2022年常微分方程期末试题答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题（每空精品资料欢迎下载2 分,共 16 分）；名师归纳总结 d y1、方程d xd Y2. 方程组d xx2Fy2满意解的存在唯独性定理条件的区域是xoy 平面维第 1 页,共 6 页Y,xR ,YRn的任何一个解的图象是n+1 x ,空间中的一条积分曲线. d x3f yx,y连续是保证方程d yfx ,y初值唯独的充分条件d x4方程组dxxy的奇点0,0的类型是中心dtdydt5方程yx y1 y 22的通解是yCx1C 226变量可分别方程MxNydxpxqydy0的积分因子是N1xyP7二阶线性齐次微分方程的两个解y1x,y

2、2x 成为其基本解组的充要条件是线性无关8方程y4y4y0的基本解组是e2x xe2x二、挑选题（每道题3 分,共15 分）；9一阶线性微分方程d yp x yq x 的积分因子是（A ）d x（A）epxd x（B）eqxdx（C）epxd x（D）eqx 10微分方程ylny dxxlnydy0是（B ）（A）可分别变量方程（ B）线性方程（C）全微分方程（ D）贝努利方程11方程 xy21dx+yx 21dy=0 的全部常数解是（C ）A x1By1 Cy1,x1 Dy1,x112 n 阶线性非齐次微分方程的全部解（D ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

3、 - - 精品资料 欢迎下载（A）构成一个线性空间（C）构成一个n1维线性空间（B）构成一个n1维线性空间（D）不能构成一个线性空间名师归纳总结 13方程yy2x22（ D ）奇解第 2 页,共 6 页（A）有一个（B）有很多个（C）只有两个（D）无三、运算题（每道题8 分,共 48 分）；14求方程dy2xy2y2的通解dxx解：令yu,就dyuxdy,于是,duuxu2,1uuCxxdxdxdx所以原方程的通解为lnxy1Cx2,yxCx15求方程yd xy3 d y0的通解x解：取Mx ,yy,Nx ,yy3lnxx就Myx ,yNxx ,y1,于是原方程为全微分方程x所以原方程的通解为

4、1xydxyy3dyCx1即ylnx1y4C416求方程yy2x y1x2的通解2解:令yp,得到yp2xpx2（* ）,两端同时关于求导,2整理得2pxdp10,就dx取2px0,得px,代入（ * ） 得解yx224取dp10,得pxC,代入（ *）得原方程得通解为dxyx2CxCx22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17求方程y3y5 ex精品资料欢迎下载的通解解 对应的齐次方程的特点方程为 2 3 0,特点根为 1 0,2 33 x故齐次方程的通解为 y C 1 C 2 e由于 5不是特点根；所以,设非齐次方程的特解为5 xy 1 x A e

5、代入原方程,得名师归纳总结 25A5 ex15A5 ex5 exxBAsinx第 3 页,共 6 页即A1,10故原方程的通解为yC 1C2e3x15 ex1018求方程yy2yx ecosx7sinx 的通解解：先求解对应的其次方程：yy2y0,就有,220,11,22;yC 1exC2e2x由于数i1i不是特点根,故原方程具有形如y1exAcosxBsinx的特解；将上式代入原方程,由于y1exAco s xBs i n xy 1exABcosxBAsinxy1ex2Bcosx2Asinx故yy2yex2Bcosx2AsinxexABcosx2exAcosxBsinxexcosx7sin或

6、3BAc o s xB3As i n xc o s x7s i n x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 比较上述等式两端的cosx sin精品资料欢迎下载3B1,3AB7x的系数,可得A因此,A2 B1.故y1ex2cosx1sinx,123i5,那么所求通解为yex2cosx1 sinxC1exC2ex19求方程组dY35Y的实基本解组dx53解：方程组的特点多项式为5353,其特点根是属于1的特点向量1i1,属于2的特点向量21；i就方程的基本解组为1xie35iixe35ixx,e35xie35i其实基本解组为1x110；而110i1111i1i

7、21i因此所求实基本解组为名师归纳总结 x1x110i13 tecos 5 x3 etsin5 x第 4 页,共 6 页1ie35ixe35 ixi2e35 ixie35 ix13 tesin5 x3 etcos 5x四、应用题（每道题11 分,共 11 分）；20（1）求函数f t eat的拉普拉斯变换（2）求初值问题x3x0,2 x3 2 et的解x 0x00- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）eat0esteatdt精品资料satdt欢迎下载1aesat0s1a ,saaess（2）设xtXs,xt是已知初值问题的解；对已知方程两端同时使

8、用拉普拉斯变换,可分别得到x3 x2 xx3x2xXss23 s2Xss2的3 s2Xss1s2;3 t2 e23 tes23故有Xss1s22s3使用部分分式法,可得sXss11s2s1313s 122 ;1由（ 1）可知,t e;2 et3 tes0y ,方程1故所求的初值解为xtet2e2t3 et；得分评卷老师五、证明题（每道题10 分,共 10 分）；21 证明：对任意0x 及满意条件0y01dy1y y12的满意条件y x 0y 的解yy x 在dxx2y, 上存在；证：由于fx ,y1yy12x2yf yx ,y 2y1 11x22y22y y12yxy2在全平面上连续,所以原方程在全平面上满意解的存在唯独性定理及解的延展定理条件名师归纳总结 又明显y0 y1是方程的两个特解 现任取x0,0y,01 ,第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 记yyx为过x0,y0精品资料欢迎下载的解,那么这个解可以唯独地向平面的边界无限延展,又名师归纳总结 上不能穿越y1,下不能穿越y0,因此它的存在区间必为,第 6 页,共 6 页- - - - - - -