2022年平方差公式与完全平方公式试题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 乘法公式的复习一、复习 : a+ba-b=a2-b2 a+b2=a 2+2ab+b 2 a-b2=a 2-2ab+b2a+ba2-ab+b2=a3+b 3 a-ba2+ab+b 2=a3b3归纳小结公式的变式,精确敏捷运用公式： 位置变化, x yy xx2 y 22 y2 符号变化,x yx yx2 y 2 x 指数变化, x 2 y 2 x 2 y2x 4 y4 系数变化, 2a b 2a b4a 2 b 2 换式变化, xyz m xyz mxy2z m2x 2y 2z m z mx 2y 2z2 zm zm mx 2y 2 z2 2zm

2、 m 增项变化, x y z x y zx y2 z22 zx y x yx 2 xy xy y 2 z 2名师归纳总结 x 2 2xy y2 z 2第 1 页,共 27 页 连用公式变化,x y x y x2 y 2x 2 y2 x 2 y 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 4 y 4 逆用公式变化,x y z2x y z2x y zx y zx y zx y z2x2y 2z4xy 4xz例 1已知a8b2,ab1,求a2b2的值；2 ab2a22ab解： ab2b2a2b2=ab 2ab2,ab112a2b2=222例 2已知ab8,abb

3、22,求ab2的值；解：ab 2a22 abb2 ab 2a22 abab 2ab 24 abab 24ab=ab ab,ab256ab 28242例 3：运算 1999 2-2000 1998 解析此题中 公式；2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差解：1999 2-2000 1998 =1999 2- （1999+1） （ 1999-1） =1999 2- （1999 2-1 2）=1999 2-1999 2+1 =1 例 4：已知 a+b=2,ab=1,求 a 2+b 2和a-b 2的值；解析此题可用完全平方公式的变形得解；名师归纳总结 解：a2+b 2=a+b2

4、-2ab=4-2=2 第 2 页,共 27 页（a-b2=a+b2-4ab=4-4=0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5：已知 x-y=2 ,y-z=2 ,x+z=14；求 x2-z2的值；解析此题如想依据现有条件求出x、y、z 的值,比较麻烦,考虑到 x2-z2 是由 x+z 和 x-z 的积得来的,所以只要求出x-z 的值即可；解：由于 x-y=2 ,y-z=2 ,将两式相加得 x-z=4 ,所以 x 2-z 2=（x+z）x-z=14 4=56；例 6：判定（ 2+1）（2 2+1）（2是几？4+1） （ 2 2048+1）+1 的个位数

5、字解析此题直接运算是不行能运算出一个数字的答案,故有一定的规律可循；观看到1=（2-1 ）和上式可构成循环平方差；解：（2+1）（2 2+1）（2 4+1） （ 2 2048+1）+1 = （2-1 ）（2 2+1）（2 4+1） （ 2 2048+1）+1 =2 =1640961024 由于当一个数的个位数字是6 的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是 6,所以上式的个位数字必为 6；例 7运用公式简便运算2（1）1032（2）19810000 600 9 2 解 ：（ 1 ） 103100 32 100 2 2 100 3 3 210609 名师归纳总结 2（2）198200 22 2

6、00 2 2 200 2 2 240000 800 4 39204 第 3 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8运算（1） a 4b 3c a 4b 3c（2） 3x y 2 3x y 2解：4b（1）原式a 3c4ba 3ca 3c29x 2 y 2 4y 4 4b2 a 2 6ac 9c2 16b 2y 29x2y 2 4y 4（2）原式3xy 23x例 9解以下各式（1）已知 a 2 b 2 13,ab 6,求 a b 2, a b 2的值；（2）已知 a b 2 7, a b 2 4,求 a 2 b 2,ab 的值；（3）已

7、知 a a 1 a 2 b 2,求 a b ab 的值；2 22（4）已知 x 1x3,求 x4x的值；1分析：在公式 a b 2 a 2 b 2 2ab 中,假如把 a b,a 2 b 2 和 ab 分别看作是一个整体, 就公式中有三个未知数, 知道了两个就可以求出第三个；解：（1）a 2 b 2 13,ab 6 名师归纳总结 a ba b2 a 2 b 2 2ab 13 2 6 25 2 ba 2 2ab b 2 4 第 4 页,共 27 页2 a 2 b 2 2ab 13 2 6 1 （2） a b2 7, a b2 4 a2 2ab b 2 7 得 2 a 2 b 211,即2 a11

8、2 得 4 ab 3,即ab34- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）由 a a 1a 2 b2 得 a b2 2 a2 bab12 ab22ab91ab221122421x21112222（4）由x1 x3,得x12即x2x9xx22 x1x21121即x4121119x2x4x4么？例 10四个连续自然数的乘积加上 1,肯定是平方数吗？为什2 分析：由于 1 2 3 4 1 25 5 22 3 4 5 1 121 111, 32 4 5 6 1 361 19 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上都是平方数；解：设 n,n 1,n 2,n 3 是四

9、个连续自然数就 n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 1 n 2 1 n 2 3n 2 2 n 2 3n 1 n 2 3n n 2 3n 2 1 n 2 3n 1 2n 是整数, n 2,3n 都是整数 n 2 3n 1 肯定是整数n 2 3n 1 是一个平方数 四个连续整数的积与 1 的和必是一个完全平方数；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 11运算（1） x2 x 12（2） 3m n p22 xx解：（1）2 2x x 2 x 122 2 xx2 12 22 x2 1 2x 1 x 4 x3 2

10、x2 1 2xx 4 2x 3 3x 2 2x 1 （23m2 n 2p2p2 np）3m n p9m 2 n 2 p 2 6mn 6m2 2 3mn 2 3mp 2np分析：两数和的平方的推广a b c2a b c2a b 2 2 a b c c 2a 2 2ab b 2 2ac 2bc c 2a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac 即a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac 几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的 2倍；二、乘法公式的用法 一 、套用 : 这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉, 精确地把握其特点, 为辨认

11、和运用公式打下基础,同时能提高同学的观看才能；名师归纳总结 5例1. 2计x4算y：5 x23 y25x23 y2解：原式第 6 页,共 27 页x2225943 y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二 、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题；例 2. 运算： 1a a1a21a415 z1解：原式1a21a21a42y1a414 a5 z13 x1a8例 3. 运算： 3 x2y3 x12 y5 z3 x1解：原式2y5 z2y5 z23 x124y29x225 z220yz6x1三、逆用 : 学习公式不能只会正向运用,有时仍需要将公式

12、左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题；例 4. 运算： 5 ab78 c25 ab78 c27 b8 c5 a7 b8 c8 c5 a7 b8 c5 a解：原式5 a7 b10 a14b16c140ab160 ac四、变用 : 题目变形后运用公式解题；例 5. 运算： xy2z xy6z2z4z2z4zxy解：原式xyxy2z24z24xz4yzx2y2122 z2xy五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题；这里以完全平名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方公式为例, 经过变形或重新组合,

13、可得如下几个比较有用的派生公 式：1 .ab22 abba2b 2b22 .ab22 aba2b 23 .ab2a22a24 .ab2ab24 ab敏捷运用这些公式,往往可以处理一些特别的运算问题,培育综 合运用学问的才能；例 6. 已知 ab4,ab5,求 a25b2 的值；b224 ab222解： a2b 2a26例 7. 运算： ada2bcdbc解：原式bcad2bcad29,那么x2y3 z2bc2ad25,z 2xyy2 a22 2 b2 2 c2 d24 bc4 ad例 8. 已知实数 x、y、z 满意xy名师归纳总结 （）9ab1ab2ab2第 8 页,共 27 页解：由两个完

14、全平方公式得：4从而2 z12 5xy2y4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 252152y2y944y6y92 zy 26y902308y322y3z0,y32x2x2y3 z三、学习乘法公式应留意的问题（一）、留意把握公式的特点,认清公式中的“ 两数” 例 1 运算-2 x2-52 x2-5 分析：此题两个因式中 “ -5 ” 相同,“ 2x2” 符号相反, 因而“ -5 ”是公式 a+b a- b=a 2- b 2 中的 a,而“2x2” 就是公式中的b解：原式 =-5-2 x 2-5+2 x2=-52-2 x 22=25-4x 4例 2 运算-

15、 a 2+4b2分析：运用公式 a+b 2=a 2+2ab+b 2时,“- a 2” 就是公式中的 a,“ 4b” 就是公式中的 b；如将题目变形为 4 b- a 2 2时,就“4b” 是公式中的 a,而“a 2” 就是公式中的 b（解略）（二）、留意为使用公式制造条件例 3 运算2 x+y- z+52 x- y+z+5分析：粗看不能运用公式运算, 但留意观看,两个因式中的“ 2x” 、名师归纳总结 “ 5” 两项同号,“y” 、“z” 两项异号,因而,可运用添括号的技第 9 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 巧使原式变形为符合平方差公

16、式的形式解：原式 =2 x+5+ y- z 2 x+5- y- z =2x+52- y- z22 =4x2+20x+25- y+2yz- z2例 4 运算 a-12 a 2+a+12 a 6+a 3+1分析：如先用完全平方公式绽开, 运算特别繁冗, 但留意逆用幂的运算法就,就可利用乘法公式,使运算简便解：原式 = a-1 a 2+a+1 a 6+a 3+1 2 = a 3-1 a 6+a 3+1 2 = a 9-1 2=a 18-2 a 9+1 例 5 运算2+12 2+12 4+12 8+1分析：此题乍看无公式可用,“ 硬乘” 太繁,但如添上一项（2-1 ）,就可运用公式,使问题化繁为简解：

17、原式 =2-12+12 2+12 4+12 8+1 =2 2-12 2+12 4+12 8+1 =2 4-12 4+12 8+1 =（2 8-1 ）（2 8+1）=2 16-1 （三）、留意公式的推广运算多项式的平方,由 a+b2=a 2+2ab+b 2,可推广得到： a+b+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc可表达为： 多项式的平方, 等于各项的平方和, 加上每两项乘积的 2 倍名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6 运算2 x+y-32解：原式 =2x2+y 2+-32+22x y+22

18、x-3+2 y-3 =4x2+y 2+9+4xy-12 x-6 y（四）、留意公式的变换,敏捷运用变形公式例 7 1 已知 x+y=10,x 3+y 3=100,求 x 2+y 2的值； 2 已知： x+2y=7,xy=6,求 x-2 y 2的值分析：粗看好像无从下手,但留意到乘法公式的以下变形：x 2+y2= x+y2-2 xy,x3+y 3= x+y3-3 xy x+y ,x+y2- x- y2=4xy,问题就特别简洁解：1 x 3+y 3= x+y 3-3 xy x+y,将已知条件代入得100=10 3-3 xy10,xy=30 故 x 2+y 2=x+y 2-2 xy=10 2-2 3

19、0=402 x-2 y 2= x+2y 2-8 xy=7 2-8 6=1例 8 运算 a+b+c 2+ a+b- c 2+a- b+c+ b- a+c 2分析：直接绽开, 运算较繁, 但留意到由和及差的完全平方公式可变换出 a+b2+a- b2=2a 2+b 2 ,因而问题简洁解决2解：原式 = a+b+ c2+ a+b- c2+ c+ a- b2+ c- a- b=2 a+b2+c 2+2 c2+ a-b2 =2a+b2+ a- b2+4 c 2 =4a 2+4b 2+4c2（五）、留意乘法公式的逆运用例 9 运算 a-2 b+3c2- a+2b-3 c2分析：如按完全平方公式绽开,再相减,

20、运算纷杂,但逆用平方名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 差公式,就能使运算简便得多解：原式 = a-2 b+3c+ a+2b-3 ca-2 b+3c- a+2b-3 c =2a-4 b+6c=-8 ab+12ac但逆例 10 运算2 a+3b2-22 a+3b5 b-4 a+4 a-5 b2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法绽开后运算,用完全平方公式,就运算更为简便解：原式 =2a+3b2+22 a+3b4 a-5 b+4 a-5 b2=2 a+3b+4 a-5 b2=6 a-2 b2=36a 2-24 ab

21、+4b 2四、怎样娴熟运用公式：（一）、明确公式的结构特点这是正确运用公式的前提, 如平方差公式的结构特点是： 符号左边是两个二项式相乘, 且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特点就能在各种情形下正确运用公 式（二）、懂得字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b 可以是详细的数,也可以是单项式或多项式懂得了字母含义的广泛性, 就能在更广泛的范畴内正确运用公式如运算（ x+2y3z）2,如视 x+2y 为公式中的 a,3z 为 b,就就可用（ ab）2=a 22ab+b 2 来解了；（三）、熟识常见的几种变化名

22、师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 有些题目往往与公式的标准形式不相一样或不能直接用公式计算,此时要依据公式特点,合理调整变化,使其满意公式特点常见的几种变化是：1、位置变化 如（3x+5y）（5y3x）交换 3x 和 5y 的位置后即可用平方差公式运算了2、符号变化 如（ 2m7n）（2m7n）变为（ 2m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了 （摸索：不变或不这样变,可以吗？）3、数字变化 如 98 102,99 2,91 2等分别变为（1002）（100+2）,（1001）2,（90+1）2后就能够用乘法

23、公式加以解答了4、系数变化 如（4m+ n ）（2mn ）变为 2（2m+ n ）（2mn ）2 4 4 4后即可用平方差公式进行运算了5、项数变化 如（x+3y+2z）（x3y+6z）变为（ x+3y+4z2z）（x3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了（四）、留意公式的敏捷运用有些题目往往可用不同的公式来解, 此时要挑选最恰当的公式以使运算更简便如运算（ a 2+1）2 （a 21）2,如分别绽开后再相乘,就比较繁琐, 如逆用积的乘方法就后再进一步运算,就特别简便 即原式= （a 2+1）（a 21） 2=（a 41）2=a 82a 4+1对数学公式只会顺向 （从左到右） 运

24、用是远远不够的, 仍要留意逆向（从右到左）运用如运算（12 1 ）（123 1 ）（14 1 ） （ 19 1 ）（110 1 ）,如分别算出各因式的值后再行相乘,不仅运算繁难,而且简洁出错如留意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,就可巧解此题名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即原式 =（11 ）（1+ 21 ）（121 ）（1+ 31 ） （1310 1 ）（1+1 ）10=1 23 2234 39 1011 = 101 211 = 1011 20有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式

25、,乘法公式的变式主要有： a 2+b 2=（a+b）22ab,a 2+b 2=（ab）2+2ab等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效如已知 m+n=7,mn=18,求 m 2+n 2,m 2mn+ n 2的值面对这样的问题就可用上述变式来解,即 m 2+n 2=（m+n）22mn=7 22 （ 18）=49+36=85,m 2mn+ n 2= （m+n）23mn=7 23 （ 18）=103以下各题,难不倒你吧？！1、如 a+ 1 =5,求（ 1）aa 2+ a,（2）（a1 ）a 2的值2、求（ 2+1）（2 2+1）（2 4+1）（2 8+1）（2 16+1）（2 32+1）（2 6

26、4+1）+1的末位数字（答案： 1. （1）23；（2）212. 6 ）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： a ba b=a 2b 2,a b=a 2 2abb 2,a ba 2 abb 2=a 3 b 3第一层次 正用即依据所求式的特点,仿照公式进行直接、简洁的套用名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 运算 22xy2x y 2 原式= y 2x y 2x=y 24x 2其次层次 逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用例 2 运算11998 2199839941997 2；解1 原式=1998 22 199

27、819971997 2 =19981997 2=1 第三层次 活用：依据待求式的结构特点,探寻规律,连续反复使用乘法公式；有时依据需要制造条件,敏捷应用公式例 3 化简： 2 1221241281 1分析直接运算繁琐易错, 留意到这四个因式很有规律, 假如再增名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 添一个因式“21” 便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解解原式 =212 12 212 412 81 1 =2 212 212 412 81 1=2 16例 4 运算： 2x 3y1 2x3y5 分析认真观看, 易见两个

28、因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符于是可制造条件 “ 拆” 数：式巧解1=23,5=23,使用公解原式 =2x 3y32 2x3y32 =2 3y 2x 323y 2x 3 =23y22x 32=9y 24x212x12y5第四层次 变用：解某些问题时,如能娴熟地把握乘法公式的一些恒等变形式,如a2b 2=ab22ab,a 3b 3=a b33abab 等,就求解特别简洁、明快例 5 已知 ab=9,ab=14,求 2a 22b 2 和 a3b 3 的值解：ab=9,ab=14,2a 22b 2=2a b22ab=2922 14=106,a3b3=a b33aba b=933 14 9

29、=351 2=a 2第五层次 综合后用：将 a b2=a 22abb 2和a b2abb 2 综合,名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可得 a b2a b2=2a2b 2 ；a b2a b2=4ab；等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新奇、简捷例 6 运算： 2x yz52x yz5 解：原式=1 42x+y-z+5+2x-y+z+52- 1 42x+y-z+5-2x-y+z+52 2=2x 52y z2=4x220x25y22yzz六、正确熟识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想熟识乘法公式：对 于 学 习

30、 的 两 种 （ 三 个 ） 乘 法 公 式 ： 平 方 差 公 式 ：a+ba-b=a 2-b 2 、 完 全 平 方 公 式 ： a+b 2=a 2+2ab+b 2 ；a-b 2=a 2-2ab+b 2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们；假设 a、b 都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来熟识乘法公式；名师归纳总结 如图 1,两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积） 为a+ba-b,第 17 页,共 27 页通过左右两图的对比,即可得到平方差公式a+ba-b=a2-b2；图 2中的两个图阴影部分面积分别为a+b2与a-b2,通过面积的运算方法 , 即 可 得 到 两 个 完 全

31、平 方 公 式 ： a+b2=a 2+2ab+b 2 与a-b2=a 2-2ab+b2；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、乘法公式的使用技巧：提出负号：对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以防止负号多带来的麻烦；例1、 运用乘法公式运算：（1）-1+3x-1-3x；（2）-2m-122-3x）解：（12=-1+3x-1-3x=-1-3x-1+3x=1-3x1+3x=11-9x2. （2） -2m-12=-2m+12=2m+12= 4m 2+4m+1. 转变次序：运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排名师归纳总结 列次序,可以使公式的特点更加

32、明显. 第 18 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例2、 运用乘法公式运算：1 1 1 a（1） 3a-4b -4b -3 ; （2）x-1/2x 2+1/4x+1/2 解：（1） 1 3a- 1 4b -4b - a 3 =-4b+ 1 3a -4b - 1 3a = 4b- 1 3a 4b + 1 3a = 1 4b 2- 1 3a 2 = 1 16b 2- 1 9a 22 x-1/2x 2+1/4x+1/2= x-1/2 x+1/2x 2+1/4 =x 2-1/4 x 2+1/4= x 2-1/16. 逆用公式将幂的公式或者乘法

33、公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a 2-b2 = a+ba-b,逆用积的乘方公式,得a nb n=abn, 等等,在解题经常会收到事半功倍的成效；例3、 运算：（1）x/2+52-x/2-52 ; （2）a-1/22a2+1/42a+1/22 解： （1）x/2+52-x/2-52 =x/2+5+x/2-5 x/2+5-x/2-5 名师归纳总结 x=x/2+5+x/2-5 x/2+5-x/2+5=第 19 页,共 27 页10=10x. a（2）a-1/22a2+1/4 2a+1/22 =a-1/2a2+1/4a+1/22 =a-1/2 a+1/2 2+1/4 2 =a2-1/4 a2+1

34、/4 2 =a4-1/16 2 =a 8-a4/8+1/256. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组；符号相反的项放在后面,视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行运算；运算：（1）x+y+11-x-y; （2）2x+y-z+52x-y+z+5. 解：（1）x+y+11-x-y=1+x+y1-x-y= 1+x+y1-x+y=12-x+y2 =1-x2+2xy+y2= 1-x2-2xy-y2. （2）2x+y-z+52x-y+z+5=2x+5+y-z2x+5

35、-y+z = 2x+5+y-z2x+5-y-z =4x2+20x+25-y2-2yz+z2 = 4x2x+52-y-z2 4x 2-y2-z2+2yz +20x+25 . = 2+20x+25-y2+2yz-z2 = 七、巧用公式做整式乘法整式乘法是中学数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛；特别多项式乘多项式, 运算过程复杂, 在解答中,要认真观看,认真分析题目中各多项式的结构特点,将其适当变化, 找出规律, 用乘法公式将其绽开,运算就显得简便易行；一. 先分组,再用公式例 1. 运算： abcdabcd简析：此题如以多项式乘多项式的方法绽开,就显得特别纷杂；名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 27 页精选学习资料