2022年幂函数及其性质专题教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一 般 地 , 形 如 y 1x （ xR） 的 函 数 称 为 幂 函 数 , 其 中 x 是 自 变 量 ,是 常 数 . 如1yx2,yx 3,yx4等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.二、函数的图像和性质 1（1） yx（2）yx2（3）yx 2（4）yx1（5）yx 3用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观看图像,可以看出：yxyx2y3 xyx1yx12定义域奇偶性在 第 象 限 单 调增减性定点（公共点）3幂函数性质（1）全部的幂函数在（

2、0,+）都有定义,并且图 象都过点（ 1,1）；（2） x 0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在 0 ,+ 上,是增函数（3） 0 时,幂函数的图象在区间（ 0,+）上是减函数 .三两类基本函数的归纳比较： 定义对数函数的定义 ：一般地,我们把函数ylog ax （ a 0 且 a 1）叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+）R）的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,是幂函数的定义： 一般地,形如 yx （ x常数. 性质 对数函数的性质 ：定义域：（0,+）；值域： R；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - -

3、- - 名师精编 优秀教案过点（ 1,0）,即当 x =1, y =0；在（0,+）上是增函数；在（ 0,+）是上减函数幂函数的性质： 全部的幂函数在（ 0,+）都有定义,图象都过点（ 1,1） x 0 时,幂函数的图象都通过原点,在0 ,+ 上, yx 、y2 x 、y3 x 、y1x 是增函数,在（0,+）上,yx1是减函数；【例题选讲】例 1已知函数fx2 mm1x5m3,当m 为何值时,fx ：（1）是幂函数； （2）是幂函数,且是0,上的增函数；（3）是正比例函数； （ 4）是反比例函数； （5）是二次函数；简解：（1）m2或mx1（2）m1（3）m4（4）mf2（ 5）m155变式

4、训练：已知函数fm2m xm 22m3,当 m 为何值时,x 在第一象限内它的图像是上升曲线；简解：m2m00解得：m, 13,m22m3小结与拓展：要牢记幂函数的定义,列出等式或不等式求解；例 2比较大小：11m 的值（1）1.5 ,1.7 2（2）3 3 1.2 , 1.25 （3）1 15.25 ,5.26 ,5.262（4）3 0.5 ,30.5,log 0.5111解：（ 1）yx 在 0, 上是增函数, 1.51.7 ,1.521.72（2）y3 x 在 R 上是增函数,1.21.25 ,3 1.23 1.25（3）yx1在 0, 上是减函数,5.255.26 ,5.2515.26

5、1；yx 5.26是增函数,12 ,5.2615.262；综上,5.2515.2615.262（4）03 0.51 ,0.5 31,log 0.50 ,log 0.53 0.50.5 3例 3已知幂函数yxm 22m3（mZ ）的图象与 x轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,求名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 幂函数yxm 22m名师精编优秀教案3（ mZ ）的图象与 x轴、 y 轴都无交点,m22 m30,1m3；3Z ,又函数图象关于原点对称, mZ ,m 22mm22 m3是奇数,m0或m2例 4、设函

6、数 f（x） x 3,（1）求它的反函数；（2）分别求出 f 1（x） f（ x）,f1（x） f（x）,f1（ x） f（x）的实数 x 的范畴解析：（1）由 yx 3 两边同时开三次方得1（2）函数 f（x） x 3 和 f1（x） x 31x3y , f 1（x） x3的图象都经过点（0,0）和（ 1,1）f1（ x） f（x）时, x 1 及 0；在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知f1（x） f（x）时, x 1 或 0x1；f1（x） f（x）时, x 1 或 1x0点评： 此题在确定 x 的范畴时,采纳了数形结合的方法,如采纳解不等式或方程就较为麻烦2123例 5、求函数

7、yx52x5 4（x 32）值域1解析： 设 tx5, x 32, t 2,就 yt 22t4（ t1）当 t 1 时, ymin3函数 yx22x14（x 32）的值域为 3,）55点评： 这是复合函数求值域的问题,应用换元法【同步练习】1.以下函数中不是幂函数的是（）y2xyx1 yxy3 x答案：2.以下函数在,0 上为减函数的是（）1yx3y2 xyx3yx2答案：名师归纳总结 3.以下幂函数中定义域为x x0的是（）第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yx2y3y名师精编优秀教案x323x 2x3y2答案：4函数 y（ x

8、 22x）1的定义域是（）C（, 0）2,D（0,2）2A x|x 0 或 x 2B（, 0）（2,）解析： 函数可化为根式形式,即可得定义域答案： B 15函数 y（ 1 x 2） 2 的值域是（）A 0,B（0,1）C（0,1）D0,1解析： 这是复合函数求值域问题,利用换元法,令 t1x 2,就 yt 1x1, 0t1, 0y1答案： D 26函数 yx5的单调递减区间为（）C0,D（,）A （, 1）B（, 0）2解析： 函数 yx5是偶函数,且在0,）上单调递增,由对称性可知选B答案： B 7如 a1 a1,就 a 的取值范畴是（）D 1a0 22A a1Ba 0 C1a0解析： 运

9、用指数函数的性质,选C答案： C 8函数 y 152 xx 2 3的定义域是；解析： 由（ 152xx 2）30 152xx20 3x5答案： A9函数 yx21m2在其次象限内单调递增,就m 的最大负整数是_m解析： m 的取值应当使函数为偶函数故m 1答案： m 1 2名师归纳总结 10、争论 函数 yx5的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案R2思路： 函数 yx5是幂函数2（1）要使 yx55x2有意义, x 可以取任意实数,故函数定义域为（2） xR, x 2

10、0 y0（3）f（ x）5x25x2f（ x）,2函数 yx5是偶函数；（4） n2 0,52幂函数 yx 5在 0,上单调递增2由于幂函数 yx 5 是偶函数,2幂函数 yx 5 在（,0）上单调递减（5）其图象如下图所示11、比较以下各组中两个数的大小：（1）1.53,1.73；（2）0.71.5,0.61.5；（3）1 2. 2,1 . 25 255333解析：（1）考查幂函数1yx 的单调性,在第一象限内函数单调递增,33,1.5 1.7,1.55.753（2）考查幂函数yx2的单调性,同理0.71.50.61.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数,.12 21.22,1.

11、25 21.252,又1 .221.252,333333.12 21. 25233点评： 比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是：（1）如能化为同指数,就用幂函数的单调性；（2）如能化为同底数,就用指数函数的单调性；（3）如既不能化为同指数,也不能化为同底数,就需查找一个恰当的数作为桥梁来比较大小12已知函数 y4152x2 x（1）求函数的定义域、值域；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案（2）判定函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析： 这是复合函数问题,利用换元法令t152xx 2,就 y 4

12、 t ,（1）由 15 2xx 20 得函数的定义域为5,3,t 16（ x1）20,16函数的值域为0, 2（2）函数的定义域为5,3且关于原点不对称,函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5,3,对称轴为 x1,x 5,1时, t 随 x 的增大而增大； x（1,3）时, t 随 x 的增大而减小又函数 y4t 在 t0,16时, y 随 t 的增大而增大,4 2函数 y152 xx 的单调增区间为5,1,单调减区间为（1,3答案：（1）定义域为5,3,值域为 0,2；（2）函数即不是奇函数,也不是偶函数；（3）（1,3规律总结1在争论幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；名师归纳总结 - - - - - - -2对于幂函数yx ,我们第一应当分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限, 其次确定曲线的类型,即0,01 和1 三种情形下曲线的基本外形,仍要留意0, 1 三个曲线的外形；对于幂函数在第一象限的图象的大致情形可以用口诀来记忆：“ 正抛负双,大竖小横” ,即0（ 1）时图象是抛物线型；0 时图象是双曲线型；1 时图象是竖直抛物线型；01 时图象是横卧抛物线型第 6 页,共 6 页