2022年一元多元函数微分学习题.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载第八章 多元函数微分法及其应用一、挑选题1. 极限 lim x 0x2 x y2= （提示：令y2 2k x ）（ B ）4yy0不存在 C 等于1 2 D 存在且不等于 0 或1 2A 等于 0 B 2、设函数f , x yxsin1ysin1xy0,就极限 lim x 0f , = （ C ）yx0xy0y0（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）A 不存在 B 等于 1 C 等于 0 D 等于 2 xy 2 23、设函数 f x y , x 2 y 2 x y 0,就 f x y ,

2、 （ A ）2 20 x y 0（提示：在 x 2y 20,f x y 到处连续；在 x 0, y 0,令 y kx ,2lim x 0 2 kx2 2 lim x 0 kx2 0 f 0,0,故在 x 2y 20,函数亦连续 . 所以,y 0 x k x 1 kf x y 在整个定义域内到处连续 . ） A 到处连续 B 到处有极限,但不连续C 仅在（ 0,0 ）点连续 D 除（ 0,0 ）点外到处连续4、函数 z f , 在点 x 0 , y 0处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）A 必要而非充分条件 B 充分而非必要条件C 充分必要条件 D既非充分又非必要条件5、设 uarcta

3、ny,就u= 2y2D x2xy2（ B ） 第 1 页,共 9 页 xxxA xB x2yy2 C x2y2y6、设 f , arcsiny,就 f x , 1z v（D）1 2（ A ）x1（A）（B）1 4（C）42x,xuv,yuv,就z u7、设zarctan（C ）y细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（A）uuv2（B）uv精品资料欢迎下载v2（D）vu2u（C）uu2v2v22vu2v8、如 f x , 2

4、xx2z3x f x ,2x6x1,就 fy ,2x= 2x1（ D ）A x3 2 B x3 C 2x1 D （ A ）2z y , 9、设 zyx ,就 xA 2 B 1+ln2 C 0 D 1 10、设 zxyexy ,就 z x ,x2（ D ）A2x1x2ex2 B 2x 1x2ex 2 Cx1x2ex2 Dx 1xex211、曲线 x2sin , t y4cos , t zt在点 , ,2处的法平面方程是y（C ）z2A 2xz42 B 2xz24 C 4yz2 D 412、曲线 4xy5,yz, 在点 , , 8 2 4 处的切线方程是（A ）A x8y2z44 Bx12yz44

5、20（D ）20C x58y2z44 Dx53y1z413、曲面 xcoszycosx2z2在点2, 12, 0处的切平面方程为（A） xz1（B） xy1（C） xy2（D） xz214、曲面 x yzxy z36在点 , , 32 1 处的法线方程为（A ）（A）x85y5z19（B）x83y32z131818（ B ）（C）8x3 y18 z0（D） 8x3 y18 z1215、设函数 z1x2y2 ,就点 , 00 是函数z 的（A）极大值点但非最大值点（C）微小值点但非最小值点（B）极大值点且是最大值点（D）微小值点且是最小值点16、设函数 z0,f , 具有二阶连续偏导数,在fP

6、0x0,y0 处,有,就（ C ） 第 2 页,共 9 页 fxP 0fyP 00,fxxP 0fyyP 00,xyP 0fyxP 02细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载（A）点 P0 是函数 z 的极大值点（C）点 P0 非函数 z 的极值点（B）点 P0 是函数 z的微小值点（D）条件不够,无法判定17、函数 f , , z2 在4x22y22 z1条件下的极大值是2（ C ）A 1 B 0 C1

7、D 二、填空题1、极限 lim sin y x 0 x xy = . 答： 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 2、极限 lim ln x 0 y2y 1 xex2= . 答： ln2y23、函数 zlnxy 的定义域为 . 答： xy14、函数 zarcsinx的定义域为 . 答：1x1, y0y5、设函数 f , x yx2y2xylny,就 f kx ky = . 答： k2f x y , x6、设函数 f , xxyy,就 fxy xy = . 答：x22y2x（f xy xyxyyxy x22y2）xxyx7、设 f x y , ln 1x2y2x2y21 2

8、,要使 f , 到处连续,就Ax2y21 2A= . 答：ln28、设 f x y , tan x2yy2 , , ,要使 f x y 在（ 0,0）处连续,x22A , , 就 A= . 答：1 9、函数zx2y2的间断点是 .答：直线x10上的全部点x110、函数 f x y , x21y2cosy的间断点为 . 答：直线 yx 及 x0x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -11、设 zsin3xyy,就精品资料欢迎下载z_ . 答： 3cos5 xx2y

9、112、设 f x y , x 2y 2 ,就 f y , 01 = _ . 答： 1 z13、设 u x y z , , xy,就 du ,1 ,2 3 =_ . 答：38 d x16 3d y 18 ln 2 d z14、设 ux 2 xy 2,就在极坐标系下,ur = _ . 答： 0 215、设 u xy y,就 u2 = _. 答：2 y3x x x16、设 u x ln xy,就 2u = _ . 答：1x y y17、函数 y y x 由 1 x y 2e y 所确定,就d y = _ . 答：y 2 xy2d x e x18、设函数 z z x y , 由方程xy z x y

10、z 所确定,就 z = _ . 答：y2 xyz 121 xy2 2 219、由方程 xyz x y z 2 所确定的函数 z z x y , 在点（ 1,0, 1）处的全微分 d z= _ . 答： d x 2 d y20、曲线 x t 2, y 2 t z 1 t 3在点 , , 1 2 1 处的切线方程是 _. 3 3答：x 1 y 2 z 12 2 32 t 2 t 2 2 t21、 曲 线 x 2 te , y 3 e , z t e 在 对 应 于 t 1 点 处 的 法 平 面 方 程 是_. 答：x3y11 e20y 2 2 z 3 3 x22、曲面 xe y e z e答：x

11、 2 y 1 z2 2 e 2 e23 、 曲 面 ar c t an y1 xz 42 1 在点 , 1 0 处的法线方程为 _ . e在 点 2 1 0 处 的 切 平 面 方 程 是 _. 答 ：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -y2 z1精品资料欢迎下载24、设函数 z z x y , 由方程1 x 2 3 xy y 2 5 x 5 y e z 2 z 4 确定,就函数 z2的驻点是 _

12、. 答：（ 1,2）27、函数 z 2 x 2 3 y 2 4 x 6 y 1 的驻点是 _.答：（1,1）2 225、如函数 f , x 2 xy 3 y ax by 6 在点 , 1 1 处取得极值,就常数 a _,b _.答： a 0, b 4 26、函数 f , , 2 x 2 在 x 2 y 22 z 22 条件下的极大值是 _答：4三、运算题1、求以下二元函数的定义域,并绘出定义域的图形. . 1 z1x22 y 2zlnxy3zln1y 4zlnxy1x解：1 要使函数z12 x2 y有意义,必需有1x2y20,即有x2y21故所求函数的定义域为Dx y , |x2y21, 图形

13、为图 3.1 2 要使函数zlnxy 有意义,必需有xy0. 故全部函数的定义域为D , |xy0,图形为图 3.2 3 要使函数zln1y有意义,必需有 lnxy0,即xy0且xxy1. 故该函数的定义域为D , |xy0,xy1,图形为图 3.3 4 要使函数zlnxy1有意义,必需有xy10. 故该函数的定义域为Dx y |xy1,图形为图 3.4 yyx+y=0O1xO1x图 3.2 图 3.1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

14、- - - - - - - - - - -y精品资料欢迎下载y1x+y=0O1x-111y=1/xOxx+y=1-1图 3.4 图 3.3 2、求极限 lim x 0ysin2x1 . z1sinxy10 ）. xy1y0解： lim x 0ysin2x1lim x 0ysin2xxy11 = 4 xyxy1y0y03、求极限 lim x 012 x y1sinxy . 3 x y2y0解：原式 =lim x 03 x y2 12 x y1sinxylim x 0112 x y2 x yxy2y0y04、求极限 lim x 0y 04x xyexy . 16解：lim x 0y 04xyexx

15、ylim x 0x xye 416xy= -8 xy,z y（其中 xy16y05、设 uxsinyycosx,求ux,uy. 解： uxsinyysinxuyxcosycosx6、设 zxeyyex ,求 zx,zy. 解： zxeyyexzyxeyex7、设函数 zz x y , 由 yzzxxy3所确定,试求x解一：原式两边对x 求导得zzxy z xx z xzy0,就zzy同理可得：xyxyyx解二：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

16、 - - - - - - - - - - - -zFxzy,精品资料Fy欢迎下载xzzFyFxxyxyyx8、求函数 z2x23 xy2y24x3y1的极值 . a解：由zx4x3 y40 0,得驻点 10 , z y3 x4y3Dzxxz xy4370zyxzyy34zxx40 ,函数 z在点 10 处取微小值 z1 0 , 1. 9、设 ze 3x2 ,而 xcos , t yt2 ,求 d dz. t解：d dz3 3 ex2y sin 23 ex2y 2 t3sint43 t ex2yt10、设 zyx lnxy ,求z,z. xy解： zxyxlnylnxy1yxz yxyx1lnx

17、y 1yxxy11、设 uaxyzlnxaa0 ,求 d u . 解：uaxyz lnaax1,uaxyzzlna,uyaxyz lnxyzduaxyzlnaax1 dxaxyzlna z dyyd 12、求函数 zlnx2y2exy的全微分 . 解：zx2xyxy yexy,zx2yyxy xex22ey22xy edzx21xy e2xyexy dx2yxexy dyy2四、应用题1、要造一容积为 128 立方米的长方体敞口水池,已知水池侧壁的单位造价是底部的 2 倍,问水池的尺寸应如何挑选,方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z , , 米. 第 7 页,共 9 页 水

18、池底部的单位造价为a . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就水池造价 Sxy4xz精品资料欢迎下载4yz a且xyz1288 米、8令Lxy4xz4yzxyz128由Lxy4 zyz0Lyx4 zxz0Lz4x4yxy0得Lxyz1280xy8z2由于实际问题必定存在最小值,因此当水池的长、宽、高分别为米、2 米时,其造价最低 . 2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和 y （件）,总成本函数2 2C x , y

19、8 x xy 12 y（元） . 商品的限额为 x y 42,求最小成本 . 解：约束条件为 x , y x y 42 0,构造拉格朗日函数 F x y , , 8 x 2xy 12 y 2 x y 42,F x 16 x y 0解方程组 F y x 24 y 0,得唯独驻点 x , y 25 , 17 ,F x y 42 0由实际情形知, x , y 25 , 17 就是使总成本最小的点,最小成本为C 25 , 17 8043（元） . 3、某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为 品甲与生产 y 单位的产品乙的总费用是10 元与 9 元,生产 x 单位的产4002x3y0.01 3x2xy

20、3y2元,求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少？解：Lx,y表示获得的总利润,就总利润等于总收益与总费用之差,即有2 第 8 页,共 9 页 利润目标函数Lx,y 10x9y4002x3y0.01 3x2xy3y细心整理归纳 精选学习资料 ,8x6y0. 01 3 x2xy3y2400,x0,y0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -令Lx8.0 01 6xy精品资料欢迎下载0 0,解得唯独驻点（ 120,80）. Ly6.001 x6y又因 A

21、 L xx 0 . 06 0 , B L xy 0 . 01 , C L yy 0 . 06,得2 3AC B 3 . 5 10 0 . 得极大值 L 120 , 80 320 . 依据实际情形,此极大值就是最大值 故生产 120单位产品甲与 80 单位产品乙时所得利润最大 320 元. 五、证明题1、设ze11求证x 2zy2z2 zuzyzzxy 第 9 页,共 9 页 xyxy证明： 由于ze111 x 2ze111 y 2所以xyxyxyx 2zy 2ze11e112 zxyxyxy2、证明函数yekn sinnx满意关系式yk2ytx 2证明：由于yekn2 tsinnxkn 2kn 2 ekn2tsinnxtynekn cos nx2 yx 2n 2 ekn sinnxxk2 yx 2kn 2 ekn sinnx所以yk2y 2tx3、设 z xy xF u而uyF u 为可导函数证明xxxy证明：xzyzx yFu x Fu uyxx F uxyxyx yF u yF uyxF u xxy xF uxy z xy细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -