2022年三角与平面向量中档题复习.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角函数与平面对量三角函数 : 内容：三角函数、三角恒等变换、解三角形【试题特点】加强对三角函数图象和性质的考查,重点转移到对基础学问和基本技能的考 查热点是恒等变换与解三角形,特点是三角形中的三角函数问题要充分重视,解答题考查内容大致可以分为以下四类：（）利用三角变换和诱导公式,考查求值、化简问题；（）转化 为f x A sinx 型函数,考查与其图像、性质（如周期性、奇偶性、单调性、最值等）有关问题；（）三角变换及解三角形； （利用正余弦定理和相应的三角变换,考查三角形 的边角关系及解三

2、角形与实际应用问题） ；（）穿插考查函数概念和性质、向量运算等学问试题如下：（） 利用三角变换和诱导公式,考查求值、化简问题；1.（08 天津）已知cosx42,x2,4. 247310（）求sinx的值；（）求sin2x3的值 . 解：（）sinx=4cos 2xsin35（）sin2x3sin2xcos3502如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为A ,点 C 、 B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为4,3,AOCy 55（）求圆 O 的半径及 C 点的坐标；（）如BC1,求2 3cos2sin2cos23 2的值3O C A x 第 1 页,共 16 页 B 解：

3、（）半径rOB42321,BOC55点 C的坐标为 cos,sin ；（）由（ 1）可知OBOCBC1,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 3 cos2sin2cos23学习必备欢迎下载2sinBOA32.53已知为锐角,且 tan4（）求 tan的值；的值.1010型函数,考查与其图像、性质（如周期性、奇；（）求sin 2cossincos2解：（）tan1. 3（）sin 2cossincos2（） 转化 为f x

4、 Asinx 偶性、单调性、最值等）有关问题1已知函数fxAsinx,xR 其中A0,0,22, 其部分图象如下列图 . I求 fx 的解析式 ; 4fx4在区间0,2上的II求函数g x fx最大值及相应的 x 值. 解：（I ）fxsinx4. 取得最大值1 . 2y42x（II ）当x4时,gx2已知函数f x sinx0,|的图象如下列图 . （）求,的值；1（）设g x f x f x4,求函数g x 的单调递增区间 . O1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总

5、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：（）学习必备8,欢迎下载8 kZ22,2,T（）函数g x 的单调增区间为 k 2k23已知函数f x sinx0 0,是 R 上的偶函数,其图象关于点 第 3 页,共 16 页 - - - - - - - - - M3, 对称,且在区间0,上是单调函数求和的值解： cos02f3sin3cos34,cos30,又0 ,得3k,k01 2,2 2 3k1,k01 2,当k0时,2,f x sin2x在 0,上是减函数；33当k1时,2,f x sin 2x在 0,上是减函数；当k 2时,10,f x sinx在 0

6、,上不是单调函数3综上可知,f x 2或2xcos sin2x134设函数3 sin cos2（）求f x 的最小正周期；（）当x0,2时,求函数f x 的最大值和最小值解：（）T2,2（）当2x62,即x3时,fx 有最大值 0 ,有最小值3当2x66,即x0时,f x 25已知函数fxasinxbcosx的图象经过点6, 0 ,31, .（I）求实数 a、b 的值；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（II）如x,02,求函数f学习必备欢迎下载x的最大值及

7、此时 x 的值 . 解：（I）a 3 b 1（II）由（ I）知：f x 3 sin x cos x 2 sin x 6x 0 , , x , ,2 6 6 3当 x , 即 x 时,6 3 2f x 取得最大值 3 . 12 分2 26已知函数 f x cos 2 x sin x cos x .3（I）求函数 f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；2（II）设函数 g x f x f x , 求 g x 的值域 . 解：（I）T 22函数图象的对称轴方程为 x k k Z .2 3（II ）g x 取得最大值 2,所以 g x 的值域为 2, .42f x A sin x A 0, 0,0

8、 7.已知函数 2,且 y f x 的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点（ 1,2）. （I）求（II ）运算f1 f2.f2022 解：（I）4 . （II）f1 f2.f2022 45022102022（ 3 ）三角变换及解三角形； （利用正余弦定理和相应的三角变换,考查三角 形的边角关系及解三角形与实际应用问题）1在ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且C3sin,A5. 45（）求sin B的值；细心整理归纳 精选学习资料 （）如ca510,求ABC的面积 . 第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - -

9、 - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载解：（）（）sinB10 10C3,sinA5.SABC1acsinB110 5105. 221022（文）在ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a,b ,c ,且45（）求 cosA, sin B 的值；（）如ab2 2,求 a , b 的值 . 4sinAsinA5,且ABC 的面积为解：（）cosA1sin2A2 5. 5就 sinBsin4A sin4cosAcos2 2 52510. 252510a ,b ,c,满意（） .a2

10、,b2. 3在ABC中,角A ,B,C所对的边分别为252 （）求 bc的值；（）如bc6,求 a 的值a1,c2,cosC3 第 5 页,共 16 页 解：（）bc5. （）a25. 4在ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c,且4（）求sinAB的值；（）求sinA的值；（）求CBCA的值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：（）sinAB7. 学习必备欢迎下载4（）sinAasinC1714

11、. A2cosBC取得4c28（）CB CACBCAcosC1233. 425已知ABC的三个内角 A, ,C,求当 A满意何值时 cos2最大值,并求出这个最大值解： cosA2cosB2CcosA2cos2AcosA2sinA12sin2A2sinA222123记A0,A0,2令 sinAt ,就t0 1, ,原式可化为t22 t12t222当 t 1,即 A, A 时,原式取得最大值 32 2 6 26已知点 D 是 Rt ABC 斜边 BC 上一点,且 AB AD ,ACAD,ABCDC1）证明： sincos202）如AC3DC ,求的值B略解： 1）易知：2 24cos2sin得证

12、 第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - - 2 ）3ACsinsinDCsincos22 3 sin2sin30 sin3327某海岛上一观看哨A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东60 的 C 处, 12 时20 分测得船在海岛北偏西60 的 B 处, 12 时 40 分船到达位于海岛正西方且距海岛 5km 的 E 港口,假如轮船始终匀速直线前进,问船速多少？分析：此题可培育同学从实际问题抽象出数学模型的才能和敏捷运用正、余弦细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

13、- - - - - - -学习必备 欢迎下载定理的才能解：轮船从点 C 到点 B 耗时 80 分钟,从点 B 到点 E 耗时 20 分钟,而船始终匀速行进,BC4EB sinCAEsinEAC1设 EBx ,就BC4x 在AEC中,由正弦定理sinECAE即EACsinCEC2x在ABC中,由正弦定理BCAB即ABBCsinC4x14 32xsin120sinCsin120sin1203在ABE中,由余弦定理BE2AB2AE22AB AEcos30313BE31km 3轮船的速度为312093km/h3608如图,当甲船位于 A 处时获悉, 在其正东方北向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇

14、险等待营救 甲船立刻前往救援,同时把消10 A 20 B .息告知在甲船的南偏西30 ,相距 10 海里 C 处的乙船 . （）求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离；.C （）设乙船沿直线CB方向前往B处救援, 其方向与CA 成角,cosxxR的值域 . x5sinx求fxsin2sinxcos2解：（） BC=107 . 3sinsin120（）20107,sin=7是锐角,cos47fxsin2sinxcos2cosx= 3sinx4cos777fx的值域为5,577. 9. 如图, A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯细心整理归纳 精选学习资料 -

15、- - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -塔的塔顶；测量船于水面学习必备欢迎下载0 75 ,0 30 ,于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为0 60 ,AC=0.1km；摸索究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B, D 的距离（运算结果精确到0.01km,21.414,62.449）解: 在 ABC 中,DAC=30 , ADC=60 DAC=30, 所 以CD=AC=0

16、.1 又 BCD=180 60 60 =60 ,故CB是 CAD底 边AD的 中 垂 线 , 所 以ABsinAC,BD=BA ,在 ABC 中,sinBCAABC即 AB=ACsin60326,sin1520因此, BD=3260. 33 km；20故 B,D 的距离约为 0.33km；（） 穿插考查函数概念和性质、向量运算等学问1.在直角坐标系xOy中,已知点P2cosx1 2cos 2x2和点Qcosx,1,其中 第 8 页,共 16 页 x0,如向量OP与OQ垂直,求x的值解：x或x2. 已知A , ,B0 3, ,Ccos,sin（1）如AC BC1,求sin 2的值；（2）如OAO

17、C13,且0,求OB与OC的夹角解：（1）sin 259 ；（2）设OB与OC的夹角为,就6细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3. 设函数fxa b ,其中向量学习必备欢迎下载a2cos ,1,bcos ,3 sin 2x,xR （）如fx13且x3,3,求x；（）如函数y2sin 2 x 的图象按向量cm nm2平移后得到函数yfx 的图象,求实数m、n的值解：（）x4n1sinx （）m2,m12,4 已知向量aco

18、sx ,sinx ,bcosx , 8； x 的周期和最小值（）如fx ab,求f（）gxfx 2sinxcosx,求g解：（）f8cos422（）T22当sin x41时,函数gx 有最小值2a b c 成等差数列,且a2c. 5 在ABC内,a b c 分别为角A B C 所对的边,I求cosA的值；II如SABC3 15,求b的值. 4解：（I）cosA14（II）b3,. 平面对量细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

19、 - - - - - - -学习必备 欢迎下载平面对量概念较多,简单混淆,建议复习时从考查的重点内容（向量概念、线性运算、数量积运算及其几何意义）入手,不仅要强化对学问的精确把握,仍 要从数形等多种角度去熟悉重点内容【试题特点】纵观近几年与平面对量有关的试题, 可以发觉：北京卷坚持在挑选填空题中,考查平面对量的基础学问、基本方法,难度不大,05-09 年试题出现出来的考查内容仅限于平面对量本身,10 年就是以规律为载体,试图将向量、函数和简易 规律进行横向的结合,虽然有所创新,但是考察基础,难度不大的主线不变而 以平面对量学问为背景,与三角函数、数列、解三角形、解析几何学问相结合的 综合性问题

20、,在北京卷中尚未显现一利用平面对量学问解决一些以平面几何图形为背景的问题 一方面平面对量的几何特性为解决这类问题供应的便利的条件,另一方面把 几何图形放到适当的坐标系中, 就给予了有关点与向量详细的坐标,这就能进行 相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决1在ABC中,已知AB4 6,cosB6,AC边上的中线BD5,36求sin A的值解：以 B 为坐标原点,BC为 轴正向建立直角坐标系,且不妨设点A 位于第一象限 . 由sinB30,就BA4 6cosB,4 6sinB|4 4 5 ,3 3,22 525.633设BC ,0,就BD43x,2 5.由条件得BD|43 x6363从而x2

21、,x14 舍去.故CA2,435,314,33880BACA99于是cosA|BA|CA|168048014sinA19999cos2 A70.14二 . 关注以向量的线性运算、平面基本定理为背景的一类问题1.（2022安徽卷理）给定两个长度为 1 的平面对量OA和OB,它们的夹角为120o.如下列图,点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 第 10 页,共 16 页 - - - - - - - - - 上变动 .如OCxOAyOB 其中,x yR ,求 xy 的最大值 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - -

22、 - - - - - - - - - - - -法 1 设AOC学习必备欢迎下载OCOAxOAOAyOBOA,cosx1y,1 2xy20 cos120OCOBxOAOByOBOB ,即xy2 coscos 120cos3sin2sin60265362当62即3 时, x+y 有最大值,其最大值为法 2 建系略,设Ccos,sin ,就OC=cos ,sin = 1,0+ -13 2 2cosx1y2sin3y,经整理得到xycos3sin,后略2三 关注与模、数量积相关的一类问题1. 已知 A , ,B 0 3, ,C cos,sin （1）如 AC BC 1,求sin 2 的值；（2）如

23、OA OC 13,且 0,求OB与OC的夹角sin 2 5解：（1）9 ；（2）62. 已知向量 asin,1,b1,cos, 2 2（）如 ab,求 ；（）求 ab的最大值解：（）细心整理归纳 精选学习资料 4 第 11 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（） ab学习必备欢迎下载32sincos sin121cos232 2sin 4 21当 sin 41 时,|ab|取得最大值, 即当 4时,|ab|最大值为3. 已知向量a

24、sin,2与b,1cos相互垂直,其中,02（1）求sin和cos的值（2）如5cos35cos,02 ,求cos的值【解析】（）0,2sin2 5,cos5552 又02, cos22 第 12 页,共 16 页 24. 设向量a4cos,sin,bsin, 4cos,ccos,4sin（1）如a与b2c 垂直,求tan 的值；（2）求|bc 的最大值 ; （3）如tantan16 ,求证： a b . 解：（1）tan;2（2）bc2sin22sincos2 cos162 cos32cossin16 sin1730 sincos1715 sin2,最大值为32,所以bc的最大值4.2（3）

25、由tantan16得sinsin16coscos,即4cos4cossinsin0,a/b5. 已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量m , a b ,n s i n, s i A,pb2,a2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（1） 如m/ n,求证： ABC 为等腰三角形；（2） 如mp,边长 c = 2,角 C = 3,求 ABC 的面积 . 证明：（1）Quv m

26、/v n,asinAbsinB,bABC 为等腰三即aabb2R2 R ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a角形 解（ 2）1 1S ab sin C 4 sin2 2 3四. 对向量和其它学问的综合考查3主要是依据平面对量的模、数量积、夹角等公式,通过数与形的转化,实现与其他学问的有机结合, 同时考查综合应用学问的才能 三角函数与向量的交汇,通过考查向量的概念与运算,来考查三角恒等变形和求值等问题1.在直角坐标系xOy中,已知点P2cosx1 2cos 2x2和点Qcosx,1,其中x0,如向量OP与OQ垂直,求x的值解：x0,x或xx3y40相切2在直角坐标系xOy中,以O为圆心

27、的圆与直线（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于A、B两点,圆O内的动点P使PA,PO,PB成等比数列,求PA PB的取值范畴解：（1）x2y214PF 2PF 12的点P的轨迹是PA PB 2,0（2）3已知两定点F 12,0 ,F22,0,满意条件与曲线E交于A B 两点曲线E,直线ykx（）求k的取值范畴；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（）假如AB6 3学习必备欢迎下载OBmOC

28、 ,求 m 的值,且曲线E上存在点C,使OA和ABC的面积Sm42k1时,所得的点在双曲线的右支上,解：（）（）,但当m4不合题意4. m4,点C的坐标为5, 2和F20,3为焦点、离S16 313233在平面直角坐标系xOy 中,有一个以F 10,3 心率为 2 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点P 处的切线与x、 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM OA OB ；求：（）点 M 的轨迹方程；（）OM 的最小值；.解:点 M 的轨迹方程为 : x2 + 4 y2 =1 x1,y2 | OM |2= x2+y2, y2= 11 4x2 =4+ x21 ,

29、 4| OM |2= x21+ x21+54+5=9.且当 x21= 4 x21 ,即 x= 4 31 时,上式取等号. 故|OM |的最小值为 3. 5. 已知抛物线 x24y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点, 且AF FB（0）过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为（）证明 FM AB 为定值；（）设 ABM 的面积为 S,写出 Sf的表达式,并求 S 的最小值解： 由已知条件,得 F0,1,0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料

30、- - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载设 Ax1,y1, Bx2,y2由 AF FB ,即得x1,1yx2,y21,x1x21y1y21 将式两边平方并把y11 4x12,y21 4x22 代入得y12y2 解、式得 y1 ,y21 ,且有 x1x2x22 4y2 4,抛物线方程为 y1 4x2,求导得 y1 2x所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是y1 2x1xx1y1,y1 2x2xx2y2,x1x2 2,1 即 y1 2x1x1 4x12,y1 2x2x1 4x22解出两条切线的交点M 的坐标为 x1x22,x1x24 4 分所以 FM AB

31、 x1x22, 2 x2x1,y2 y11 2x22x1221 4x221x120 细心整理归纳 精选学习资料 所以 FM AB 为定值,其值为 0 7 分 第 15 页,共 16 页 由知在 ABM 中,FMAB,因而 S1 2|AB|FM|FM| x1x22 2224x121 4x221 2x1x24 y1y21 244 1 21 由于 |AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y 1 的距离,所以|AB|AF|BF|y1y221 2 1 2于是S1 2|AB|FM| 1 3,由1 2 知 S4,且当 1 时, S 取得最小值 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -