2022年《概率论与数理统计》习题及答案第一章.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载概率论与数理统计习题及答案第一章1写出以下随机试验的样本空间及以下大事中的样本点：（1）掷一颗骰子,记录显现的点数 . A显现奇数点；（2）将一颗骰子掷两次, 记录显现点数 . A 两次点数之和为 10 ,B 第一次的点数,比其次次的点数大 2 ；（3）一个口袋中有 5 只形状完全相同的球,编号分别为 1,2,3,4,5；从中同时取出 3 只球,观看其结果,A球的最小号码为 1 ；（4）将 a b 两个球, 随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观看放球情形,A甲盒中至少有一球；（5）记录

2、在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A通过汽车不足 5 台 ,B通过的汽车不少于 3 台 ；解（1）S e 1 , e e e 4 , e e 6 其中 ie显现 i 点i 1,2, ,6,A e e 3 , e 5 ；（2）S 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,62,1, 2, 2, 2,3, 2, 4, 2,5, 2,63,1, 3, 2, 3,3, 3,4, 3,5, 3,64,1, 4, 2, 4,3, 4, 4, 4,5, 4,65,1, 5, 2, 5,3, 5, 4, 5,5, 5,66,1, 6, 2, 6,3, 6, 4, 6,5, 6,6 ；细心整理归纳

3、精选学习资料 A4,6,5,5, 6, 4； 第 1 页,共 7 页 B3,1,4, 2, 5,3, 6, 4；（3）S1, 2,3, 2,3, 4, 3,4,5, 1,3,4, 1,4,5, 1,2,4, 1,2,52,3,5,2, 4,5, 1,3,5A1, 2,3, 1,2, 4, 1,2,5, 1,3,4, 1,3,5, 1,4,5（4）Sab, , , ,ab , , , ,ab, , , , , , , , , , , ,a, , , , , , ,其中表示空盒；Aab, , , , , , , , , , , , ；（5）S0,1, 2,A0,1, 2,3, 4,B3, 4,；2

4、设A B C 是随机试验 E 的三个大事,试用A B C 表示以下大事： - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（1）仅 A 发生；（2）A B C 中至少有两个发生；（3）A B C 中不多于两个发生；（4）A B C 中恰有两个发生；（5）A B C 中至多有一个发生；解（1） ABC（2） AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ；（3） A B C 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

5、；（4） ABC ABC ABC ；（5） AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ；3一个工人生产了三件产品,以 iA i 1,2,3 表示第 i 件产品是正品,试用 iA 表示以下大事： （1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品；解（1）A A A ；（2）A 1A 2A ；（3）A A A 3A A A 3A A A ；（4）A A 2A A 3A A ；4在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率；解 设 A任取一电话号码后四个数字全不相同,就4P A P 104 126 0.50410

6、2505一批晶体管共 40 只,其中 3 只是坏的,今从中任取 5 只,求（1）5 只全是好的的概率；（2）5 只中有两只坏的的概率；细心整理归纳 精选学习资料 解（1）设 A5 只全是好的,就3 个球,求 第 2 页,共 7 页 P A 5 C 370.662；5 C 40（2）设 B5 只中有两只坏的,就P B 2 3C C 370.0354. 5 C 406袋中有编号为1 到 10 的 10 个球,今从袋中任取（1）3 个球的最小号码为5 的概率；（2）3 个球的最大号码为5 的概率 . 解（1）设 A最小号码为5 ,就 - - - - - - - - - - - - - - - - -

7、 - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -P A 优秀学习资料欢迎下载2 C 51；C 10 312（2）设 B最大号码为5 ,就C21. P B 4C 10 3207（1）教室里有 r 个同学,求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解（1）设 A他们的生日都不相同,就P A r P 365；365 r（2）设 B至少有两个人的生日在同一个月,就P B 2 1 2C C P 112 2C C 123 2C P 121 C 1241；12 496或P B 1P B 14 P

8、 1241. 4 12968设一个人的生日在星期几是等可能的,求 期中的某两天,但不是都在同一天的概率 . 6 个人的生日都集中在一个星解 设 A生日集中在一星期中的某两天,但不在同一天,就2 6P A C 7 26 2 0.01107 . 79将 C C E E I N S 等 7 个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率是多少？解 1 设 A恰好排成 SCIENCE 将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本领件,全部的排法：2字母 C 在 7 个位置中占两个位置,共有 C 种占法, 字母 E 在余下的 5 个位2置中占两个位置, 共有 C 种占法, 字母 I N

9、C 剩下的 3 个位置上全排列的方法2 2共 3！种,故基本领件总数为 C 7 C 53. 1260,而 A中的基本领件只有一个,故P AC2123.1；C126075解 2 七个字母中有两个元素的全排列；一般地,设有E ,两个 C ,把七个字母排成一排,称为不尽相异 n 个元素,其中第一种元素有 1n 个,其次种元素细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -有n 个 ,第 k 种元素有优秀学习资料欢迎下

10、载n ,将这 n 个元素排成一排n 个n 1n 2nk称为不尽相异元素的全排列；不同的排列总数为对于此题有P A n 1.n.n k.,. n2.1417.7.12602.2.10从 0,1,2, ,9 等10个数字中,任意选出不同的三个数字,试求以下事件的概率：1A三个数字中不含 0 和 5 ,A 2三个数字中不含 0 或 5 ,A 3三个数字中含 0 但不含 5. 3解 P A 1 C C1083 15 7. 3 3 3P A 2 C C1093 C C1093 C C10831415,或P A 21P A 211 C 814, 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - -

11、3 C 1015P A 32 C 87. 3 C 103011将 n 双大小各不相同的鞋子随机地分成n 堆,每堆两只, 求大事 A 每堆各成一双的概率. 解n 双鞋子随机地分成n 堆属分组问题, 不同的分法共2 .2.2 .2.n2.2.每堆各成一双共有n 种情形,故2n n.P A 2 .12 设大事A 与 B 互不相容,P A 0.4,P B 0.3,求P AB与P AB解PA B 1PAB 1PA PB0. 3由于A B 不相容,所以AB ,于是P ABP A 0.613如P ABP AB且P A P ,求P B . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

12、 - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解P AB1P A优秀学习资料欢迎下载P ABB1P A P B由 P AB P AB 得P B 1 P A 1 p14设大事 A B 及 A B的概率分别为 p q r ,求 P AB 及 P A B 解 P AB P A P B P A B p q rP A B P A P B P AB P A 1 P B P A P AB 1 q p q r 1 p r . 15设 P A P B 0.7,且 A B 仅发生一个的概率为 0.5,求 A B 都发生的概率；解 1由题意有ABP ABP A

13、B0.5P ABP AP ABP B P AB0.72P AB ,所以解2P AB0.1. ABAB ,故2 P AB,A B 仅发生一个可表示为0.5P ABP ABP A P B 所以P AB0.1. B 0.3,PP BA0.2,求P AB 与P AB. 16设P A 0.7,P AP A B解0. 3PABP A A B0. 7所以P AB0.4,故P AB0.6；P B0.4. 0.2P B P AB所以细心整理归纳 精选学习资料 P B0.6P AB0.11 第 5 页,共 7 页 P AB1P AB 1P A P B17设 ABC ,试证明P A P BP C1P B 证 由于

14、ABC ,所以P AP CP ABP A P BP AB - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载故P A P B P C 1 . 证毕 . 18对任意三大事 A B C ,试证P AB P AC P BC P A . 证 P AB P AC P BC P AB P AC P ABC P AB AC P A B C P A . 证毕 . 119设 A B C 是三个大事, 且 P A P B P C , P AB P BC 0,4P

15、 AC 1,求 A B C 至少有一个发生的概率；8解 P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C由于 0 P A B C P A B,所以 0 P ABC 0,于是3 1 5P A B C 4 8 8220随机地向半圆 0 y 2 ax x（ a 为正常数）内掷一点,点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于/ 4 的概率 . 解 ：半圆域如图y设 A原点与该点连线与x 轴夹角小于/ 4 第 6 页,共 7 页 x 由几何概率的定义110 y /4 a x P A 半园的面积 A 的面积 14 12 a

16、2a21把长为 a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率1a2. 222解1设 A三段可构成三角形,又三段的长分别为x,y axy ,就 0xa, 0ya, 0xya ,不等式构成平面域S . yaa S A A发生0xa, 0ya,ax222a/2 不等式确定 S 的子域 A ,所以a 且0 a/2 a P A A的面积1S的面积4解 2设三段长分别为x y z ,就 0xa, 0ya, 0z细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

17、 - - - -xyz z优秀学习资料欢迎下载yS . a ,不等式确定了三维空间上的有界平面域A 发生xzxzy 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - A yzxy 不等式确定 S 的子域 A,所以x P A A的面积1. S的面积422随机地取两个正数x 和 y ,这两个数中的每一个都不超过1,试求 x 与y 之和不超过1,积不小于0.09 的概率 . 解0x1,0y,不等式确定平面域 1S. y Axy1,xy0.09就 A发生的1S 充要条件为 0xy1, 1xy0.09不A 等式确定了 S 的子域 A,故00.1 0.91y P A A的面积0.20.91x0.9dxS的面积0.1x0.40.18ln323（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离a a0的一些平行线,向平面上随机地投掷一根长l la 的针,求针与任一平行线相交的概率. 解设 A针与某平行线相交,针落在平面上的情形不外乎图中的几种,a设 x 为针的中点到最近的一条平行线的距离；为针与平行线的夹角,就a0xa, 0,不等式确定了平面上2x的一个区域 S. aS xlsinA 发生xLsin,不等式确定 S 的子域 A2220A 故P A 10Lsind2 La2a2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -