 米” ,确定出两个不等关系,找出相应的范畴,留意不等式是可以取得等号的2通过 5 种方案分别运算求出

12、利润并比较找出最大值,我们发觉利润 y 与 x 的函数关系为 y5x3600x40,41,42,43, 44,y 随 x 的增大而增大,因此x 取最大值的时候可以得到 y max3820【点评】以上 5 题主要涉及函数的迭代问题、最值问题和实际应用问题迭代问题, 就是将里面的函数看成一个整体代入外面的函数中,从内到外, 逐层推算 这就要考同学们对函数定义的懂得了,将外面函数中的 x 用里面函数的函数值代替再运算就可以了再次强调对于 ffx 的运算,现标记为 f 1f 2x ,先运算出 f2x ,再将 f2x 视为一个整体代入 f 1x,同理, f 1f2f 3x 也是如此,从内到外,先算 f

13、2,最终将 f2作为整体代人 f1f3,再将 f3作为整体代入运算最值问题分为两个方面,一个是两点间线段最短另一个是分段函数,需要进行分类讨论,分析函数增减性,画出函数图像,得到在定义域中函数值取到的最大值或最小值题 6 的做法在专题 6中仍会显现, 至于题 7 的最值就要在确定 gm的基础上才能确定 对于题 6,请千万牢记,此题要有两个步骤：第一找出 M ,接着证明 M 即为所求,第一个步骤是确定存在性,究竟有没有满意条件的M 点,其次步就是证明唯独性而实际应用问题,如题 8 和题 9,这两题是一次函数与不等式相结合的应用问题第一依据题目中的条件确定出不等关系,找出相应的自变量的范畴,确定出

14、几种方案,再对各种方案求出因变量进行比较,得出正确方案例题 10 如下列图,在平面直角坐标系中,已知OA 12cm,OB 6cm点 P 从点 O 开头沿 OA 边向点 A 以 1cm/s 的速度移动；点Q 从点 B 开头沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度移动假如点P、点 Q 同时动身,用t（秒）表示移动的时间0t6,就：1设 POQ 的面积为 y,求 y 关于 t 的函数 解析式；2当 POQ 的面积最大时,将POQ 沿直 线 PQ 翻折后得到PCQ,试判定点 C 是否落在 直线 AB 上,并说明理由【解答】1由题意得, BQtOP,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

15、 - - - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -CQ6t,所以 y1 2学习必备欢迎下载t 23t0t 62已知坐标 A12 ,0,B0 ,6,所以直线AB 为 y1 2x6由1得,当 y 取最大值时, t3,所以 CQ3,OP3,即 POQ 是等腰直角三角形将 POQ 沿直线 PQ 翻折,可得到边长为3 的正方形 OPCQ,得点 C 坐标 3,3,代入y1 2x6 不成立,即点C 没有落在直线AB 上,【技巧】此题是一个动点问题1要求 y 关于 t 的函数解

16、析式,只要求出 OQ、OP 的长度（包含未知数 t）即可； 2先求出当POQ 的面积最大时 t 的值,从而求得 OQ3 和 OP3,然后不难求出 C 点的坐标是 3,3,代入一次函数 y1 x6 即可2例题 11 已知函数 fx m2x2m31求证：无论 m 取何实数,这些函数的图像恒过某肯定点2当 x 在1, 2内变化时, y 在4,5内变化,求实数 m 的值【解答】1令 yfx m2x2m 3,就有 x2m2x3y 0【技巧】此题是一个定点问题1由“ 无论 m 取何实数时,这些函数的图像恒过某肯定点” 可知,这个定点与 m 的取值无关所以只需变换一次函数解析式,把含有 m 的项合并,转换成

17、 amb,其中 a0,b0 即可 2对 fx m2x2m 3,仍需争论 m2 的取值范畴,确定一次函数是增函数仍是减函数后,方可利用题设所给出的 x、y 范畴的端点值代入一次函数的解析式,最终求得 m【点评】动点问题与定点问题是一次函数实际运用中最多也是最有用的两类问题,细心整理归纳 精选学习资料 动点问题就是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、 射线或弧线上运动的一 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下

18、载其中数类开放性题目 解决这类问题的关键是动中求静,敏捷运用有关数学学问解决问题形结合是解决动点问题最主要的方法,在变化中找到不变的性质是解决数学“ 动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质例如题 10,其特点是有两个动点P、Q,而且它们分别在两条不同的射线上运动,解答问题的关键是认为点P、Q 是“ 静止” 的,不要被“ 运动” 二字所困惑,只要将POQ 的面积表达出来即可要求面积最大,可利用配方法,即y1t23t1t329,确定了点 P、Q 的坐222标后进一步求出点C 的坐标对于题 10,再做以下几点说明,这些规律对于解题很有帮忙,所以请牢记！1求最值问题,可能会涉

19、及一元二次方程中的“ 配方法”数的性质问题（如题 7 的分段函数） （专题 2 中已作说明）以及函2在最值的情形下,题中所形成的图形往往是“ 特殊” 的（如题 11 中等腰直角三角形POQ,专题 3 题 8 技巧贴士中所提及的正方形）3此题也属于翻折情形将本问题引申：如三角形POQ 是任意三角形（不肯定是直角三角形）,那经翻折后,C 点何时在直线AB 上呢？翻折的具体情形可见专题7 中的“ 思维点评” 至于“ 定点问题”,这是在运动变化中查找不变量的另外一个类型,这类问题常常会用 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - 到特殊与一般的数学思想,定点问题是数学思想与数学学问紧密结合的一类综合性试题,是中考考查才能的热点题型之一,定点问题一般分为两类：一类是直线过定点问题如题11的第一个问题, 具体解法技巧贴士中已给出；另一类是函数图像过定点问题,这类问题目前所学学问仍未涉及,将在9 年级“ 二次函数” 专题中涉及细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -