2022年东北师大附属中学高三第一轮复习导学案不等式的证明A.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -不等式的证明 教案 A 一、学问梳理：常用的不等式的证明方法 : 1、比较法 比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判定结论；为了判定作差出的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或者几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以便判定其正负；2、综合法：利用某些已经证明过的不等式（均值不等式）和不等式的性质,推出所经证明的不等式,这个证明方法叫做综合法,利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质要留意它们各自成立的条件；综合法证明不等式的规律关系：即从已知条件 要条件,推导出所经证明的

2、结论 B；A动身,逐步推演不等式成立的必3 分析法：证明不等式时,有时可以从求证的不等式动身,分析使这个不等式成立的 充分条件, 把证明不等式转化为这些充分条件是否具备的问题,假如能够确定这些充 分条件都已具备,那么就可以确定原不等式成立,这种方法通常叫分析法；4、反证法：正难就反 先假设要证明的问题不成立,以此为动身点,结合已知的条件、应用公理,定义、定 理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成 立的事实等）冲突结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种证明方法称 为反证法；5、放缩法：证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等 式

3、,从而达到证明的目的,这种方法叫放缩法；所谓的放缩技巧：即欲证A B,欲查找一个（或多个）中间变量C,使得 A C B,由“ A 到 C就是“ 放” ,就 B 到 C就上“ 缩” ；二、题型探究 探究一：比较法：例 1：如水杯中b 克糖水中含有a 克糖,假如再加入m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事有用数学关系式表示出来,并加以证明；探究二：分析法和综合法例 2：已知正数a,b,求证：+探究三：放缩法：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

4、- - - - - - - - - -例 3：求证： 1+ +例 4：证明不等式：1+ +（n）探究五：反证法：例 5：已知 a,b,c 都是小于 有一个不大于；三、方法提升1 的正数,求证： （1-a ）b,（1-b ）c,（1-c ）a 中至少（1）、分析法是求证的不等式动身,分析这个不等式成立的充分条件,把证明不等式 转化为判定这些充分条件是否具备的问题,即“ 执果索因”；（2）、综合法的证明过程有时正好是分析法的逆推,所以常用分析法探究证明的途径,然后用综合的形式写出证明过程,即：“ 由因导果” ；（3）、证明不等式的敏捷多样,但比较法,综合法,分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本

5、的方法, 要依据题设结论的结构特点、内在联系,挑选适当的证明方法,要熟识各种证明方法的中推理思维,并把握相应的步骤,技巧和语言特点；四、反思感悟五、课时作业【说明】本试卷满分100 分,考试时间x90 分钟 . ）D. 不能一、挑选题（每道题6 分,共 42 分）中最大的一个是（2x,b=1+x,c=111.设 0x1,就 a=A.a B.b C.c 确定答案： C 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

6、 -解析： 因 0x1,故 1-x20,即 1+x 11x,bc,又 1+x-2x=x22+1 0, 22故 ab,即最大的是C. b2b）2.2022 北京东城区一模,4已知 a0,b-1,就以下不等式成立的是（A.aa baB.a 2 ba a bb2C.a ba a 2 bD.a abab2答案： C 解析： a0,b-1,就 a 0,b-1.就 b 21. b121.又 a 0,0a a. 2b ba ba a.应选 C. 2 b3.设 a b0,就以下关系式成立的是（）abaA.aab bab2B.a ab bab2a的大小不确C.a ab b=aba2bD.aab b 与ab定答案

7、： A a b a b a b解析： a ab b ab 2= a 2 ,因 ab0,故 ab1,a-b0, a 21. b b4.设 a,bR +,且 ab-a-b1,就有（）A.a+b 2 2 +1 B.a+b2 +1 C.a+b2 +1 D.a+b 2 2 +1 答案： A 解析： 由 ab1+a+ba2b 21+a+b,将 a+b 看作一整体即可. C.a b 5.如 0x2,设 a=2-xsinx,b=cos2x,就下式正确选项 A.a b B.a=b D.ab 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - -

8、 - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案： D 解析： a-b=2-xsinx-cos2x 21.所以 a-b0. =sin2x-xsinx+1=sinx-x2+1-x2,由于 0x2,所以 0x224416 D.PS6.设 a,b,c 为 ABC 的 3 条边,且 S=a 2+b2+c2,P=ab+bc+ca,就 A.S 2P B.PS2P C.SP 2P 答案： D 解析： 2S-P=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=a-b2+b-c2+a-c20, S P. 2P=2ab+2bc+2ca=ab+bc

9、+bc+ca+ca+ab=ba+c+ca+b+ac+bb2+c2+a 2=S, 2PS. 7.如 a,xyR+,且x +y axy恒成立,就a 的最小值是 D.1 A.22C.2 2B.答案： B 解析： 因xy 2=1+2xy1+2xy=2, xyxyxy2 . 故xy的最大值为2 .即 amin=xy二、填空题（每道题5 分,共 15 分）8.在 ABC 中,三边 a、b、c 的对角分别为 _. 答案： 0B3A 、B、 C,如 2b=a+c,就角 B 的范畴是解析： cosB=a2c2b23a23 c22ac29a2c22 ac1. 2ac8ac8 ac20 B3. 9.已知 ab+bc

10、+ca=1,就当 _时, |a+b+c|取最小值 _. 答案： a=b=c=33 第 4 页,共 7 页 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析： |a+b+c| 2=a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 3ab+3bc+3ac=3. 10.民用住宅的窗户面积必需小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于 10%,并且这个比越大,采光条件越好, 就同时增加相等的窗户面积与地板面积,采光条件变 _（

11、填“ 好” 或“ 坏”）. 答案： 好解析： 设窗户面积为 a,地板面积为 b,就 ab,且 a 10%,设增加面积为 m,易知ba m a. b m b三、解答题（ 1113 题每道题 10 分, 14 题 13 分,共 43 分）11.已知函数 fx=x 2+ax+b, 当 p、q 满意 p+q=1 时,试证明 pfx+qfy fpx+qy 对任意实数 x、y 都成立的充要条件是：0p1. 证明： pfx+qfy-fpx+qy =px2+ax+b+qy2+ay+b-px+qy2-apx+qy-b 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - =p1-px2+q1-qy2-2p

12、qxy =pqx-y2. x-y2 0, 欲使 pqx-y20 对任意 x、y 都成立,只需 pq 0p1-p0pp-100 p1. 故 0p 1 是 pfx+qfy fpx+qy 成立的充要条件. 12.如 a、bR+且 a+b=1,求证：a1b12. 22证明：a1b12 22a+b+1+2a1b14 22a1b1 1 22ab+a2b+1 1 4ab1. 4aba2b 2=1 成立 , 4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -原不等式成立 . 13.已知

13、a、b、x、yR+且11,xy. ab求证 :xxayyb. 证法一：（作差比较法）xxayybxbxayb, yb. ay又11且, a、bR+, abyb a0.又 xy0,bxay. xbxayb0,即xxaay证法二：（分析法）x、 y、a、b R +,要证 x y ,只需证明 xy+b yx+a, 即证 xbya,而同x a y b1 10,ba 0.又 xy0, xbya 明显成立,故原不等式成立 . a b214.给出不等式 xx 2 1c c1c cxR.体会证：当 c=1,2,3 时,对于 x 取一切实数,不等式都成立,试问 c 取任何正数时,不等式对任何实数 x 是否都成立

14、,如成立,就证明,如不成立,求 c 的取值范畴 . 2解析： 由 x 1 c1 cx 2c cx 2c +x 2 1cc + 1c x 2c-c +x 2 1c-1 0 c细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 xc-c 1-x21c0 c假设 xR 时恒成立,明显x2c-c 0 . 第 7 页,共 7 页 即有 1-x21c0 cx2cc 1x21-c c左边 x20,而右边不恒0,故此不等式不能恒成立如恒成立就必有1 -c0 cc2c1,0c1 时恒成立 . 又c0 ,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -