2022年一元二次方程的四种解法.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载龙文训练个性化辅导教案提纲老师 : 陈燕玲同学:年级 九日期 : 星期: 时段 : 课 题一元二次方程的概念及解法学情分析1.把握一元二次方程的概念及其一般形式,能指出一元二次方程的各项及其系教学目标与 考点分析教学重点数； 2 能依据详细一元二次方程的特点,敏捷挑选方程的解法；体会解决问题 方法的多样性；教学重点 : 把握常用四种一元二次方程的解法；难点 教学难点 : 敏捷选用适当方法解一元二次方程教学方法 讲解法 合作探究法教学过程一、一元二次方程的概念：54m2 的长方形,将它的一边剪

2、短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那问题（ 1）有一面积为么这个正方形的边长是多少？假如假设剪后的正方形边长为x,那么原先长方形长是_,宽是 _,依据题意,得：_整理,得： _归纳：（1）只含一个未知数 x；（2）最高次数是 2 次的；（3）.整式方程因此, 像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程,.经过整理, .都能化成如下形式 ax 2+bx+c=0 （a 0）这种形式叫做一元二次方程的 一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 ax 2+bx+c=0 （a 0）后,其中

3、 ax 2 是二次项, a 是二次项系数；bx 是一次项, b 是一次项系数；c 是常数项例 1将方程 3x（x-1）=5x+2 化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项留意 :二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 . 例 2将方程（ x+1）2+（x-2）（x+2 ）=.1 化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项练习 :判定以下方程是否为一元二次方程？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - -

4、- - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载13x+2=5y-3 2 x 2=4 3 3x 2-5 =0 4 x 2-4=x+2 25 ax 2+bx+c=0 x例 3求证：关于 x 的方程（ m 2-8m+17 ）x 2+2mx+1=0 ,不论 m 取何值,该方程都是一元二次方程练习 : 一、挑选题1在以下方程中,一元二次方程的个数是（）3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （ x-2）（x+5 ）=x2-1 3x2- 5 x=0 A1 个B2 个C 3 个D4 个2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、.一次

5、项系数和常数项分别为（A2,3,-6 B2,-3, 18 C2, -3,6 D2,3,6 3px2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程,就（）Ap=1 Bp0 Cp 0 Dp 为任意实数二、填空题1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_,一次项系数为_,常数项为 _2一元二次方程的一般形式是 _3关于 x 的方程（ a-1）x 2+3x=0 是一元二次方程,就三、综合提高题a 的取值范畴是 _1、a 满意什么条件时,关于 x 的方程 a（ x 2+x ）= 3 x-（ x+1）是一元二次方程？2、关于 x 的方程（ 2m 2+m）x m+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为

6、什么？3、方程（ 2a4）x 2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？4、当 m 为何值时 ,方程 m+1x4m-4+27mx+5=0 是关于的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做 一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解,又叫方程的根）例 1下面哪些数是方程 2x 2+10x+12=0 的根？-4,-3,-2,-1,0,1,2, 3,4例 2.如 x=1 是关于 x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0a 0的一个根 ,求代数式 2007a+b+c的值练习 :关于 x 的一元二次方程a-1 x2+x+a

7、 2-1=0 的一个根为0,就求 a 的值例 3你能用以前所学的学问求出以下方程的根吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 精品资料欢迎下载（3）x2-3x=0 三、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法问题 1填空2；（ 2）9x2+12x+_= （ 3x+_）2；（3）x2+px+_= （x+_ ）2（1） x2-8x+_= （x-_）问题 2：目前我

8、们都学过哪些方程.二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程 x2=9,依据平方根的意义,直接开平方得x= 3,假如 x 换元为 2t+1,即（ 2t+1 ）2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢？例 1：解方程： 12x-1 2=5 2x 2+6x+9=2 3x 2-2x+4=-1 例 2市政府方案 2 年内将人均住房面积由现在的 10m 2 提高到 14.4m,求每年人均住房面积增长率解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“ 降次”,转化为两个一元一次方程.这种思想称为“ 降次转化思想” 由应用直接开平方法解形

9、如 x 2=p（p0）,那么 x=p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p（ p0）,那么 mx+n= p ,达到降次转化之目的如 p 0 就方程无解练习：一、挑选题1如 x 2-4x+p= （ x+q）2,那么 p、q 的值分别是（）Ap=4,q=2 Bp=4, q=-2 C p=-4,q=2 Dp=-4,q=-2 2方程 3x 2+9=0 的根为（）A3 B-3 C 3 D无实数根二、填空题1如 8x 2-16=0,就 x 的值是 _2假如方程 2（ x-3）2=72,那么,这个一元二次方程的两根是 _3假如 a、b 为实数,满意 3 a 4 +b 2-12b+36=0 ,那么

10、 ab 的值是 _三、综合提高题1解关于 x 的方程（ x+m）2=n（二）、配方法1、解以下方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 4 4x2+16x=-7 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 上面的方程都能化成x2=p 或（ mx+n ）2=p（p 0）的形式,那么可得x=p 或 mx+n= p （p 0）如： 4x2+16x+16= （2x+4）2 ,你能把 4x2+16x=-7 化成（ 2x+4）2=9 吗. 2、要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？细心整理归纳 精选学习资料

11、- - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载转化：x 2+6x-16=0 移项 x 2+6x=16 两边加（ 6/2）2 使左边配成 x 2+2bx+b 2 的形式 x 2+6x+3 2=16+9 左边写成平方形式 （x+3）2=.25 .降次 x+3= 5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程 x1=2,x 2= -8 可以验证： x1=2,x 2= -8 都是方程的根 ,但场地的宽不能使负值,所以场地的宽为 2m,常为 8m. 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式

12、来解一元二次方程的方法,叫配方法 通过配方使左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 方程配方法解一元二次方程的一般步骤：1将方程化为一般形式； （2）二次项系数化为x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上 一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；（5）变形为 x+p2=q 的形式,假如 q 0,方程的根是 x=-p q；假如 q0,方程无实根例 1用配方法解以下关于 x 的方程（1）x 2-8x+1=0 （ 2）x 2-2x-1 =0 2例 2解以下方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （

13、 3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0例 3 求证 :无论 y 取何值时 ,代数式 -3 y2+8y-6 恒小于 0 例 4、用配方法解方程：ax2+bx+c=0 （a 0）练习：一、挑选题m 等于（）1将二次三项式x2-4x+1 配方后得（）A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 2已知 x2-8x+15=0 ,左边化成含有x 的完全平方形式,其中正确选项（）3假如 mx2+2（3-2m）x+3m-2=0 （m 0）的左边是一个关于x 的完全平方式,就A1 B -1 C 1 或 9 D-1 或 9 2=a 4配方法解方程2x2-4 3x-2=0

14、应把它先变形为（）A（x-1 3）2=8 9B（x-2 3）2=0 C（x-1 3）2=8 9D（x-1 3）2=10 95以下方程中,肯定有实数解的是（）Ax2+1=0 B（2x+1 ）2=0 C（2x+1 ）2+3=0 D（1 2x-a）6已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ,就 x+y+z 的值是（）A1 B2 C-1 D-2 二、填空题1方程 x2+4x-5=0 的解是 _ 第 4 页,共 8 页 2代数式x2x2x12的值为 0,就 x 的值为 _细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

15、 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载3假如 16（x-y）2+40（x-y）+25=0,那么 x 与 y 的关系是 _4已知（ x+y）（ x+y+2 ）-8=0,求 x+y 的值,如设 x+y=z ,就原方程可变为 _,.所以求出 z 的值即为 x+y 的值,所以 x+y 的值为 _三、综合提高题1用配方法解方程（1）9y 2-18y-4=0 （ 2）x 2+3=2 3 x 2已知： x 2+4x+y 2-6y+13=0 ,求 x2 2 y2 的值x y3已知三角形两边长分别为 2 和 4,第三边是方程 x 2-4x+3=

16、0 的解,求这个三角形的周长4假如 x 2-4x+y 2+6y+ z 2 +13=0,求（ xy）z 的值5、求证： 无论 x、y 取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16 的值总是正数（三）公式法由上 例 4 可知,一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （a 0）的根由方程的系数 a、b、c 而定,因此：（1）解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ax 2+bx+c=0 ,当 b 2-4ac 0 时, .将 a、b、c 代入式2子 x= b b 4 ac 就得到方程的根公式所显现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、2 a乘方、开方,这表达了公式的统一性与和谐性；

17、（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的懂得（4）由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 Ax2-8x+ （-4）2=31 Bx2-8x+ （-4）2=1 Cx例 1用公式法解以下方程（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x 3 x 2-2 x+ 1 =0 2m 2 2例 2某数学爱好小组对关于 x 的方程（ m+1）x +（m-2）x-1=0 提出了以下问题如使方程为一元二次方程,m 是否存在？如存在,求出 m 并解此方程应用公式法解一元二次方程的步骤 : 1）将所给的方程变

18、成一般形式,留意移项要变号,尽量让 a0. 2找出系数 a,b,c,留意各项的系数包括符号；3运算 b 2-4ac,如结果为负数,方程无解,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载4）如结果为非负数,代入求根公式,算出结果；练习：一、挑选题61用公式法解方程4x2-12x=3 ,得到（）A x=326Bx=326Cx=32 3Dx=32 3222方程2 x2+43 x+62 =0 的根

19、是（）A x 1=2 ,x 2=3B x1=6,x 2=2 C x1=22 ,x 2=2Dx1=x 2=-3（m2-n2）（ m 2-n2-2）-8=0 ,就 m2-n2 的值是（）A4 B -2 C4 或-2 D-4 或 2 二、填空题1一元二次方程ax2+bx+c=0 （a 0）的求根公式是_,条件是 _2当 x=_ 时,代数式x2-8x+12 的值是 -43如关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0,就 m 的值是 _三、综合提高题1用公式法解关于x 的方程： x2-2ax-b2+a 2=0,x 1x 2=c a；2设 x1,x2是一元二次方程ax2+

20、bx+c=0 （a 0）的两根,（1）试推导 x 1+x 2=- b a（2）.求代数式 a（x 13+x 2 3）+b（x 12+x 2 2） +c（x1+x 2）的值四、因式分解法 : 例题：Eg1、3x25 x=0x4 20Eg2、xx22510x225052Eg4、24xEg3、2x0Eg5、3x2253x240Eg6 2 x223 x60Ex1、1 2 x2=1+2 x ex2、x222x52ex3、x1 22xx1 0ex4、2x2+7x=4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 8 页 - - - - - - -

21、- - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载五、选用适当的方法 : 2x 12=8 02x2+4x=0 21 2x25x10x28142x+12=34xx1 x3 52x27x30x 5x+3+x2x+4=49x2x+1x2x+2=12 x22 21 x32202x213xx2+12x15=0 六、综合题 : 1、已知 x23xy 4y2+2x24xy4y210=0,求 3x+6y 的值；22、方程 , m m 1 x m3x10取何值时是一元二次方程,并求出此方程的解；教学反思细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三、本次课后作业：四、同学对于本次课的评判：特殊中意中意一般差同学签字：五、老师评定：1、同学上次作业评判： 特别好 好一般需要优化 特别好 好一般需要优化2、同学本次上课情形评判：老师签字：教务主任签字：_ 龙文训练教务处细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -