2022年一元二次方程韦达定理讲义.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载特尔训练一对一个性化辅导讲义学科：数学任课老师：徐老师授课时间： 2022 年月日 星期 姓名年级性 别总课时 _ 第_ 课教学通过根与系数的关系的发觉与推导韦达定理,进一步培育同学分析、 观看、归纳、目猜想的才能和推理论证的才能；标难 点重 点韦达定理与推论是重点；难点是如何敏捷应用韦达定理与推论；一、学问回忆1复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数,一次项系数及常数项（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情形？2写出问题（ 2）的正确答案,反之,即此命题的逆

2、命题也成立,即“ 一元二次方程教 ax 2+bx+c0,假如方程有两个不相等的实数根,就 0；假如方程有两个相等的实学 数根,就 =0；假如方程没有实数根,就 0” 即依据方程的根的情形,可以打算过 值的符号, 的符号,可以确定待定的字母的取值范畴程不解一元二次方程,判定根的情形；不解方程,判别以下方程的根的情形：（1）2x 23x-4 0；（ 2）16y 2924y；（ 3）5（x 21）-7x 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

3、- - - - - - - - - -已知精品资料欢迎下载x1=bb24ac,ax 2+bx+c=0（ a 0）且 b 2-4ac 0,试推导它的两个根2ax2=bb24aca、b、c. 也当成一个具2a分析：由于前面详细数字已做得许多,我们现在不妨把体数字,依据上面的解题步骤就可以始终推下去解：移项,得： ax 2+bx=-c 二次项系数化为 1,得 x 2+ b x=-ca a配方,得： x 2+ b x+（b）2=- c +（b）2 a 2 a a 2 a2即（ x+ b）2= b 42 ac2 a 4 ab 2-4ac 0 且 4a 20 2b 42 ac0 4 a2直接开平方,得：

4、x+ b =b 4 ac2 a 2 a2即 x= b b 4 ac2 a2 2x1= b b 4 ac,x2= b b 4 ac2 a 2 a由上可知,一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a 0）的根由方程的系数 a、b、c 而定,因此：（1）解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ax 2+bx+c=0,当 b-4ac 02时, . 将 a、b、c 代入式子 x= b b 4 ac 就得到方程的根2 a（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根二、新课讲解细心整理归纳 精选学习资料 - - -

5、 - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载假如这个一元二次方程是一般形式 ax 2+bx+c=0（a 0）,你能否用上面配方法的步骤 求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题x2=问题 ：已知 ax2+bx+c=0（a 0）且 b 2-4ac 0,试推导它的两个根 x1=bb24ac,2abb24ac2a.b24ac0由此得出,一元二次方程的根与系数的关系系数的关系）韦达定理（一元二次方程两根和与两根积与b c设方程 ax

6、 2 bxc0 a 0 的两根为 x 1 , x 2 就 x 11x 2 a,x 11x 2 a,这个方程的根与系数 a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理,也叫韦达定理；b c1. 如两个数 x 11,x 2 满意 x 11x 2 a,x 11x 2 a,就 x 11,x 2 是方程 ax 2 bxc0 a 0 的两个根,这个定理称为韦达定理的逆定理；2. x 1 ,x 2 是方程 ax 2 bxc0 a 0 的两个实数根,就必有b 2 4ac 0 ,反之亦成立；如x 1,x 是方程x22x20070的两个根,试求以下各式的值： 第 3 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - -

7、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1 2 x 1x22； 2 11精品资料x 1欢迎下载5；4 |x 1x 2|； 3 5x2x 1x2 【典型例题】例 1：已知 x11,x 2 是方程 x2 3x10 的两个根,求 x2 1 x 2 x11x2 2 的值；解： x1x2,3x 1x 213a2 bab2 b3原式 x1x 2x 1x 23例 2：假如 a,b 是方程 x2 x10 的两个实数根, 求代数式 a的值；解： ab1 , ab 1 . 又 a2

8、b2ab22ab3y 2 ,求 x原式 a2abb2ababa2b23例 3. 如实数 x,y 满意（x1）2 33x 1, 3y1 3y 1xy的值；203y130. 解： （x1）23x130, （y1）且210的两实根如 xy . 就 x,y 为方程 t25t1xy 5,xy1 原式x2xyy2xy22 xy23xy如 xy ,就原式 2 . 原式 2 或 23 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

9、- -例 4：验证 x11精品资料欢迎下载2 33 x53 0 的实数根；3 1,x 2 23 1 为方程 x解： 如是,就 x1x 233,x 1y 15333x530以 x,1 为根的一元二次方程为x2明显 x,1 为给定方程的两实根；例 5：请写出一个两个实数根之和为1 的一个一元二次方程；解： 设 x 1 x 2 1 ,x 1 x2 k k 为常数 , 就由韦达定理之逆,得 x 2 x k 01但 x 1x为方程两实根 . 1 4 k 0 . k 41 2 11 x 2 x 0比如设 x 2 . 就方程为 x 4 等等；例 6：已知 2 x 2 5x30,不解方程,求作一个一元二次方程

10、,使它的两个根是原方程两根的倒数；解： 设所求方程两根为y1、y2,就y 11,y25y10x1x2, y1y2x 11xx2,y 1y2x12x2. 即 3y221x3但 x1x25,x 1x 222. y1y25,y 1y22335y202所求的方程为 y33例 7：设 x1,x2为方程（ xa）x b cx 的实根,求证：关于 x 的方程（ xx1 ）（ xx 2 ）cx0 的两实根为 a,b 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

11、- - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载解： （ xa）（ xb）cx x2abcxab02abx 1x 2abcx 1xabx 1x 2ccx0abx 1x2cxx 1x2x2x 1x2x2x1x2xx 1x20命题得证 【巩固练习】1. 如 x2 3x10 的两根是 x1,x 2 ,就11x x _ 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x2x 12. 已知 x1,x2是方程 3 x2 14x 的两根,不解方程,就2 x 12 x 2_ 3. 设 x123 是方程 x2 4x10 的一个实根,就另一个实根x2_ 4. 方程 3

12、 x2 2x20 的两根差的平方为（）2828427A 9B 3C 9D35. 以方程 3 x2 2x60 的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是（）A6 x2 2x10 B6 x2 2x30 C6 x2 2x10 D6 x2 2x30 6. 已知方程 2 x2 5ax3b0 的两根之比为2：3,方程 x2 2bx8a0 的两 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -根相等（ ab0）,求证：当精品资料欢迎下载ax2 （ bm1）x（ m1）m为任意实数时,方程0 恒有实数根；课堂小结设方

13、程 ax2 bxc0 a0 的两根为 x11, x 2 就 xb,xc,这11x 2 a11x 2 a个方程的根与系数a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理,也叫韦达定理；2 0 ,bc1. 如两个数 x11,x 2 满意 x11x 2 a,x11x 2 a,就 x11,x 2 是方程 axbxc0 a0 的两个根,这个定理称为韦达定理的逆定理；2. x1 ,x 2 是方程 ax2 bxc0 a0 的两个实数根,就必有b2 4ac反之亦成立；课后作业1. 巳知 a、b 是一元二次方程 x 22x1=0 的两个实数根, 就代数式（ ab）（a+b2）+ab 的值等于 _2. 已知关于 x 的方

14、程 x 2+mx 6=0 的一个根为 2,就 m= ,另一个根是3. 如 x1,x2 是方程 x 2+x 1=0 的两个根,就 x1 2+x2 2= 4. 已知一元二次方程 y 2 3y+1=0 的两个实数根分别为 y1、y2,就（ y1 1）（y2 1）的值为5. 已知关于 x 的方程 x 2+（2k+1）x+k 22=0 的两实根的平方和等于 11,就 k 的值为6. 如 x1、x2 是方程 x 2 2x 5=0 的两根,就 x1 2+x1x2+x2 2= 7. 如关于 x 的一元二次方程x 24xk30 的两个实数根为 x1、x2,且满意 x13x2,试求出方程的两个实数根及k 的值 第

15、 7 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载8. 关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是 x1 和 x2（1）求 k 的取值范畴；（2）假如 x1+x2 x1x2 1 且 k 为整数,求 k 的值9. 阅读材料：假如x1、x2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 0）的两根,那么,x 1x 2b,ax 1x2c这就是闻名的韦达定理现在我们利用韦达定懂得决问题：a已知 m与

16、 n 是方程 2x2 6x+3=0 的两根（1）填空： m+n= ,m.n= ；（2）运算11的值mn10. 已知关于 x 的方程 x2 2（k 1）x+k2=0 有两个实数根 x1,x2（1）求 k 的取值范畴；（2）如 | x1+x2|= x1x2 1,求 k 的值11. 已知： x1、x2 是一元二次方程 x2 4x+1 的两个实数根细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求：（x1+x2）2 （11精品资料欢迎下载）的值x 1x 2听课及学问把握情形反馈课堂检测教学需 : 加快 ; 保持 ; 放慢 ; 增加内容课后 作业签字细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -