2022年一元二次方程的概念及其解法.docx

《2022年一元二次方程的概念及其解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年一元二次方程的概念及其解法.docx（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一元二次方程的概念及解法和讲义学问点一：一元二次方程的概念1 定义： 只含有一个未知数 ,并且未知数的最高次数是是一元二次方程；2 一般表达式：ax2bxc0a03 四个特点：1 只含有一个未知数；2 且未知数次数最高次数是2；2,这样的整式方程就3 是整式方程要判定一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,如是,再对它进行整理假如能整理为ax2bxc0a0的形式,就这个方程就为一元二次方程（ 4）将方程化为一般形式：ax 2bx c 0 时,应满意（a 0）例 1：以下方程 x 2

2、+1=0； 2y3y-5=6y 2+4；ax 2+bx+c=0 ； 1 5 x 3 0,x其中是一元二次方程的有；2变式 : 方程： 2 x 2 1 1 2 x 25 xy y 20 7 x 21 0 y 0 中一元3 x 2二次程的是；例 2：一元二次方程 1 3 x x 3 2 x 2 1 化为一般形式为：,二次项系数为：,一次项系数为：,常数项为：；变 式 1 ： 一 元 二 次 方 程 3 （ x 2 ）2 5x 1 的 一 般 形 式是,二次项系数是,一次项系数是,常数项是；变式 2：有一个一元二次方程,未知数为y,二次项的系数为 1,一次项的系数为 3,常数项为 6,请你写出它的一

3、般形式 _；例 3：在关于 x 的方程 m-5x m-7+m+3x-3=0 中: 当 m=_时,它是一元二次方 程；当 m=_时,它是一元一次方程；变式 1：已知关于 x 的方程 m+1x 2mx+1=0,它是（）A一元二次方程 B一元一次方程C一元一次方程或一元二次方程 D 以上答案都不对变式 2：当 m 时,关于 x 的方程m3 xm27x5是一元二次方程学问点二：一元二次方程的解（1）概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解；（2）应用：利用根的概念求代数式的值；【典型例题】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 12

4、 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1. 已知x2是一元二次方程x精品资料2欢迎下载）2mx0的一个解,就 m 的值是（A 3 B 3 C0 D0 或 32. 已知 2 y 2y 3 的值为 2,就 4 y 22 y 1 的值为；3. 如 x=a 是 方程 x 2-x-2022=0 的根 ,就 代数 式 2a 2-2a-2022 值为；4. 关于 x 的一元二次方程 a 2 x 2x a 2 4 0 的一个根为 0,就 a 的值为；5. 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0 的系数

5、满意 a b c 0,就此方程必有一根为；【举一反三】1. 已知关于 x 的方程x2kx60的一个根为x3,就实数 k 的值为（）；A1 B1C2 D22. 如 m 2-5m+2=0 , 就 2m 2-10m+2022= ；3. 如关 于 x 的方 程 （ a+3） x2-2x+a2-9=0 有一 个根 为 0,就 a= 4. 一元 二次 方程 ax2+bx+c=0 ,如 4a-2b+c=0 ,就它 的一 个根 是5. 如 x=1 是关于 x 的一元二次方程ax2bxc0a0一个根 , 求代数式2007a+b+c 的值学问点三：解一元二次方程一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因

6、式分解法 . 一：直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法；直接开平方法适用于解形如xm 2n 的一元二次方程； 依据平方根的定义可知, xm是 n 的平方根,当n0时,xmn , xmn ,当 n0时,方程没有实数根； 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义,达到降次转化之目的；（1）形如x2p p0 的方程的解是 x=p ；当 p=0 时,x 1x 20 第 2 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

7、- - - - - - - - - - - - -（2）形如mxn2pp0精品资料欢迎下载pn；的方程的解为 x=m形如mxa2n0的方程可先化成xa2n的形式,再用直接开m平方法解；）【例题讲解】1、方程（ x-2 ）2=9 的解是（Ax1=5,x2=-1 B x1=-5,x2=1 C x1=11,x2=-7 D x1=-11,x2=7 2、如方程 x 2=m的解是有理数,就实数 m不能取以下四个数中的（）A1 B4 C1 D14 223 、 对 于 形 如 x p 的 一 元 二 次 方 程 , 能 直 接 开 平 方 的 条 件 是_；4、方程x2160的根是 _；5、用直接开平方法解以

8、下方程：（1）162 x810（2）22 m2423603 392 x25（4）42x1【同步训练】x-3 ）2=8,得方程的根为（）1、用直接开平方法解方程（Ax=3+23 B）x1=3+22 ,x2=3-22 第 3 页,共 12 页 Cx=3-22 Dx1=3+2 3 ,x2=3-232、方程1 2（x-3 ）2=0 的根是（x1=x2=3 Dx1=3,x2=-3 Ax=3 Bx=0 C细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

9、- -3、方程2x62900精品资料欢迎下载的根是 _；4、方程t22169的根是 _；5、用直接开平方法解以下方程：（1）xx7200（2）1xy1212892（3）4 31 29（4）4216x16二：配方法配方法：将形如ax2bxc0a0的一类方程,化为mxn2p 形式求解的方法叫做配方法；一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；1；（2）方程两边同除以二次项系数,化二次项系数为（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为xm 2n 的形式；5）假如右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如 果右边是负数,就一元二次方程无解【例题讲解】1、用配方法解关于x 的一元二次方

10、程 x2-2x-3=0 ,配方后的方程可以是（） 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - A（ x-1 ）2=4 B（x+1）2=4 C（x-1 ）2=16 D （x+1）2=16 2、如一元二次方程式x 2-2x-3599=0 的两根为 a、b,且 ab,就 2a-b 之值为何？（）A-57 B63 C179 D181 3、用适当的数填空：、x 2+6x+ =（x+ 2）、x25x+ = （x）2；、x 2+ x+ 2 =（x+ 2）、x29x+ =（x）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 -

11、 - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载4、将二次三项式 2x 2-3x-5 进行配方,其结果为 _5、已知 4x 2-ax+1 可变为（ 2x-b ）2的形式,就 ab=_6、将 x 2-2x-4=0 用配方法化成（ x+a）2=b 的形式为 _ _ ,.所以方程的根为_m的值是7、如 x2+6x+m 2是一个完全平方式,就8、用配方法解以下方程：（1）x2212x150（2）x2x8x9（3）3x25x72（4）14x4x40（5）x2430（6）2x24x9、用配方法求解以下问题；（2）求 -3x2+5x+1 的最大值；（1）求 2x2-7x+2 的最小

12、值【举一反三】1把方程 x+3=4x 配方,得（）2=2 A（x-2 ）2=7 B （x+2）2=21 C （x-2 ）2=1 D （x+2）2用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A210 B-2 14 C-2+10 D2-103. 用配方法解以下一元二次方程（1）x24x96（2）x24x50 第 5 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）2x23x10精品资料欢迎下载3x22x70（4）三：

13、公式法（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法；由配方法得xb2cb2,化简：xb2xc2 b2 aa2 a2aa4 a2xb24 acb22xb2b24 acbb24 ac2 a4 a24a2 a4 a22 a4 a2xbb24acxbb24 ac2a2aa 为一次项系数, b2 a一元二次方程ax2bxc0a0的求根公式：xbb24acb24ac0 2ax 1b2 b4 ac,x 2b2 b4 ac2 a2 a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入,这里为二次项系数, c 为常数项；【典型例题】 第 6 页,共 12 页 - - - - - -

14、 - - - 例 1：一般地,对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 0）,当 b 2-4ac 0 时,它的根是_,当 b-4ac0 时,方程 _例 2：用公式法解方程 x2=-8x-15 ,其中 b 2-4ac=_,x1=_,x2=_例 3：一元二次方程 x2-2x-m=0 可以用公式法解,就m=（）A0 B1 C-1 D 1 例 4：不解方程,判定所给方程：x2+3x+7=0； x2+4=0；x2+x-1=0 中,有实数根的方程有（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个例 5： 方程 （ x+1 ）（ x-3 ） =5的 解是 （）A x1=1, x2=-3 B x 1=4, x 2

15、=-2 C x 1=-1 , x 2=3 D x 1=-4 , x 2=2 例 6： 一元 二次 方程x222x60的根 是（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A.x 1x 22精品资料欢迎下载x 10,x222B. C. x 12,x2322-3x-1=0的解 是D. x 1；2,x232例 7： 一元 二次 方 程 x例 8：用公式法解以下方（1）3x25x20；（2）2x23x30；（3）x22x10；例 9： 如 x2-xy-3y2=0（ y 0）

16、, 求x 的值y【 举 一 反 三 】1. 用公式法解方程 x 2=-8x-15 ,其中 b 2-4ac=_,x1=_,x2=_2. 用公式法解方程 4y 2=12y+3,得到（）Ay= 3 6 By=3 6 Cy=3 2 3 Dy= 3 2 32 2 2 23. 不解方程,判定所给方程： x 2+3x+7=0；x 2+4=0； x 2+x-1=0 中,有实数根的方程有（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个4. 用公式法解方程1x 2+15x=-3x; 2x 2+x-6=0; 33x 2-6x-2=0; 44x 2-6x=0 四：因式分解法细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

17、 - - - - - - - - - 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -因式分解法的步骤是：0；精品资料欢迎下载（1）将方程右边化为（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：（3）令每个因式等于 0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解 . 例题讲解：1 x 212x0； 24x210；（3）x2 22x40；练习巩固：x1 x3 12； 33x22x10；2 x 24x210； 3 410x2x30；5 x124 x1 210练习巩固用适当方

18、法解以下方程1 x 24x30； 2 x2 2256；（3）x 23x10；4 x 22x30；（5） 2 t 3 232 t 3 ； 63y 2y 29；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 77 2x 2=15 （8）精品资料2x欢迎下载 92x28x7 2x2300105 x 252 1 x10 0； 11x522 x5 80学问点四：判定根的情形（韦达定理）根的判别式及应用（ =b24 a

19、c ）0判定一元二次方程根的情形： 0,方程有两个不相等的实数根； 0,方程有两个相等的实数根； 0,方程没有实数根 . 确定字母的值或取值范畴：应用根的判别式,其前提为二次项系数不为 0. 韦达定理：实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0（a0）存在实数解 x1,x2,那么 x1+x2=- b a,x1x2=c a. 这是在中学时韦达定理的定义,但在高中时应用就更为宽阔 . 由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根,因此,该方程的左端可以在复数范畴内分解成一次因式的乘积形式,两端比较系数即得韦达定理,所以韦达定理在复数范畴内同样适用. bb24 ac, 第 9 页,共 12

20、 页 一元二次方程 ax 2+bx+c= 0（a0）在有解的情形下, 两个解为 x1=2ax2=bb24ac,通过运算得到结论x1+x2=-b a,x1x2=c a.2 a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载例 1 、 已知关于 x 的一元二次方程 x 2-2 x+k=0 （1）方程有两个不相等的实数根,求 k 的取值范畴；（2）在（ 1）中当 k 取最大整数时,求所得方程的实数根 . 2、已知关于 x

21、的方程 kx 2+ 1k x-2=0 有两个不相等的实数根 ,求 k 的取值范畴 . 例 2 已知 x1,x2 是方程 2x 2+14x16=0 的两实数根,求x 2x 1x 2的值 . x 1练习： 1. 已知 x1, x2是方程 3x 2+2x-1 =0 的两个实数根,求2 x 12 x 的值 . 2. 设 , 是一元二次方程 x 2+ 3x-7 = 0 的两个实数根,求 2+4 +的值 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

22、- - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载综合练习 1 、假如关于 x 的方程 x 2+px+q= 0 的两个根是 x1,x2,那么 x1+x2=-p,x1 x2=q 请依据以上结论,解决以下问题：（1）已知关于 x 的方程 x 2+mx+n= 0（n0）,求出一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知 a,b 满意 a 2- 15a- 5=0,b 2- 15b- 5=0,求 abb的值；a（3）已知 a,b,c 均为实数,且 a+b+c= 0,abc=16,求正数 c 的最小值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

23、- - 第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2、 如 x1,x2 是一元二次方程精品资料欢迎下载x1+x2=a,x1x2= c a.ax2+bx+c=0 的两根,就有这是一元二 次方 程 根与系数的关系,我们可以利用它来解题 . 例 如 , 已 知 x1,x2 是方 程 x 2+6x-3=0 的 两 根 , 求 x1 2+x2 2 的 值 . 解 法 如 下 ： x1+x2=-6 , x1x2=-3 , x12+x22= x1+x22-2 x1x2=（ -6 ）2-2 （ -3 ） =42. 2| 第 12 页,共 12 页 如 x1, x2 是方程 x2+2x-2007=0 的两个根,试求以下各式的值：1 x12+x2 2； 211 x； 3 x1-5 x2-5 ； 4|x 1xx 1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -