2022年MATLAB实现非线性曲线拟合最小二乘法 .pdf

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1、非线性曲线拟合最小二乘法一、问题提出设数据（iiyx ,）,(i=0,1,2,3,4).由表 3-1 给出，表中第四行为iiyyln,可以看出数学模型为bxaey,用最小二乘法确定a及 b。i 0 1 2 3 4 ix1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 iy5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 iy1.629 1.756 1.876 2.008 2.135 二、理论基础根据最小二乘拟合的定义 :在函数的最佳平方逼近中,)(baCxf， 如果 f(x)只在一组离散点集 ix ,i=0,1,m，上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据 （iiyx ,）, i=0,1,m

2、 的曲线拟合，这里)(iixfy，i=0,1,m,要求一个函 数)(*xSy与 所 给 数 据 （iiyx ,） ,i=0,1, ,m 拟 合 ， 若 记 误 差iiiyxS)(*,i=0,1,m,Tm),(10，,设)(,),(),(10 xxxn是,baC上线性无关函数族， 在)(,),(),(10 xxxspann中找一函数)(*xS，使误差平方和mimimiiixSiiiyxSyxS0002)(2*222)()(min, 这里)()()()(1100 xaxaxaxSnn(nm) 这就是一般的最小二乘逼近， 用几何语言来说， 就称为曲线拟合的最小二乘法。在建模的过程中应用到了求和命令（

3、sum） 、求偏导命令 (diff) 、化简函数命令（simple） 、用迭代方法解二元非线性方程组的命令（fsolve） ，画图命令（ plot）等。三、实验内容用最小二乘法求拟合曲线时， 首先要确定 S(x)的形式。这不单纯是数学问题，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 还与所研究问题的运动规律及所得观测数据（iiyx ,）有关；通常要从问题的运动规律及给定数据描图， 确定 S(x)的形式，并通过实际计算选出较好

4、的结果。 S(x)的一般表达式为线性形式，若)(xk是 k 次多项式， S(x)就是 n 次多项式，为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中22都考虑为加权平方和miiiixfxSx0222)()()(. 这里0)(x是a,b上的权函数，它表示不同点)(,(iixfx处的数据比重不同。用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是求形如S(x)的一个函数)(*xSy，使miiiixfxSx0222)()()(取得最小。它转化为求多元函数20010)()( )(),(injijjmiinxfxaxaaaI的极小点),(*1*0naaa问题。再由求多元函数极值的必要条件，有miiknjiijjikxxf

5、xaxaI000)( )()()(2(k=0,1,n) 此题中假设1)(x，由已知所给数据点（iiyx ,）画出图形，根据离散点的位置观察出它们所拟合的曲线图形应类似于指数函数的曲线图形，故设拟合曲线的函数为bxaey。本题编程过程中，令f=y,z1=a,z2=b, 令拟合曲线中对应ix 的函数值与iy 的差的平方和为 J,即 J=sum(fy.2);分别求J关于 z1,z2的偏导， 简化后并令其分别为0 得一关于 z1,z2的二元非线性方程组，最后利用 fsolve 命令求得 z1,z2的值分别为z1=3.0751 z2=0.5052 故得到拟合曲线为xey5052.00751. 3为证明曲

6、线拟合的正确性，我们将离散点（iiyx ,）与所得的拟合曲线xey5052.00751.3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 画于同一图形中，图形如下：11.11.21.31.41.51.61.71.81.9255.566.577.588.5x轴y轴例 8的 数 据 点 (x(i),y(i) 和 拟 合 曲 线 y=f(x) 的 图 形数 据 点 (x(i),y(i)拟 合 曲 线 y=f(x)四、结果分析根据实验内

7、容求得拟合曲线bxaey中未知数 a,b分别为a=3.0751 b=0.5052 即拟合曲线为xey5052.00751.3。由图形知拟合成功！参考文献1数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。2数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。3数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。4数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - -

8、 - - 附录程序 1： syms z1 z2 x=1.00:0.25:2.00; y=5.10,5.79,6.53,7.45,8.46; f=z1*exp(z2.*x) fy=f-y; J=sum(fy.2); Ja=diff(J,z1); Jb=diff(J,z2); Ja1=simple(Ja), Jb1=simple(Jb), 程序 2： function y1,y2=fun(z) y1=2*z(1)*exp(2*z(2)-51/5*exp(z(2)+2*z(1)*exp(5/2*z(2)-579/50*exp(5/4*z(2)+2*z(1)*exp(3*z(2)-653/50*exp

9、(3/2*z(2)+2*z(1)*exp(7/2*z(2)-149/10*exp(7/4*z(2)+2*exp(4*z(2)*z(1)-423/25*exp(2*z(2); y2=-1/200*z(1)*(-400*z(1)*exp(2*z(2)+2040*exp(z(2)-500*z(1)*exp(5/2*z(2)+2895*exp(5/4*z(2)-600*z(1)*exp(3*z(2)+3918*exp(3/2*z(2)-700*z(1)*exp(7/2*z(2)+5215*exp(7/4*z(2)-800*z(1)*exp(4*z(2)+6768*exp(2*z(2); 作图程序： x

10、=1.00:0.25:2.00; y=5.10,5.79,6.53,7.45,8.46; f=3.0751*exp(0.5052*x); plot(x,y,r*,x,f,b-); xlabel(x 轴),ylabel(y 轴), legend(数据点 (x(i),y(i), 拟合曲线 y=f(x), title(例 8 的数据点 (x(i),y(i) 和拟合曲线 y=f(x) 的图形 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -