2022年微积分公式与定积分计算练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 微积分公式与定积分运算练习 数公式一、基本导数公式附加三角函c0sinxxxx1sinxcosx1cosxtanx2 secxcotx2 cscxsecxsecxtanaxaxlnacscxcscxcotx1e xe xln xxlogax1arcsinx1arccosxxlna1x21x2arctanx1arccotx112x1x12x1x2x二、导数的四就运算法就uvuvuvu vuvuu v2uvvv三、高阶导数的运算法就1u xv xnnu xnv xnn42cu xxnncunx xk c un kx vn a unaxbu xv x

2、n3u axbk0四、基本初等函数的1n 阶导数公式2aneax b3anaxlnnan21xnnn. 2ax b eancosaxbsinaxbnansinaxbncosaxbn5 4nann.ann1 .lnaxbn1n11naxbn17 axbn6axb五、微分公式与微分运算法就名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - d c0d xx1dxdsinxcosxdxdcosxsinxdxdtanxxa2 secxdxdcotx2 cscxdxx2dxdsec xsec xtanxdxdcscxcscxcotxdx1ln

3、x1dxd exx e dxd axdxlnadxx1dlogaxx1adxdarcsindxdarccosx1x21lndarctanx112dxdarccotx112dxxx六、微分运算法就d uvdudvd cucdu2udvd uvvduudvduvduvv七、基本积分公式kdxkxccx dxx1dxlnxctanxc1cxx a dxaxcx e dxexccosxdxsinxcaln1xdx2 secxdxsinxdxcosxccos21x2 cscxdxcotx112dxarctanxcsin2x11x2dxarcsinxc八、补充积分公式名师归纳总结 tanxdxln cos

4、xcccxcotxdxln sinxcxcc第 2 页,共 22 页secxdxln secxtanxcscxdxln cscxcot1dx1 arctan x a a21a2dx1 ln 2 axaa2x2xa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a1x2dxarcsin x acx1a2dxlnxx2a2c22九、以下常用凑微分公式积分型arctanx换元公式xfaxb dx1faxb d axbuaxbuxafxx1dx1fxd xflnx1dxflnx dlnxulnxxfx ex e dxfx e d exuexfaxx a dx1faxd ax

5、uaxlnafsinxcosxdxfsinx dsinxusinxfcosxsinxdxfcosx dcosxucosxftanx2 secxdxftanx dtanxutanxfcotxcsc2xdxfcotx dcotxucotxfarctanx112dxfarctanx duarctanxfarcsinx112 xdxfarcsinx darcsinxuarcsinx十、分部积分法公式形如xnn axx e dx,令un x ,dvax e dxx 均可；形如sinxdx令un x ,dvsinxdx形如xncosxdx令un x ,dvcosxdx形如xnxnarctanxdx,令ua

6、rctanx ,dvn x dxlnxdx,令ulnx ,dvn x dx形如形如ax esinxdx,eaxcosxdx令uax e,sin ,cos十一、其次换元积分法中的三角换元公式名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12 ax2xasint2 a22 xxatant3x2a2xasec t【特别角的三角函数值】613sin334sin215sin01sin 002sin221cos 012cos63 2 3cos314cos205cos121tan 002tan63 3 3tan334tan2 不存在 5 t

7、an01cot 0不存在2cot633cot33cot205cot不存在3 4十二、重要公式1lim x 0sinx12lim 1 x 0x1e3lim nna ao1xx22xx4lim nnn15lim arctan xx26lim xarctan7lim arccot xx08x lim arccotx 9lim xx e010 x limex11lim x 0xx1lim xa xna xn1ana0nmb 010nm系数不为0 的情形1b xmb xmb mnm12 十三、以下常用等价无穷小关系x0sin xxtan xxarcsin xxarctan xx1cosx2ln 1xxx

8、 e1xax1xlna1x1x十四、三角函数公式1.两角和公式名师归纳总结 sinABsinAcosBcosAsinBsinABsinAcosBcosAsinB第 4 页,共 22 页cosABcosAcosBsinAsinBcosABcosAcosBsinAsinB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tanAB tanAtanBtanABtanAtanB11tanAtanB1tanAtanBcotABcotAcotB1cotABcotAcotBcotBcotAcotBcotA2.二倍角公式sin 2A2sinAcosAcos2A2 cosAsin2A1

9、2sin2A2cos2A1tan2A2 tanA1tan2A3.半角公式sinA1cosAsinAAcosA 2A1 cosAA1sinAA222tanA1 cosAcot1cos21cosA1 cos21cosAcos4.和差化积公式sinasinb2sina2bcosa2bbsinasinbb2cosabsinabb22cosacosb2cosa2bcosa2cosacos2sinabsina22tanatanbsinabcosacosb5.积化和差公式sinasinb11cosabbcosabbcos cosb1cosabcosab22sinacosbsinasinacos sinb1s

10、inabsinab226.万能公式sina12tan a 2tan 2 a 2cos a12 tanatana12 tan a 2tan 2 a 22 a12 tan27.平方关系sin2x2 cosx12 secxtan2x1csc2xcot2x18.倒数关系tanxcotx1secxcosx1cscxsinx19.商数关系tanxsinxcotxcosxcosxsinx十五、几种常见的微分方程名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.可别离变量的微分方程：dyfx g y,f 1x g 1y dxf2x g2y d

11、y0dxdyfydyp x yQ x解为：yep x dxQ x ep x dxdxc2.齐次微分方程 ：dxx3.一阶线性非齐次微分方程：dx高考定积分应用常见题型大全一挑选题共21 小题1 的正方形 OABC 中任取一点P,就点 P 恰好取自阴影12022.福建如下图,在边长为部分的概率为CDAB22022.山东由曲线y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为ABCD3设 fx=,函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为AB的值为CD4定积分Ay=xB3+ln2 C3 ln2 D6+ln2 5如下图,曲线2和曲线 y=围成一个叶形图阴影部分,其面积是名师归纳总结 - - - - - - -第 6

12、 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - A1BCD6=A B2 C D47已知函数 fx的定义域为 2,4,且 f 4=f2=1 ,f x为 fx的导函数,函数 y=f x的图象如下图, 就平面区域 f2a+b 1a0,b0所围成的面积是 A2 B4 C5 D8801e xdx 与01ex01 edx 相比有关系式dx A01 ex dx01 exdx B01x edx01x eC01 ex dx2=xdx D01x edx=1exdx 09假设 a=,b=,就 a 与 b 的关系是Aab Bab Ca=b Da+b=0 10B的值是DAC11假设 fx=e 为自然

13、对数的底数 ,就= 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABCD+e2 e +e e 2+e +e2 e 12已知 fx=2 |x|,就D4.5 A3B4C3.5 13设 f x=3 |x 1|,就 22 fxdx= D6.5 A7B8C7.5 14积分=AB2 Ca2 D2 a15已知函数的图象与 x 轴所围成图形的面积为A1/2 B1C2D3/2 16由函数 y=cosx 0x2 的图象与直线 是及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积A43BCD217曲线 y=x在点 1,1处的切线与x 轴及直线 x=1 所围成

14、的三角形的面积为ABCD18图中,阴影部分的面积是A16 B18 C20 D22 名师归纳总结 19如图中阴影部分的面积是第 8 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABCD20曲线与坐标轴围成的面积是ABy=CD21如图,点P3a,a是反比例函k0与O 的一个交点,图中阴影部分的面积为 10 ,就反比例函数的解析式为DABCy=y=y=y=高考定积分应用常见题型大全含答案参考答案与试题解析一挑选题共21 小题1 的正方形 OABC 中任取一点P,就点 P 恰好取自阴影12022.福建如下图,在边长为部分的概率为CDAB名师归纳总结 -

15、- - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：定 积分在求面积中的应用；几何概型501974 专题：计 算题分析：依据题意,易得正方形OABC 的面积,观看图形可得,阴影部分由函数y=x 与 y=,围成, 由定积分公式, 运算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式运算可得答案解答：解 ：依据题意,正方形OABC 的面积为 1 1=1,而阴影部分由函数y=x 与 y=围成,其面积为01 xdx=|01 =就正方形 OABC 中任取一点P,点 P 取自阴影部分的概率为=；应选 C点评：此 题考查几何概型的运算,涉及定积分在求面积中的应用,关键

16、是正确运算出阴影部 分的面积22022.山东由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为DABC考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积,依据定积分的几何意义,只要求0 1x 2分析：要 求曲线 x 3 dx 即可解答：解 ：由题意得,两曲线的交点坐标是1,1, 0,0故积分区间是 0,1 所求封闭图形的面积为0 1x 2 x 3dx,应选 A点评：此 题考查定积分的基础学问,由定积分求曲线围成封闭图形的面积3设 fx=,函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为ABCD考点：分 段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的

17、应 用 501974 专题：计 算题；数形结合分析：利 用坐标系中作出函数图象的外形,通过定积分的公式,分别对两部分用定积分求出 其面积,再把它们相加,即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积解答：解 ：依据题意作出函数的图象：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 根据定积分,得所围成的封闭区域的面积S=应选 C 点评：此 题考查分段函数的图象和定积分的运用,考查积分与曲边图形面积的关系,属于中档题解题关键是找出被积函数的原函数,留意运算的精确性4定积分的值为AB3+ln2 C3 ln2 D6+ln2 考点：定 积分；微

18、积分基本定理；定积分的简洁应用501974 专题：计 算题分析：由 题设条件, 求出被积函数的原函数,解答：然后依据微积分基本定理求出定积分的值即可解：=x 2+lnx |12=2 2+ln2 12+ln1 =3+ln2 应选 B点评：此 题考查求定积分,求解的关键是把握住定积分的定义及相关函数的导数的求法,属于基础题名师归纳总结 5如下图,曲线y=x2和曲线 y=围成一个叶形图阴影部分,其面积是第 11 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1BCD考点：定 积分；定积分的简洁应用501974 专题：计 算题分析：联立由曲线y=x2 和

19、曲线 y=两个解析式求出交点坐标,然后在x 0, 1区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可解答：解：联立得或,解得,设曲线与直线围成的面积为 S,就 S=0 1 x 2dx= 应选： C 点评：考 查同学求函数交点求法的才能,利用定积分求图形面积的才能6=AB2C D4考点：微 积分基本定理；定积分的简洁应用501974 专题：计 算题分析：由于 F x= x 2+sinx 为 fx=x+cosx 的一个原函数即dx=F x|a b 公式即可求出值F x=fx,依据a bf x解答：解：x2+sinx =x+cosx ,x+cosx dx = x 2+sinx =2 故答案为： 2点评：此

20、题考查同学把握函数的求导法就,会求函数的定积分运算,是一道基础题名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7已知函数fx的定义域为 2,4,且 f 4=f2=1 ,f x为 fx的导函数,函数 y=f x的图象如下图, 就平面区域f2a+b 1a0,b0所围成的面积是 A2B4C5D8考点：定 积分的简洁应用501974 分析：根 据导函数的图象,分析原函数的性质或作出原函数的草图,找出 a、b 满意的条件,画出平面区域,即可求解解答：解 ：由图可知 2, 0上 f x 0,函数 fx在 2,0上单调递减, 0, 4上

21、f x 0,函数 fx在 0,4上单调递增,故在 2,4上, fx的最大值为 f4 =f 2=1 ,f 2a+b 1a0,b0 .表示的平面区域如下图：应选 B点评：此 题考查了导数与函数单调性的关系,以及线性规划问题的综合应用,属于高档题 解决时要留意数形结合思想应用名师归纳总结 801e xdx 与01exdx 相比有关系式01x edx01x edx 第 13 页,共 22 页A01 ex dx01 exdx B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C01exdx2=01exdx D01e xdx=0 1exdx 考点：定 积分的简洁应用；定积分50

22、1974 专题：计 算题分析：依据积分所表示的几何意义是以直线x=0 ,x=1 及函数 y=ex或 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积,只需画出函数图象观看面积大小即可解答：解 ：0 1e xdx 表示的几何意义是以直线x=0 ,x=1 及函数 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积,0 1exdx 表示的几何意义是以直线x=0,x=1 及函数 y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积,如图当 0x 1 时, e xxex,故有：01exdx01exdx 应选 B点评：此 题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数,也可 利用几何意义进行求解,

23、属于基础题9假设 a=,b=,就 a 与 b 的关系是Aab Bab Ca=b Da+b=0 考点：定 积分的简洁应用501974 专题：计 算题分析：名师归纳总结 a= cosx= cos2 cos = cos2 sin24.6 ,第 14 页,共 22 页b=sinx=sin1 sin0=sin1sin57.3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：解： a= cosx= cos2 cos= cos2 cos114.6 =sin24.6 ,b=sinx=sin1 sin0=sin1sin57.3 ,b a应选 A点评：此 题考查定积分的应用,是基

24、础题解题时要认真审题,认真解答10的值是AB501974 CD考点：定 积分的简洁应用专题：计 算题分析：根 据积分所表示的几何意义是以1,0为圆心, 1 为半径第一象限内圆弧与抛物线 y=x 2 在第一象限的部分坐标轴围成的面积,只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积即可解答：解 ；积分所表示的几何意义是以1,0为圆心, 1 为半径第一象限内圆弧与抛物线2y=x 在第一象限的部分坐标轴围成的面积,故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与 x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积之差即=故答案选 A 点评：此 题主要考查了定积

25、分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数,也可利用几何意义进行求解,属于基础题11假设 fx=e 为自然对数的底数 ,就= AB+e C2 e+e D+e2 e +e2 e 考点：定 积分的简洁应用501974 专题：计 算题分析：由 于函数为分段函数,故将积分区间分为两部分,进而分别求出相应的积分,即可得到结论解答：解=：应选 C名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：此 题重点考查定积分, 解题的关键是将积分区间分为两部分,12已知 fx=2 |x|,就再分别求出相应的积分A3B4C3.5 D4.5

26、 考定积分的简洁应用501974 点：专 运算题题：分 析：由题意,由此可求定积分的值解解：由题意,答：=2 +4 2=3.5 =+应选 C点 此题考查定积分的运算,解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和评：13设 f x=3 |x 1|,就 2 2fxdx= A7 B8 C7.5 D6.5 考点：定 积分的简洁应用501974 专题：计 算题分析： 22 fxdx=2 23 |x 1|dx,将2 2 3 |x 1|dx 转化成1 22+x dx+21 4 xdx,然后依据定积分的定义先求出被积函数的原函数,然后求解即可解答：解： 22f xdx= 223 |x 1|dx= 2 12+

27、x dx+1 24 xdx= 2x+x2| 21+ 4xx 2|1 2=7 应选 A点评：此 题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,同时考查了转化与划归的思想,属于基础题14积分=AB501974 2 Ca2 D2 a考点：定 积分的简洁应用；定积分专题：计 算题名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：此题利用定积分的几何意义运算定积分,即求被积函数y=与 x 轴所围成的图形的面积,围成的图象是半个圆解答：解：依据定积分的几何意义,就表示圆心在原点,半径为3 的圆的上半圆的面积,故=应选 B点评：本 小题

28、主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础学问,考查考查数形结 合思想属于基础题15已知函数的图象与 x 轴所围成图形的面积为A1/2 B1501974 C2D3/2 考点：定 积分在求面积中的应用专题：计 算题分析：根 据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积,求出函数 fx的积分,求 出所求即可解答：解：由题意图象与x 轴所围成图形的面积为1+sinx = |0= +1 = 应选 D点评：此 题考查定积分在求面积中的应用,求解的关键是正确利用定积分的运算规章求出定名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - -

29、积分的值,此题易由于对两个学问点不熟识公式用错而导致错误,坚固把握好基础知识很重要16由函数 y=cosx 0x2 的图象与直线 是及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积A4B501974 CD2考点：定 积分在求面积中的应用专题：计 算题分析：由题意可知函数 y=cosx 0x2 的图象与直线 及 y=1 所围成的一个封闭图形可利用定积分进行运算,只要求01 cosxdx 即可然后依据积分的运算公式进行求解即可解答：解：由函数y=cosx 0x2 的图象与直线及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积,就是：01 cosxdx= x sinx|0=应选 B点评：此 题考查余弦函数的图象,定积分,

30、考查运算才能,解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分17曲线 y=x3在点 1,1处的切线与x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为ABCD考点：定 积分在求面积中的应用501974 专题：计 算题分析：欲 求所围成的三角形的面积,先求出在点1,1处的切线方程,只须求出其斜率的名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 值即可, 故要利用导数求出在 线的斜率,从而问题解决解答：解 ： y=x 3,x=1 处的导函数值, 再结合导数的几何意义即可求出切y=3x 2,当 x=1 时, y=3 得切线的斜率为 3,所以 k=3 ；所以曲线在点1,