2022年三角函数最值的求法.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三角函数最值的求法 摘要： 本文主要争论三角函数的最值的求法,总结归纳出六种常用 的方法：上下界法、二次函数法、几何法、不等式法、判别 法和用导数法；关键词：三角函数；最值；求法；三角函数是当今高考必考的内容之一,而三角函数的最值是函数最值的重要内容, 同时也是三角函数的重要分支,故重视和加强这部分内容对于学习三角函数的恒等变换,求解最值, 把握三角函数最值与二次函数、二次方程及不等式性质的关系的应用有着重要的意义；下面就求三角函数最值问题谈谈我的如干解决方法；一上下界法；依据sin x1或

2、cosx1把给定的三角函数或通过适当的恒等变形化成Asinxk或Acosxk（其中A、k均为常数） 的形式, 然后求出最大值和最小值的方法称为上下界法；例 1：求函数ycos2xsin2x的最值；直接求出最值；x 的集合； 第 1 页,共 5 页 分析：先把原函数变形,然后依据cosx1解：y1cos2 xsin2x211c o sxs i n 2x225c o s x122帮所求ymax51,ymin512222求 y 的最大值、最小值及相应的例 2：已知函数ysinx3cosx,xR .22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3、- - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：ysinxk3cosx 22sinx 2精品资料k欢迎下载2,此时 x 的取值范畴为32当x3Z 时, y 取得最大值22,即x4k3,2当x|3x x4k3,kZ；5,kZ时, y 取得最小值2,此时 x 的取值范2 k2,即x4k23围为xx4k5,kZ；3点评：（1）这种基此题型特别重要,在高考考题中显现的频率较高；（2）当自变量 x 的取值范畴有限制时,我们在转化时往往要留意变量 x 的取值范畴,否就简单造成结果错误；小结：应用上下界法必需留意,在将式子化为形如Asinxk

4、或Acosxk后应全面考虑使等式成立的各个条件,否就将可能显现错误；二二次函数法将题目中的代数式转化为含有三角函数名的二次函数的形式,解；例 3：求函数 y=fx=cos22x-3cos2x+1的最值 . 1,解 fx=cos2x-3 22-5 , 4当 cos2x=1, 即 x= k k Z 时,y min进而利用二次函数的学问来求当 cos2x=-1, 即 x= k + k Z 时,y max 5 .2小结：这里将函数 fx 看成关于 cos2x 的二次函数,就把问题转化成二次函数在闭区间-1 ,1 上的最值问题 . 三运用几何方法通常我们在解决代数问题时可以把函数代表式转化为熟识的几何问

5、题来解决,这种方法称为几何法；例 4：求函数的f sin21的最值函数；5 cos分析：函数f 的形式刚好可以看成是定点和动点的连线的斜率,利用图形我们可以一眼看出它的最值；解：如图,原式变为f sin 2这表示定点M 1, 2和动点 第 2 页,共 5 页 5cos 1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -P 5 cos ,sin精品资料欢迎下载x2y21它是一个椭圆,故的连线的斜率,而动点P 的轨迹方程为5f 的极值即过

6、点M 向椭圆所作的两切线的斜率；设斜率为k ,切点为x 1,y 1就切线方程为x x 1y y1,因点 M 在切线上,故有1x 12y 11；解方程组55Q25,21x 12y 1152 x 12 y 115解得x 115,y 12或x 15,y 12,Q 115,277773333所以两切线的斜率为：k 1f221,3,k 2221M1 ,2 图（ 1）7 153 51212故7f min33 2. max2小结：留意在运用几何方法求极值时必需先把它化成表示定点到动点连线的斜率的形式；四不等式法利用均值不等式来求最值；设 a a 2 , , a 均为正数,就他们的几何平均值不超过算术平均值,

7、即 n a a 2 a n a 1 a 2 a n（当且仅当 a 1 a 2 a 时等号成立）；n例 5：如 0 x,求 y sin x cos 2x 的最大值；22分析：函数表达式 y sin x cos x 刚好符合原理的要求,故用不等式法求最值较便利；解：将函数变形为细心整理归纳 精选学习资料 y22sin2x4 cosx12sin2x2 cosx2 cosx34 第 3 页,共 5 页 20x2cos2x2 cosx312 31 2sin 22xy3227y42 3279 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品

8、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故当且仅当2sin2xcos2x 即x精品资料6欢迎下载ysinxcos2x 有最值,且为arccos时,函数3y max2 3；相较其它方法比较简单把握,但必需9小结： 利用不等式求三角函数最值是一条有效的途径,留意各项必需为正值；五用判别法定义： 假如三角函数具有y=2 A xB xC 1的形式, 那么可将其变为一个关于x 的二次方2 A xB xC2程,然后利用二次方程根的判别式争论取实数的条件；式即可得到原三角函数的最值；例 6求函数 y=5-4sin+sin2的最值；列一个含 y 的二次不等式, 解此不等分析：把原函

9、数化为关于 sin 的二次函数,利用根的判别式法进行争论,最终得出结果；解：原函数可变形为：sin 24sin 5 y 0sin R 16 45 y 0解得 y 1 y min 1又 sin 2 y 1 且 sin 12 y 1 1解得 1 y 10 y max 10小结：用此法求最值的关键是将函数变形成二次方程的形式,再把问题转化为不等式的解；六用导数法利用导数求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数yfx在a,b 内的极值；（2）将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa,fb比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值；例 7求函数fx x1x34x4在0 3,上

10、的最大值与最小值； 第 4 页,共 5 页 3解：fx 1x3x42 43fx=x22x4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -令f x0得x2或精品资料欢迎下载x2又由于x03,所以x2下面分两种情形争论：（）当 x 0 , 2 时,f x 0 , 此时 f x 在此区间上单调递减；（）当 x ,2 3 时,f x 0 , 此时 f x 在此区间上单调递增；因此,当 x 2 时,f x 有微小值,并且微小值为 f 2 34

11、又由于 f 0 ,4 f 3 1因此,函数 f x 1 x 3 4 x 4 在 0 , 3 上的最大值是,最小值是 3；3 4小结： 在利用导数求函数的最值时,要留意极值与最值的区分与联系；极值反映的是函数在某一点邻近的大小情形,刻画的是函数的局部性质,且极大值与微小值可以同时存在着如干个或不存在, 极大值不肯定比微小值大；而最值是个整体概念,是整个定义域上的最大值与最小值,从个数上看,最值是唯独的；所以在做这类题时,必需先求出极大（小）值,然后再与端点处的函数值进行比较,得到函数在整个定义域内的最大（小）值；以上列举了常用的六种求三角函数的最值的方法,详细题型应用哪种方法来解决就必需依据解题者自己的敏捷运用；如能正确运用这六种方法,不但能提高解题者的解题速度,而且对培育其解题思维才能有着重要的意义；参考文献：人民训练出版社、课程教材争论所、中学数学课程教材争论开发中心编著,数学（必修 2、必修 4、必修 5 及选修 1-1）,人民训练出版社, （A 版）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - -